談高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)的有效性
——高三復(fù)習(xí)課《三角恒等變換》教學(xué)實(shí)錄與啟示

江蘇省連云港市海頭高級(jí)中學(xué)(222111) 劉永巖

談高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)的有效性
——高三復(fù)習(xí)課《三角恒等變換》教學(xué)實(shí)錄與啟示

江蘇省連云港市海頭高級(jí)中學(xué)(222111) 劉永巖

最近,我,舉行中小學(xué)“青藍(lán)課程”(高中數(shù)學(xué))展示活動(dòng),我有幸參加這次活動(dòng),展示活動(dòng)的四位教師的課堂教學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)流暢,內(nèi)容豐富、環(huán)節(jié)緊湊,在一定程度上體現(xiàn)了在新課程背景下,數(shù)學(xué)課堂中如何通過師生共同參與、互動(dòng)對(duì)話,通過學(xué)生的“自主、合作、探究”來實(shí)施有效教學(xué).下面是宋老師上的一節(jié)課復(fù)習(xí)課進(jìn)行整理,供同行共同探討.

1 以本為本基礎(chǔ)訓(xùn)練

師：同學(xué)們,我們知道孫悟空會(huì)72變,那么我們今天也來變一下,看誰會(huì)“變”？我們今天復(fù)習(xí)“三角恒等變換”,這節(jié)課主要體現(xiàn)在“變”上,關(guān)鍵看各位同學(xué)怎么變,看誰變得精彩！請(qǐng)同學(xué)們完成下面的題目

(學(xué)生思考、解題,教師巡視,稍過片刻,學(xué)生講述自己的解法,其中第1小題有兩位學(xué)生在黑板上展示,第2、3題各一位同學(xué)展示.)

2 師生活動(dòng)探究解法

生 1：把 15°寫成 45°-30°,因此很容易求出sin15°和cos15°的值,代入原式就可以求出值

師：她這里面就體現(xiàn)了 “變”字,她是將 15°變?yōu)?5°-30°,這里用到差角公式,(教師同時(shí)板書所用到的公式),我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生1也計(jì)算出了結(jié)果,不過看上去有些麻煩！

把正弦、余弦的和差問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù)問題.師：很好！生2解法較學(xué)生1的解法要簡單,他實(shí)質(zhì)上用了αsinα+bcosα=sin(α+φ).我們高考主要定位在a:b=1:1或1:型的問題,還有沒有其他方法?(此話一出,下面有學(xué)生小聲議論,片刻之后)

生3：可以弦化切來處理,將分子、分母同除以cos15°,原式可變?yōu)?/p>

師：你是怎么想到的？

生3：根據(jù)前面的做題經(jīng)驗(yàn),遇到這樣的式子,就可以化弦為切,然后逆用兩角差的正切公式.

師：這樣的式子,實(shí)際就是我們說的“齊次式”,遇到正余弦的齊次式我們可以化弦為切.

生3：然后在分母的tan15°前填添1,在采用“1”的代換,變?yōu)?tan(15°-45°)=tan(-30°)=

師：她的思路也比較縝密,(追問)那么,你能否不轉(zhuǎn)化為切,而直接從弦的角度處理呢？

生3：好像不好處理.(一臉的茫然,過了一會(huì)兒,下面有學(xué)生躍躍欲試)

師：生4,你說說看！

生4：可以分子、分母同乘以分子,也可以同乘以分母,然后展開分子、分母化簡,逆用正余弦二倍角公式.(教師根據(jù)學(xué)生的口述,同時(shí)在黑板上板書)

師：學(xué)生4的解法非常好！(此時(shí)全班同學(xué)都投以贊許的目光)他是逆用正余弦二倍角公式將15°轉(zhuǎn)化為30°,受學(xué)生4的啟發(fā),請(qǐng)同學(xué)們思考,能否嘗試只用正弦的二倍角公式呢？(此語一出,全班學(xué)生一臉的茫然,然后陷人了深深的思考中...,偶爾不乏小聲地相互討論...,至此,學(xué)生思維陷入困境,此時(shí)教師及時(shí)點(diǎn)撥.)

師：請(qǐng)同學(xué)們回顧正弦二倍角的形式,要用正弦二倍角,要有正余弦的乘積,注意觀察分子、分母的形式,那么,該怎么辦呢？

(經(jīng)過教師的引導(dǎo),頓時(shí),有學(xué)生舉手,站起來.)

生5：可以平方,這樣就會(huì)出現(xiàn)2sin15°cos15°,然后可以逆用正弦二倍角公式！

師：太棒了！(全班學(xué)生茅塞頓開,臉上露出了微笑)那么你平方后,求得是原式平方的值？

生5：是的,然后再開方,要注意式子的符號(hào),原式為負(fù),因此要舍正取負(fù).(此時(shí)全班同學(xué)都投以贊許的目光.)

師：回答的非常好！希望我們?cè)谝院蠼忸}過程中要善于觀察差異,尋找聯(lián)系,設(shè)法將式子中存在的一些信息提煉加工.(正當(dāng)師生準(zhǔn)備對(duì)下一問題研究時(shí),一位學(xué)生突然起來.)

生 6：老師,這題也可以用斜率來解決,設(shè)A(sin15°,cos15°),A(cos15°,-sin15°),通過數(shù)形結(jié)合可知,直線AB傾斜角為150°,故原式的值為tan150°=-(帶著有點(diǎn)興奮和激動(dòng)的心情說出了自己的解法,沾沾自喜.)

師：回答得非常好!運(yùn)用直線的斜率來處理,用學(xué)過的知識(shí)解決學(xué)習(xí)中遇到的問題,溝通了知識(shí)的橫向聯(lián)系.好！請(qǐng)大家回過頭來看看這題的做法,用到哪些公式？(回頭看黑板上寫下的用過公式.)

生7：我先分析了所給式子的整體結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)角存在差異,不好化簡,就用公式將,sin(α-),cos(α-)分別展開了.

師：你是從角度的差異入手,那你能否換個(gè)角度再考慮一下,解決這個(gè)問題？(生7沉思了片刻.)

生7：不從角...,那只能從冪的角度入手了,可以采用降冪公式,先降次,在用兩角差正余弦的公式.

師：很好！大家聽明白了嗎？

學(xué)生 (齊聲)：明白

教師：下面我們看一下第3題,請(qǐng)生8談一下你的思路

生8：可從它的結(jié)果化,也可以從它的條件化

師：那你是從那化得

生8：我是從條件化的

師：很好,要從結(jié)果化,那就采用分析法,數(shù)學(xué)中有很多問題需要兩邊夾,要看看條件,在看看結(jié)論.我轉(zhuǎn)的時(shí)候發(fā)現(xiàn)有的同學(xué)在做到cos2αcos2β-sin2αsin2β的時(shí)候卡住了,我們要看化歸的方向,現(xiàn)在我們研究什么呢,(教師用粉筆強(qiáng)調(diào) cos2α-sin2β)那么我們看 cos2αcos2β-sin2αsin2β這里面還有沒有sin2α,cos2β,那么該怎么辦？

生 (齊聲)：消去

師：很好,因此在解決三角變換問題時(shí),要明確三角變換的方向通過：發(fā)現(xiàn)差異→尋找聯(lián)系→合理轉(zhuǎn)化→解決問題.(此時(shí)教師投出這幾個(gè)題目的來源,都是課本上的題目,教師注重復(fù)習(xí)時(shí)回歸課本.)

3 拓展訓(xùn)練突出重點(diǎn)

教師通過課本上的三道基礎(chǔ)題,幫助學(xué)生回顧了一些基本概念和基本方法之后,趁熱打鐵又給學(xué)生出三道變式題,讓學(xué)生更好的掌握變角的方法：

變式1 已知α,β為銳角,且cos(α+β)=sin(α-β),則tanα=____.(變式1由一位同學(xué)到黑板板演.)

師：請(qǐng)生9談你的思路.

生9：我是這樣想的已知條件是弦之間的關(guān)系,要求tanα要么求出sinα與cosα的值,要么找出sinα與cosα的關(guān)系,通過分析只能找關(guān)系,從而展開可以得到cosα(cosβ +sinβ)=sinα(sinβ +cosβ),故 tanα =1.

師：很好,我們解題時(shí)一定要明確化歸的方向,注意尋找聯(lián)系,我們來看下一題.

(變式2由兩位同學(xué)到黑板板演,教師點(diǎn)評(píng),下面同學(xué)各自完成后小組討論.)

師：我們來看看兩位同學(xué)的解答過程及思路,生10通過變角將sinα變?yōu)閟in[(α√+β)-β],然后將sinβ,cosβ代入可以直接出tan(α+β)=,而生11是通過cos(α+β)=sinα與sinβ=求出tanα與tanβ,借助兩角和的正切公式求解的.兩位同學(xué)解題思路都很清晰

師：要求sinα+cosβ不太好求,但通過條件發(fā)現(xiàn)(α - β)+(α + β)=2α,因此可以求出 sin2α,sin2α =sin[(α-β)+(α+β)],只要根據(jù)條件分別求出sin(α-β),cos(α+β)即可,(sinα+cosβ)2=1+sin2α,然后開方,要注意符號(hào)的取舍,當(dāng)＜α＜π時(shí),sinα+cosβ＞0.

4.課堂小結(jié) 觀點(diǎn)提煉

通過今天這堂課,我們對(duì)變角問題有了進(jìn)一步的理解,熟悉處理這類問題的思維方法,提高了我們解決三角恒等變換問題的能力,我們高考中變角一般都定位在下面三種情況：

1.用已知角相加減,如變式2、3.

幾點(diǎn)啟示

本節(jié)課的教學(xué)教師只通過三個(gè)課本的基礎(chǔ)題和三道變式題展開教學(xué)取得很好效果,這得益于教師具備正確的教材觀,能對(duì)教學(xué)資源進(jìn)行優(yōu)化整合;能尊重學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位,積極引導(dǎo)他們自主學(xué)習(xí),探究發(fā)現(xiàn),合作交流,以積極愉悅的心態(tài)參與其中.在這樣的課堂環(huán)境中,學(xué)生的思維也會(huì)活躍起來,真正實(shí)現(xiàn)有效的課堂.

1.回歸課本,夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)

“九層之臺(tái),始于壘土”,能否掌握基礎(chǔ)知識(shí)是學(xué)生取得高考成功的根本,否則,就談不上知識(shí)的運(yùn)用,也談不上能力的培養(yǎng),更談不上數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成.因此,教學(xué)中我們要注重學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握,只有這樣在高考中不管題目如何變化,只要基礎(chǔ)牢固方能在應(yīng)用時(shí)“以不變應(yīng)萬變”,如果基礎(chǔ)不牢,巧婦也難為無米之炊.本節(jié)課在復(fù)習(xí)中注意以教材為根本,重視教材中例題、習(xí)題蘊(yùn)含的基本方法和基本技巧,通過對(duì)基礎(chǔ)題“一題多解,一題多變”,讓學(xué)生的思維水平在“變”中得以升華,增強(qiáng)了思維的深刻性.

2.發(fā)揮學(xué)生的主體作用,教師要做“積極的旁觀者”

教學(xué)過程中,教師應(yīng)考慮到學(xué)生原有的知識(shí)儲(chǔ)備以及教材內(nèi)容的要求,把課堂還給學(xué)生,教師自己只發(fā)揮了組織者、引導(dǎo)者的作用,適時(shí)在心理上給予學(xué)生支持和鼓勵(lì),讓學(xué)生通過交流展示、互動(dòng)探究等活動(dòng)加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的理解和掌握.例如,基礎(chǔ)訓(xùn)練雖然是課本上的習(xí)題,教師沒有一帶而過,而是讓學(xué)生自己思考解答,然后再合作交流,這樣學(xué)生會(huì)在交流中思維上產(chǎn)生相互碰撞,暴露相互之間的思維過程,在交流中相互理解、相互啟發(fā)、互相幫助,實(shí)現(xiàn)了互補(bǔ),比教師直接灌輸更具有說服力,同時(shí)也可以將學(xué)生思考問題時(shí)存在的問題暴露出來,為教師進(jìn)一步了解學(xué)生及今后教學(xué)措施與方法的修正提供切實(shí)可行的客觀依據(jù).因此,在高三教學(xué)中教師要大膽的把課堂還給學(xué)生,讓學(xué)生在課堂中綻放出思維的火花,教師只要在必要時(shí)適當(dāng)引導(dǎo),這樣課堂上人人都能參與,每一位學(xué)生都能體驗(yàn)和享受成功的愉悅.

3.問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)過程,適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思維

好奇之心人皆有之,同樣一個(gè)問題,提出時(shí)平平淡淡,沒有藝術(shù),學(xué)生就不可能被吸引.相反,如果提出的問題與學(xué)生的思維發(fā)生碰撞,會(huì)使學(xué)生有新奇之感,那么他們就會(huì)開動(dòng)腦筋積極思考.例如基礎(chǔ)題第1題,雖然是課本習(xí)題,學(xué)生給出對(duì)分子、分母同乘分母或分子,然后分別用正余弦的二倍角公式求解后,教師沒有就此停止,而是教師順?biāo)浦厶岢鰡栴}：能否只用正弦二倍角？使學(xué)生的思維突然陷入困境,這時(shí)學(xué)生開始討論,教師給予了引導(dǎo),使學(xué)生在思維上找到了突破口,把三角恒等變換中的“變”彰顯出精彩.

4.變式循序漸進(jìn),使學(xué)生的思維得到進(jìn)一步提升

數(shù)學(xué)變式教學(xué)要源于課本又要高于課本,在復(fù)習(xí)過程中教師應(yīng)回歸教材,根據(jù)教材的內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際情況對(duì)例題和習(xí)題進(jìn)行恰當(dāng)合理的變式,有助于學(xué)生更牢固地掌握基礎(chǔ)知識(shí),了解知識(shí)間的相互聯(lián)系,做到舉一反三、觸類旁通.本節(jié)課在給學(xué)生訓(xùn)練基礎(chǔ)題后給出的變式題,由淺入深,逐步遞進(jìn),使學(xué)生思維得到循序漸進(jìn)的提高.因此,教師要在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中充分發(fā)揮變式的作用,只有讓學(xué)生長期在“變中思、思中探、探中悟”,才能加深學(xué)生對(duì)問題的理解,增強(qiáng)思維的靈活性,進(jìn)而在高考中立于不敗之地.

總之,在高三復(fù)習(xí)中,我們應(yīng)多關(guān)注學(xué)生,多傾聽學(xué)生,多給學(xué)生展示的機(jī)會(huì),而不是教師像作報(bào)告似的,滔滔不絕的向?qū)W生展示精彩題型,精彩方法,而是應(yīng)達(dá)到“放馬于原野之中,牽其于晚霞之時(shí)”的瀟灑境界,讓學(xué)生把課堂變的精彩,變的高效.