關(guān)于p-內(nèi)平凡模的若干結(jié)論

黃文林

(中國(guó)人民大學(xué)信息學(xué)院，北京 100872)

關(guān)于p-內(nèi)平凡模的若干結(jié)論

黃文林

(中國(guó)人民大學(xué)信息學(xué)院，北京 100872)

研究了p-內(nèi)平凡kG-模的結(jié)構(gòu)，證明了，p-內(nèi)平凡的內(nèi)p-置換kG-模V是有蓋型的，此時(shí)，內(nèi)p-置換kG-模V的蓋與V作為p-內(nèi)平凡模的蓋是一致的.

p-內(nèi)平凡模；內(nèi)p-置換模；頂

0 引 言

在有限群表示論中，文獻(xiàn)[1]首次引入p-可除kG-模來(lái)研究格林環(huán)中的冪零元素，p-可除kG-模是一類由有限群G的階來(lái)控制的模類，它擴(kuò)充了G上的投射模和相對(duì)投射模；內(nèi)平凡kG-模是由Dade定義的模類[2]，它的內(nèi)同態(tài)(自同態(tài))環(huán)作為典范的kG-模在kG的穩(wěn)定模范疇中是平凡的，它在kG的塊代數(shù)的穩(wěn)定模范疇的自等價(jià)、Dade群的結(jié)構(gòu)等方面起著關(guān)鍵的作用[3-5]. 本文利用p-可除kG-模將內(nèi)平凡kG-模擴(kuò)充為p-內(nèi)平凡kG-模.

p-內(nèi)平凡kG-模V還是一種特殊的可裂跡OG-格，也就是，跡映射Tr:End(V)→O為可裂映射的OG-格V，文獻(xiàn)[6]證明了可裂跡OG-格與關(guān)于O的幾乎可裂序列的張量積一定不可裂，給出了OG-格的張量積的直和分解的方法.

1 p-內(nèi)平凡模

本文中，我們?cè)O(shè)定，p是素?cái)?shù)，k是一個(gè)特征為p的代數(shù)封閉域，所有的群都是有限群，所有的模都是有限生成的. 記號(hào)和術(shù)語(yǔ)可參見(jiàn)文獻(xiàn)[7-8].

對(duì)于有限群G和kG-模V，若V的任意不可分解直因子的維數(shù)能被p整除，則稱V是一個(gè)p-可除kG-模[1].

本文限定，所有涉及p-可除kG-模的有限群G的階都被p整除.

注1p-可除kG-模類是有限群G上的一個(gè)較大的模類，它包含所有的P-投射kG-模，這里P是G的真p-子群，特別地，它包含所有的投射kG-模([7，習(xí)題21.2，23.2])；但是，平凡kG-模k不是p-可除kG-模.

注2 設(shè)U，V是p-可除kG-模，W是kG-模，那么，U*，U⊕V，U?W，Hom(U，V)都是p-可除kG-模([1，性質(zhì)2.2]).

注3 限制到代數(shù)封閉域k，由于任何不可分解kG-模都是絕對(duì)不可分解的，所以，文獻(xiàn)[1]中的絕對(duì)p-可除模即是本文的p-可除kG-模，并得知，本文的p-可除kG-模本質(zhì)上是由素?cái)?shù)p完全控制的.

引理1 設(shè)H是G的子群，P是H的p-子群，U是kP-模，V是kG-模；

證明 1)由Krull-Schmidt定理即知結(jié)論成立.

定義1 設(shè)V是kG-模，若內(nèi)同態(tài)(自同態(tài))模End(V)可以分解為平凡模和p-可除kG-模的直和，也即，End(V)=k⊕U，這里U是p-可除kG-模，那么，我們稱V是p-內(nèi)平凡kG-模.

注4 由注1知，p-內(nèi)平凡kG-模的定義是合理的，它推廣了熟知的(相對(duì))內(nèi)平凡模的概念[2，9]；平凡模k是最簡(jiǎn)單的p-內(nèi)平凡kG-模，任何p-可除kG-模都不是p-內(nèi)平凡kG-模.

引理2 設(shè)P是G的真p-子群，V是p-內(nèi)平凡kG-模；那么，dim(V)=1 (p)，并且，任何p-內(nèi)平凡kG-模都不是P-投射kG-模.

證明 End(V)=k⊕U，這里U是p-可除kG-模，那么，

由此，dim(V)=1 (p)；再由[7，習(xí)題23.2]得知，任何p-內(nèi)平凡kG-模都不是P-投射kG-模.

性質(zhì)1 設(shè)U和V是p-內(nèi)平凡kG-模，W是P-可除kG-模，g∈G，n∈Z；那么，

1)V*是p-內(nèi)平凡kG-模；

2)U?V是p-內(nèi)平凡kG-模，反之也成立；

3) Hom(U，V)是p-內(nèi)平凡kG-模；

4) Ωn(V) 是p-內(nèi)平凡kG-模.

證明 1)設(shè)End(V)=k⊕M，這里M是p-可除kG-模，那么，End(V*)=(End(V))*=k⊕M*，由注2，M*是p-可除kG-模，由此，V*是p-內(nèi)平凡kG-模.

2)設(shè)End(U)=k⊕U1，End(V)=k⊕V1，這里，U1和V1都是p-可除kG-模，那么，

End(U?V)? End(U)? End(V)=(k⊕U1)? (k⊕V1)?k⊕U1⊕V1⊕(U1?V1)，

而由注2得知，U1⊕V1⊕(U1?V1)是p-可除kG-模，也即，U?V是p-內(nèi)平凡kG-模；

結(jié)合注2和Krull-Schmidt定理，得知，X1，Y1都是p-可除kG-模.

3)由1)、2)和kG-模同構(gòu)Hom(U，V)?U*?V，得知結(jié)論成立.

4)一方面，End(Ωn(V))?Ωn(V)*?Ωn(V)?Ω-n(V*)?Ωn(V)?Ω0(V*?V)⊕(投射模)；另一方面，V*?V?k⊕(p-可除模)?Ω0(V*?V)⊕(投射模)；這說(shuō)明，Ω0(V*?V)?k⊕X，這里，X是非投射p-可除kG-模，由此，End(Ωn(V))是平凡模和p-可除kG-模的直和，也即，Ωn(V)是p-內(nèi)平凡kG-模.

性質(zhì)1表明，n次Heller算子Ωn(-)置換不可分解p-內(nèi)平凡kG-模的同構(gòu)類，它是不可分解非投射kG-模的同構(gòu)類的子類([8，性質(zhì)11.7.1]).

定理1 設(shè)V是p-內(nèi)平凡kG-模，W是p-可除kG-模，那么，

1)V⊕W是p-內(nèi)平凡kG-模；

2)在kG-模同構(gòu)的意義下，V是它的唯一的不可分解p-內(nèi)平凡直因子和一個(gè)p-可除kG-模的直和.

證明 1)由下面的典范的kG-模同構(gòu)，

End(V⊕W)? End(V)⊕End(W)⊕Hom(V，W)⊕Hom(W，V)，

(1)

以及End(W)、Hom(V，W)、Hom(W，V)都是p-可除kG-模(注2)，得知，End(V⊕W)是平凡模和p-可除kG-模的直和，也即，V⊕W是p-內(nèi)平凡kG-模.

2)相反，設(shè)U是V的不可分解非p-可除直因子，由典范同構(gòu)式(1)、Krull-Schmidt定理，以及V是p-內(nèi)平凡kG-模得知，End(U) =k⊕M，這里M是p-可除kG-模，也即，U是p-內(nèi)平凡kG-模.

下面證明U是V的唯一的不可分解p-內(nèi)平凡直因子. 若X是V的另一個(gè)不可分解p-內(nèi)平凡直因子，由典范同構(gòu)式(1)以及X是p-內(nèi)平凡kG-模得知，k⊕k│End(V)，這與[10，定理2.1]相矛盾.

綜上所述，在kG-模同構(gòu)的意義下，V有唯一的不可分解p-內(nèi)平凡直因子，并且，V是它的唯一的不可分解p-內(nèi)平凡直因子和一個(gè)p-可除kG-模的直和.

注5 我們稱定理1中的V的唯一的不可分解p-內(nèi)平凡直因子為它的蓋，定理1證明了，任何p-內(nèi)平凡kG-模是它的蓋和若干個(gè)不可分解p-可除kG-模的直和.

推論1 設(shè)0→U→W→V→0 是kG-模短正合列，若W是投射kG-模，那么，U是p-內(nèi)平凡kG-模當(dāng)且僅當(dāng)V是p-內(nèi)平凡kG-模.

證明 由Schanuel引理，可得到下面的kG-模同構(gòu)：

U?Ω(V)⊕U1，

(2)

V?Ω-1(U)⊕V1，

(3)

式(2)和(3)中的U1和V1都是投射kG-模，由性質(zhì)1的4)和定理1得知結(jié)論成立.

定理2 設(shè)H是G的子群，V是kG-模；

設(shè)End(V)=k⊕X，這里，X是kG-模；那么，

2)設(shè)End(V)=k⊕Y，這里，Y是p-可除kG-模；那么，

性質(zhì)2 設(shè)H是G的子群，V是p-內(nèi)平凡kG-模；若V是不可分解kG-模，那么，V的頂是G的西羅p-子群，并且，V從屬于G的滿虧p-塊；若V是H-投射的，那么，H包含G的西羅p-子群.

證明 對(duì)第一部分應(yīng)用反證法. 若不可分解模V的頂P是G的真p-子群，那么，由[7，習(xí)題23.2]得知，p│dim(V)，從而，再由引理1得知，V不是p-內(nèi)平凡kG-模，矛盾；所以，不可分解模V的頂P是G的西羅p-子群.

若V從屬于G的p-塊B，那么，B的虧群包含V的頂P，從而，B的虧群也是G的西羅p-子群，也即，B是G的滿虧p-塊.

第二部分的證明. 由于H-投射kG-模的不可分解直因子仍是H-投射的，所以，結(jié)合第一部分的結(jié)論得知，H必須包含G的某個(gè)西羅p-子群.

注6 性質(zhì)2說(shuō)明，任何p-內(nèi)平凡kG-模的蓋的頂是G的西羅p-子群.

2 p-內(nèi)平凡的內(nèi)p-置換kG-模

當(dāng)P是G的真p-子群時(shí)，由注1得知，V是p-可除kG-模.

性質(zhì) 3 設(shè)H是G的子群，U和V是內(nèi)p-置換kG-模；

2)若V是p-內(nèi)平凡kG-模，那么，Ωn(V) 是p-內(nèi)平凡的內(nèi)p-置換kG-模；

3)若U和V是p-內(nèi)平凡kG-模，那么，U*和U?V都是p-內(nèi)平凡的內(nèi)p-置換kG-模.

3)由性質(zhì)1、[11，性質(zhì)0.2]以及[7，性質(zhì)28.2]得知結(jié)論成立.

定理3 設(shè)P是有限p-群，U是內(nèi)平凡kP-模，V是不可分解有蓋型內(nèi)置換kP-模；那么，

1)U是有蓋型內(nèi)置換kP-模；

2)V是p-內(nèi)平凡kP-模，并且，

(4)

這里，Q1，Q2，…，Qn是P的真p-子群.

證明 1)設(shè)End(U)=k⊕X，這里，X是投射kP-模，由[8，性質(zhì)11.6.2]得知，X是1-投射kP-模，從而，X的每個(gè)不可分解直因子都是平凡源模，X是置換kP-模，U是內(nèi)置換kP-模.

U是內(nèi)平凡kP-模，那么，由性質(zhì)2得知，U的蓋的頂是G的西羅p-子群，由此，U是有蓋型內(nèi)置換kP-模.

2)設(shè)P是G的西羅p-子群，V是p-內(nèi)平凡的內(nèi)p-置換kG-模；那么，V有唯一的頂為P的不可分解直因子，從而，V是有蓋型內(nèi)p-置換kG-模，它的蓋與p-內(nèi)平凡kG-模V的蓋重合；并且，End(V)=k⊕X，這里，X的任意不可分解直因子都是頂為G的真p-子群的平凡源模.

2)由定理1，設(shè)V=V1⊕L，這里，V1是V的唯一的不可分解p-內(nèi)平凡直因子，L是p-可除kG-模，由性質(zhì)2得知，V1的頂為G的西羅p-子群；L的任何不可分解直因子W是一個(gè)p-可除的內(nèi)p-置換kG-模，由引理3得知，W的頂是G的真p-子群，由此，V的唯一的p-內(nèi)平凡直因子是它的唯一的頂為G的西羅p-子群的直因子，也即，V有唯一的頂為P的不可分解直因子，從而，V是有蓋型內(nèi)p-置換kG-模，它的蓋與p-內(nèi)平凡kG-模V的蓋重合.

設(shè)End(V)=k⊕X，這里X是p-可除kG-模，那么，X的任何不可分解直因子N都是p-可除kG-模，并且是p-置換kG-模[11]，從而，由引理3得知，N的頂是G的真p-子群，這說(shuō)明，X的任何不可分解直因子是頂為G的真p-子群的平凡源kG-模.

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Some Results on thep-endotrivialkG-modules

HUANG Wenlin

(School of Information，Renmin University of China，Beijing 100872，China)

This paper studies thep-endotrivialkG-module, and proves that any endo-p-permutationkG-moduleVwhich isp-endotrivial at the same time must be capped, and the moment, the cap of the endo-p-permutationkG-moduleVis the same as that ofVas ap-endotrivialkG-module.

p-endotrivial module；endo-p-permutation module；vertex

2016-11-09

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10826057).

黃文林(1977—)，男，博士，主要從事有限群表示論研究. E-mail: wenlinhuang@163.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2017.04.014

O152.6 MSC2010：20C05； 20C20

A

1674-232X(2017)04-0424-06