攻克平面向量的法寶

梁義

摘 要：將一個抽象的數(shù)學量—向量，正確的表示成具體的式子或圖形，并且用數(shù)形結合的思想，將其互相轉化，從而解決較為復雜的向量問題。

關鍵詞：向量；向量的表示；數(shù)形結合

“向量”作為數(shù)學工具，不僅在學習平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何、復數(shù)理論等方面有著特殊的作用，在數(shù)學之外的物理學、航天航海等方面有著廣泛的應用，還在深入研究數(shù)學理論、數(shù)學應用方面有著十分重要的作用。但是，學生在認知向量方面，總是顯現(xiàn)“弱智”。要么就看成是“數(shù)”，類比實數(shù)的方法處理向量，結果是，差之毫厘失之千里；要么就無從下手。究其原因：不能正確的表示向量，更不能將三種表示互相轉化，所以就“無從下手”。

向量是既有大小、又有方向的一種數(shù)學量。通常有下列三種表示方法：1、幾何法（有向線移）；2、基底法（平面向量基本定理）；3、坐標法（正交基底）。本文就向量的表示，互相轉化為例，說明如何解決向量問題。下面以例說明：

例1：（2015·高考福建卷）已知 ⊥ ， = ，若點P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且 = + 則 的最大值等于（ ）

A.13 B.15 C.19 D.21

解法1（坐標法）：

以A為原點，AB，AC所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，如圖.則A（0，0），B（ ，0），C（0，t），所以 =（1，0）， =（0，1）， 所以 = + =（1，0）+4（0，1）=（1，4），所以P點的坐標為（1，4）， =（ -1，﹣4）， =（﹣1，t-4）

所以 · =﹣1-t-4t+16=﹣（ +4t）+17≤﹣4+17=13.當且僅當 =4t即t= 時取“=”，所以 · 的最大值為13.

解法2（基底法）：

= - = -（ + ）

= - = -（ + ）

· = · - ·（ + ）- ·（ + ）+（ + ）2

=- +1-4t+16=- -4t=17≤-4+17=13

點評

1.因為圖形十分完善，故可以選擇坐標法。用坐標運算，簡潔、明快。

2.基底表示向量是“基本定理”，基本上是“全能”的解決向量問題，而選擇基底是關鍵。

3.我們充分的應用了表示的相互轉化，將“幾何”轉化成了坐標、基底，顯然是解決問題很有效的方法。

仿照例1，我們再舉例說明“表示”的方法的重要性。

例2：（2015年全國1第15題）△ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，則實數(shù)

解：以O為原點，BC的垂線為Y軸建立直角坐標系，

設A（x1，y1），B（-x2，y2）.則C（x2，y2）

又設H（x，y）

∴ + + =（x1，y1+2y2）， =（x1，y）

∵ =m（ + + ）

∴m=1

點評：

1.本題的“下手”十分困難，十幾年來，我查閱了很多資料，從未發(fā)現(xiàn)此題的“規(guī)范”解法（只有高考試題的答案中使用了特殊法，以直角三角形為例做出了答案，其實作為填空題，其做法不規(guī)范。）但用坐標表示，并不是很難，請大家賞閱。

2.此題的基底計算，或者幾何證明，的確很困難，其切入口（基地選擇）不明確，運算量大，本人未找到合理的解法，各位同仁有解法者，請奉獻，我們共勉。