具強阻尼的隨機波動方程隨機吸引子的分形維數(shù)*

周盛凡, 王 蒙

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

具強阻尼的隨機波動方程隨機吸引子的分形維數(shù)*

周盛凡, 王 蒙

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

主要考慮帶可加與可乘白噪聲的具強阻尼的隨機波動方程的隨機吸引子的分形維數(shù)的上界估計式.首先,利用Ornstein-Uhlenbeck過程將具白噪聲的隨機方程轉化成以隨機變量為參數(shù)的無噪聲的隨機方程;然后,把該隨機方程的2個解之差適當分解成2個部分之和,并分別估計這2個部分的模及某些隨機變量的期望的有界性;最后,得到了所研方程的隨機吸引子的分形維數(shù)的上界估計式.

隨機波動方程;隨機吸引子;強阻尼;分形維數(shù)

0 引 言

波動方程是最重要的數(shù)理方程之一,描述物體的振動和波的傳播,被廣泛研究.在實際生活中,許多問題的演變同時伴隨著不確定因素的干擾,僅用確定性的方程去描述這些問題是不夠的,必須用隨機方程來描述.

本文考慮如下帶可加與可乘白噪聲的2個具強阻尼的隨機波動方程：

(1)

utt-αΔut+ut+f(u)-Δu=g(x)+cu°dWdt, t∈(0,+∞).

(2)

需滿足的邊初值條件為

(3)

對方程(1)和(2)中的f(u)作如下假設:存在常數(shù)c0,c1,c2≥0,使得

(4)

由隨機波動方程解確定的隨機動力系統(tǒng)的隨機吸引子已經(jīng)得到了不少學者的研究[1-11].當α=0時,方程(1)和(2)退化為無強阻尼的隨機波動方程,文獻[1-8]證明了這類方程的隨機吸引子的存在性,并對其Hausdorff維數(shù)與分形維數(shù)的上界進行了估計.對于無噪聲的強阻尼波動方程(即方程(1)或(2)中無噪聲項)的整體吸引子及其維數(shù),已有一些重要結果[9-10].對于有白噪聲擾動的強阻尼的隨機波動方程(即方程(1)或(2)中α≠0且有白噪聲項時),至今僅有文獻[11-13]分別證明了由方程(1)和(2)滿足條件(3)和(4)的解確定的隨機動力系統(tǒng)隨機吸引子的存在性,而隨機吸引子的分形維數(shù)的有界性仍未見報道.吸引子的分形維數(shù)的有界性是個重要的研究課題.根據(jù)文獻[14],對于自然數(shù)n,如果作為度量空間的緊子集的吸引子的分形維數(shù)小于n/2,那么這個吸引子的拓撲維數(shù)最多是n,從而吸引子可由最多n個獨立參數(shù)來表示,這意味著相應的動力系統(tǒng)的漸近行為是有限維的,但Hausdorff維數(shù)沒有這個性質.本文利用文獻[7-8]的方法,研究了當α≠0時,方程(1)和(2)滿足條件(3)和(4)時隨機吸引子的分形維數(shù)的上界估計式.

1 帶可加白噪聲的隨機波動方程

(5)

((u,v))=∫Uu·vdx, ‖u‖=((u,u))12, ?u,v∈H10(U);

(6)

(7)

(8)

式(8)中:

在Ω上定義一族變換θt:θtω(·)=ω(·+t)-ω(t),t∈R,ω∈Ω,則(Ω,F,P,(θt)t∈R)是遍歷的度量動力系統(tǒng).引入Ornstein-Uhlenbeck過程

(9)

E[|z(θsω)|r]=Γ1+r2π, ?r>0,s∈R.

(10)

式(10)中:Γ(·)是Gamma函數(shù);隨機變量z(ω)是緩增的;z(θtω)關于t連續(xù);E表示“期望”.

首先將式(1)和式(3)組成的系統(tǒng)轉化成無噪聲項的隨機系統(tǒng).令u=u,v=ut+εu-g(x)z(θtω),則系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(3)在E中等價于無噪聲項的隨機系統(tǒng)

(11)

式(11)中:

引理1 假設條件(4)成立,則對于系統(tǒng)(11),以下結論成立:

1)對?ω∈Ω,系統(tǒng)(11)存在唯一整體解φ(t,ω,φ0)∈E,且φ(t,ω,φ0)在E中關于φ0連續(xù),則對t≥0,ω∈Ω,解映射φ(t,ω):φ0→φ(t,ω,φ0)生成E上的連續(xù)隨機動力系統(tǒng){φ(t,ω)}t≥0,ω∈Ω.

2)隨機動力系統(tǒng){φ(t,ω)}t≥0,ω∈Ω在E中存在緊的隨機吸引子A(ω),滿足：A(ω)是隨機緊集;A(ω)是不變的,即?t≥0,φ(t,ω)A(ω)=A(ω);A(ω)吸引任意緩增隨機集.

3)存在隨機變量

(12)

使得

(13)

下面利用文獻[7]中的定理2.2來估計隨機吸引子A(ω)的分形維數(shù)的上界.對于ω∈Ω,取φj 0(ω)=(uj 0(ω),vj 0(ω))∈A(ω),j=1,2.設φj(t)=φ(t,0,ω,φj 0(ω))=(uj(t),vj(t)),t≥0,j=1,2,ψ(t)=φ1(t)-φ2(t)=(ξ(t),η(t)),則

(14)

(15)

則Hn(U)×Hn(U)是E的2n維子空間.再令

(16)

定理1 假設條件(4)成立,則系統(tǒng)(11)的解φ(t)有下列結論：

1)對?ω∈Ω,t≥0,存在隨機變量C2(ω)>0和2n維投影算子Pn:E→PnE=Hn(U)×Hn(U),使得?φ10,φ20∈A(ω),有

(17)

‖(I-Pn)φ(t,ω,φ10(ω))-(I-Pn)φ(t,ω,φ20(ω))‖E≤(e-σt+δne∫t0C2(θsω)ds)‖φ10-φ20‖E.

(18)

式(18)中,

(19)

2)E[C2(ω)2]<∞.

3)對?ω∈Ω,A(ω)的分形維數(shù)有上界

(20)

式(20)中,

(21)

證明 1)令ψ(t)與式(14)作內積,可得

(22)

由文獻[13]中引理4.1得

(23)

(24)

式(24)中,θ∈[0,1].綜合式(22)～式(24)可得

(25)

對式(25)在[0,t](t≥0)上應用Gronwall不等式,可得

(26)

令ψn=Qnψ與式(14)作內積,可得

(27)

由式(4)、式(15)與H?lder不等式得

‖-f(u1)+f(u2)‖2=∫U[f(u2)-f(u1)]2dx=∫U[f′(u2)u2-f′(u1)u1]2dx=

∫U[(f′(u2)-f′(u1))u2+f′(u1)(u2-u1)]2dx≤∫U[c2ξu2+c1ξ]2dx≤

∫U[2(c2ξu2)2+2(c1‖‖‖ξ‖2,c3>0.

(28)

則由式(16)、式(28)得

(29)

將式(29)代入式(27)得

(30)

對式(30)在[0,t](t≥0)上應用Gronwall不等式,可得

(31)

(32)

因此,由式(31)、式(32)得

(33)

2)由C2(ω) 的表達式得

(34)

利用H?lder不等式與式(10)知

(35)

3)由式(21)得

定理1證畢.

2 帶可乘噪聲的隨機波動方程

對滿足條件(3)和(4)的方程(2)的解確定的隨機動力系統(tǒng)的隨機吸引子的分形維數(shù)上界進行估計.令u=u,v=ut+εu-cuz(θtω),ε同上節(jié),則在E中,系統(tǒng)(2)和系統(tǒng)(3)等價于下面的系統(tǒng)：

(36)

由文獻[13]得到下面結論:

引理2 假設條件(4)成立且

(37)

則對于系統(tǒng)(36),以下結論成立:

1)對?ω∈Ω,系統(tǒng)(36)存在唯一整體解φ(t,ω,φ0)∈E,且φ(t,ω,φ0)在E中關于φ0連續(xù),則對t≥0,ω∈Ω,解映射φ(t,ω):φ0→φ(t,ω,φ0)生成E中的連續(xù)隨機動力系統(tǒng){φ(t,ω)}t≥0,ω∈Ω.

2)隨機動力系統(tǒng){φ(t,ω)}t≥0,ω∈Ω在E中存在緊的隨機吸引子χ(ω),并且存在緩增隨機變量

使得

(38)

(39)

式(39)中,

類似于定理1,有如下定理:

定理2 假設條件(4)成立,并且c足夠小,使得式(37)與

(40)

成立,則有下列結論：

1)對?ω∈Ω,t≥0,存在隨機變量C5(ω)≥0,C6(ω)≥0和2n維投影算子Pn:E→PnE,使得?φ10,φ20∈χ(ω),系統(tǒng)(36)的解φ(t)滿足:

(41)

‖(I-Pn)φ(t,ω,φ10(ω))-(I-Pn)φ(t,ω,φ20(ω))‖E≤(e∫t0C5(θsω)ds+δne∫t0C6(θsω)ds)‖φ10-φ20‖E.

(42)

式(42)中,δn由式(19)給出.

2)C5(ω),C6(ω) 滿足條件

(43)

3)對?ω∈Ω,χ(ω)的分形維數(shù)有上界

(44)

式(44)中:

(45)

(46)

由Young不等式與式(24)類似的方法得

(47)

對式(47)在[0,t](t≥0)上應用Gronwall不等式,可得

(48)

式(48)中,

(49)

(50)

類似于式(28),由式(38)得

(51)

(52)

式(52)中:

(53)

C6(ω)=C3(ω)+12C24(ω).

(54)

2)由式(10)和式(37)得

(55)

(56)

(57)

式(57)中,

(58)

由式(40)知

由H?lder不等式與式(9)有

(59)

3)在式(41)和式(42)中取t=t0(見式(45)),且由式(45)得

由文獻[8]定理2.8知,對于?ω∈Ω,有

定理 2證畢.

注1 由定理2的條件可見，帶可乘噪聲的方程(2)的隨機吸引子的分形維數(shù)的有界性要求隨機項系數(shù)|c|適當小,而帶可加噪聲的方程(1)則沒有這個限制條件,這是因為可乘噪聲項與狀態(tài)變量有關，而可加噪聲項與狀態(tài)變量無關．

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(責任編輯 陶立方)

On fractal dimension of random attractor for the stochastic strongly damped wave equation

ZHOU Shengfan, WANG Meng

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

It was considered the upper bound estimation of the fractal dimension of random attractors for stochastic strongly damped wave equations with additive and multiplicative white noises. Firstly, these stochastic equations with white noises was transfered into random equations with random parameters without noise terms by the Ornstein-Uhlenbeck process. Secondly, it was divided the difference between the two solutions of random equations into a sum of two parts, and estimated the norm of these two parts and the boundedness of expectation of some random variables, respectively. Finally, it was obtained the upper bound estimation formula of the fractal dimension of random attractors for the considered equations.

stochastic wave equation; random attractor; strongly damped; fractal dimension

10.16218/j.issn.1001-5051.2017.03.003

?2016-05-06；

2016-09-31

國家自然科學基金資助項目(11471290)

周盛凡(1963-),男，廣西融安人，教授.研究方向:動力系統(tǒng)與微分方程.>

O175.25

A

1001-5051(2017)03-0258-09