聚焦典型問題,感悟思想方法
——例談“不等式與不等組”的典型問題及解法

甘肅隴南市成縣城關(guān)中學(742500) 張曉東

聚焦典型問題,感悟思想方法
——例談“不等式與不等組”的典型問題及解法

甘肅隴南市成縣城關(guān)中學(742500) 張曉東

不等式與不等組是刻畫現(xiàn)實世界和日常生活中大小關(guān)系的一種數(shù)學模型,是初中數(shù)學教學的關(guān)鍵問題和學生必須掌握的核心知識之一.作為“數(shù)與代數(shù)”的重要組成部分,初中只介紹了基本的一元一次不等式和不等式組,內(nèi)容相對較少.現(xiàn)行教材都將其編排在七年級數(shù)學下冊,集中一次完成,這與后繼高中學習其它不等式間隔過大.雖然學生通過有理數(shù)的學習,能熟練進行各種運算,會比較數(shù)的大小;學習了等式的基本性質(zhì)、一元一次方程和二元一次方程組的解法和應(yīng)用,初步感悟了基本的數(shù)學思想方法;并且也具備了一定的直覺思維、形象思維和歸納思維等能力,理論上為研究不等式與不等式組做好了知識儲備.但在教學中,發(fā)現(xiàn)許多學生由于知識結(jié)構(gòu)不完備,方法不當?shù)仍?對本章主要內(nèi)容特別是重點知識和典型問題掌握不是很好.暴露出不能正確求一元一次不等式和不等式組的解集、打不開應(yīng)用不等式和不等式組解決實際問題的思路,遇到方程、不等式等相結(jié)合的綜合問題更無法下手.針對以上問題,下面采取以重點知識和典型中考熱點題型為載體,以數(shù)學方法為指導,透析其解法和思路,引導學生學會解題,感悟數(shù)學思想方法在解題中的導向作用.

一 類比一元一次方程和二元一次方程組的解法,正確求解一元一次不等式和不等式組的解集

掌握一元一次不等式和不等式組的解法是本章的基本要求,是學習其它代數(shù)知識的基礎(chǔ)和工具性知識.一元一次不等組的解法化歸于一元一次不等式的解法,而一元一次不等式的解法步驟是類比一元一次方程的解法正向遷移而來;類比二元一次方程組的解的含義有助于學生更好的理解不等式組的解集.要注重用類比的方法區(qū)分一元一次方程的解法和應(yīng)用與一元一次不等式的共同點和不同之處,有助于以更高效的方式學習新知識.

例1解下列不等式組,并把解集表示在數(shù)軸上.

圖1

把兩個不等式的解集表示在數(shù)軸上.由圖1可知,不等式組的解集為x≤-2.(同小取小)

點評 求不等式組的解集分兩步：1、求出每個不等式的解集.這里類比解一元一次方程的解法可知：在去分母中給常數(shù)項漏乘;括號前是負數(shù),去括號時括號中某些項未變號或漏乘等是常見的易錯點.特別是將未知數(shù)的系數(shù)化成1時,若系數(shù)為負,忘記改變不等號方向,或出現(xiàn)形如：-7x＞2,則x＜-的錯誤也時有發(fā)生.因此求解集時各個環(huán)節(jié)都要仔細檢查.2、確定不等式組的解集.一般借助于數(shù)軸,用數(shù)形結(jié)合的方法找?guī)讉€解集的公共部分,即數(shù)軸上幾個解集互相重合的區(qū)域.雖然有“同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到”這樣類似找解集的口訣,但若不等式組或?qū)嶋H問題中含有兩個以上不等式時,最好還是采用數(shù)軸法并結(jié)合口訣方可萬無一失.

二 利用一元一次不等式和不等式組確定參數(shù)的取值問題

確定參數(shù)的取值問題,是中學數(shù)學最常見的典型問題之一.用不等式和不等式組確定參數(shù)的取值問題,除用不等式的有關(guān)知識外,往往還與其他知識相關(guān).參數(shù)的取值范圍要根據(jù)一定的關(guān)系式分類討論.這類題一般包含多個知識點,綜合性、技巧性強,利于考察學生分析問題的能力.因此是多數(shù)學生的難點.根據(jù)參數(shù)存在的背景知識分以下幾種情況：

(一)方程中的參數(shù)取值問題

(1)是確定m的取值范圍;

(2)化簡|3m-1|+|m-2|

解析 (1)求m的取值范圍要根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于m的不等式,這里不等關(guān)系是明確的,即x＞0,y＞0.把m看成常數(shù)解出方程組的解x、y即可.問題(2)的化簡要根據(jù)(1)的結(jié)果,確定(3m-1)和(m-2)的性質(zhì)符號,然后取掉絕對值.

點評 此題是方程組和不等式組相結(jié)合的基礎(chǔ)題,m滿足的不等關(guān)系明確,關(guān)鍵是正確解出含有m的方程組的解;其次,根據(jù)m的范圍確定(3m-1)和(m-2)的性質(zhì)符號是解決問題(2)的關(guān)鍵.

(二)不等式、不等式組中的參數(shù)問題

一元一次不等式、不等式組中的參數(shù)問題與求方程中參數(shù)問題類似.一般先求出不等式、不等式組的解集,再根據(jù)所給的條件利用數(shù)軸進行分類討論,最終列出參數(shù)式滿足的不等式.這類問題是大多數(shù)學生的難點.

解析 先求出含參數(shù)a的不等式組的解集,根據(jù)解集確定出四個整數(shù),然后用數(shù)軸通過直觀分析來確定a的范圍.

解不等式①得x＜21,解不等式②得2-3a＜x,因為不等式組有整數(shù)解,所以解集為2-3a＜x＜21.又因為不等式組有只4個整數(shù)解,所以這四個整數(shù)為17、18、19、20.利用數(shù)軸討論如下

圖2

圖3

設(shè)m=2-3a,若m≥17,如圖3所示,則不等式組只有20、19、18三個整數(shù)解,故m＜17.若點m在17和16之間,即16＜ m ＜ 17,如圖4,則剛好有17、18、19、20這四個解.

圖4

圖5

圖6

若 m=16,如圖5,也只有 17、18、19、20這四個解.

若 m ＜ 16,如圖 6,則至少有 16、17、18、19、20 這五個解.

綜合以上分析可知,2-3a的取值范圍只與四個整數(shù)中的最小數(shù)17和與其相鄰的這四個整數(shù)之外的數(shù)16有關(guān).即16＜2-3a＜17,由解集2-3a＜x＜21,可知,2-3a值可取16.由此可得：16≤2-3a＜17,解得-5＜a≤-.

為了突破這個難點下面再看一例.

例4 若不等式3x-a≤0的正整數(shù)解恰好是1、2、3,求a的取值范圍.

圖7

圖8

已知不等式組恰有1、2、3共三正整數(shù)解,

考慮特殊情形：

歸納 通過以上兩例可以看出,求解已知不等式含有幾個整數(shù)解的參數(shù)問題,通過數(shù)形結(jié)合、分類討論發(fā)現(xiàn)其有如下一般規(guī)律：1、求出含有參數(shù)的不等式、不等式組的解集;2、根據(jù)解集包含的具體整數(shù)解,利用數(shù)軸來確定含有參數(shù)式的值所滿足的不等式.即含有參數(shù)式的值只與這幾個整數(shù)的最大數(shù)或最小數(shù)有關(guān).設(shè)含有參數(shù)式的值為m,不等式或不等式組有a,a+1,a+2,...,a+n-1共有n個整數(shù)解(a,n為整數(shù)).若不等式解集為x＜m,則a+n-1＜m＜a+n;若解集為x＞m,則a-1＜m＜a.什么情況下取等號,由原不等式解集是否帶等號作為特殊值來定.這一點特別重要,是正確求解的關(guān)鍵之一.

試用這一規(guī)律解下面問題：

解

解不等式①得2＞x,解不等式②得a≤x,因為不等式組有整數(shù)解,所以解集為a≤x＜2,且這四個整數(shù)解為-2、-1、0、1.所以a＜x,所以-3＜ a＜-2,特別的,原解集為a≤x＜2,即x可以等于a,所以-3＜a≤-2.

由此可知,按此規(guī)律不借用數(shù)軸也可以快速求解.解完題后若多從不同角度、不同層次再進行求解過程的反思,往往可以發(fā)現(xiàn)一般的規(guī)律和最佳解題方案.

三 不等式與不等組在解決實際問題中的典型應(yīng)用

不等式與不等組是刻畫現(xiàn)實情境中不等關(guān)系的數(shù)學模型.利用實際問題中變量之間的不等關(guān)系,構(gòu)建不等式與不等組來解決問題是十分重要的數(shù)學建模思想的應(yīng)用.數(shù)學建模思想作為初中數(shù)學核心素養(yǎng)的關(guān)鍵知識之一,有助于學生體驗數(shù)學在解決實際問題中的價值和作用;體驗數(shù)學與日常生活和其他科學的聯(lián)系;體驗綜合運用數(shù)學知識和方法解決實際問題的過程,增強應(yīng)用意識,有助于激發(fā)學生興趣,發(fā)展創(chuàng)新意識和實踐能力.

下面就一元一次不等式和不等式組在實際問題中的典型應(yīng)用舉例如下：

(一)構(gòu)建一元一次不等式和不等式組解決實際問題的一般步驟

例6 有若干個蘋果分給幾個孩子,若每人分3個則余8個,若每人5個,則最后一個孩子得到了蘋果但不足5個,問共有幾個孩子,有多少個蘋果？

解析 此題包含兩個數(shù)量關(guān)系,一個是相等關(guān)系,另一個是不等關(guān)系.不等關(guān)系有一定的隱蔽性,使列不等式有一定的難度.這是該題的難點,也是其“典型”性的特征.如何抓住問題中的關(guān)鍵詞將其轉(zhuǎn)換為與不等式相關(guān)的數(shù)學符號語言,是列不等式的關(guān)鍵.這里“最后一個孩子得到了蘋果不足5個”,是列不等式的關(guān)鍵詞.分析其實際含義是：把所有蘋果給前面每人分5個,則剩余的蘋果數(shù)大于0但小于5;也可以這樣理解 若每人分5個,則蘋果不夠,但最后一個孩子至少有一個,若只給前面每人分5個,則蘋果有剩余,這一句話中有兩個不等關(guān)系.

解 設(shè)有x個孩子,則有蘋果(3x+8)個,由題意得(最后一個孩子至少有一個,注意不等式是否帶等號)0＜ 3x+8-5(x-1)＜ 5,或.解得,4＜ x＜ 6.5.

因為x為整數(shù),所以x=5或6.

當x=5時,蘋果有：3×5+8=23個,

當x=6時,蘋果有：3×6+8=26個,

答：5個孩子時,23個蘋果;6個孩子時,26個蘋果.

由以上解題過程知,列不等式不等式組解實際問題步驟如下：

(1)審清題意,設(shè)適當?shù)奈粗獢?shù);

(2)用含未知數(shù)的代數(shù)式表示某些量;

(3)根據(jù)題意中的不等關(guān)系列出不等式或不等式組;

(4)解不等式或不等式組;

(5)求出不等式的解集,根據(jù)實際問題確定符合題意的解;

(6)檢驗并回答.

(二)構(gòu)建不等式組來解決方設(shè)計和最優(yōu)方案選擇問題

方案選擇問題是日常生活常見問題之一.這類題較好的反映了數(shù)學在解決實際問題中的價值和作用,體現(xiàn)出數(shù)學與日常生活和其他科學的聯(lián)系,是中考熱點題型.解方案設(shè)計和最優(yōu)方案選擇題與單一方案選擇問題不同,其難點是如何根據(jù)實際問題設(shè)計出符合題意的幾種方案類型.一般要用不等式組確定關(guān)鍵量的取值范圍,再由關(guān)鍵量取正整數(shù)的要求產(chǎn)生不同的方案.選擇其中最優(yōu)方案,可以逐一計算后作比較,也可以利用函數(shù)的性質(zhì)進行選擇.

例7 光華農(nóng)機租賃公司共有50臺聯(lián)合收割機,其中甲型20臺,乙型30臺.現(xiàn)將這50臺聯(lián)合收割機派往A、B兩地區(qū)收割小麥,其中30臺派往A地區(qū),20臺派往B地區(qū).兩地區(qū)與該農(nóng)機租賃公司商定的每天的租賃價格見下表1：

表1

(1)設(shè)派往A地區(qū)x臺乙型聯(lián)合收割機,租賃公司這50臺聯(lián)合收割機一天獲得的租金為y(元),求用x表示y的關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;

(2)若使農(nóng)機租賃公司這50臺聯(lián)合收割機一天獲得的租金總額不低于79600元,說明有多少種分派方案,并將各種方案設(shè)計出來;

(3)如果要使這50臺聯(lián)合收割機每天獲得的租金最高,請你為光華農(nóng)機租賃公司提出一條合理建議.

解析 問題(1)有一定的難度,必須理清派往A、B兩地的甲型和乙型兩種收割機的數(shù)量,然后求出x與y的數(shù)量關(guān)系.由于每種機型到A、B兩地的租金不同,一定要分清量之間的對應(yīng)關(guān)系,這是解題的關(guān)鍵;問題(2)主要考察方案設(shè)計,關(guān)鍵是利用問題(1)的結(jié)論建立不等式,然后由不等式的整數(shù)解設(shè)計分派方案;問題(3)的解答關(guān)鍵還是利用問題(1)的結(jié)論,然后可計算每種方案的租金后作出選擇,也可以由一次函數(shù)的增減性確定租金的最大值.由此看出,問題(1)是解整個問題的基礎(chǔ).這類問題往往含有較多的數(shù)據(jù),最易張冠李戴,造成關(guān)系式錯誤而導致解題失敗.所以利用表格這個有力工具便可以使數(shù)量關(guān)系清晰明了.

表2

詳解 (1)如表2,若派往A地區(qū)的乙型收割機為x臺,則派往A地區(qū)的甲型收割機為(30-x)臺;派往B地區(qū)的乙型收割機為(30-x)臺,派往B地區(qū)的甲型收割機為(x-10)臺,

所以y=1600x+1800(30-x)+1600(x-10)+1200(30-x)=200x+74000.由題意知：30-x≥ 0,x-10≥0,所以x的取值范圍是：10≤x≤30(x是正整數(shù)).

(2)由題意,令200x+74000≥ 79600,解不等式,得x≥28,由于10≤x≤30,所以28≤x≤30.所以x取28,29,30這三個值,所以有3種不同分配方案.

當x=28時,即派往A地區(qū)甲型收割機2臺,乙型收割機28臺;派往B地區(qū)甲型收割機18臺,乙型收割機2臺;

當x=29時,即派往A地區(qū)甲型收割機1臺,乙型收割機29臺;派往B地區(qū)甲型收割機19臺,乙型收割機1臺;

當x=30時,即30臺乙型收割機全部派往A地區(qū);20臺甲型收割機全部派往B地區(qū).

(3)由于一次函數(shù)y=200x+74000的值y是隨著x的增大而增大的,所以,當x=30時,y取得最大值.如果要使農(nóng)機租賃公司這50臺聯(lián)合收割機每天獲得租金最高,只需x=30,此時,y=6000+74000=80000.所以建議農(nóng)機租賃公司將30臺乙型收割機全部派往A地區(qū);20臺甲型收割要全部派往B地區(qū),可使公司獲得的租金最高.

點評 問題(1)因理不清派往A、B兩地甲型和乙型兩種收割機的數(shù)量,導致切入困難;特別是表示A地區(qū)和B地區(qū)的收割機每天獲得的租金關(guān)系式時,對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系最易混淆.設(shè)計分派方案表格是理清關(guān)系的法寶,要善于使用.設(shè)計分派方案的另一關(guān)鍵是x的取值范圍.這個范圍要受到實際問題的制約,隱含在問題之中,要仔細分析.此類題以身邊的題材為背景,以圖表信息為載體突出考察信息提取能力、數(shù)學建模能力及方案設(shè)計能力,是中考熱點問題.

由以上例子可知,不等式與不等組不但是學習其他代數(shù)知識的基礎(chǔ),也是解決實際問題的重要數(shù)學模型.在應(yīng)用不等式解決問題過程中,充分體現(xiàn)了類比思想、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)學建模等重要數(shù)學思想方法的策略性和導向作用.但要提升運用思想方法解決綜合問題的能力,應(yīng)注意打好基礎(chǔ),及時歸納整理并進行適當?shù)木毩暡拍軐崿F(xiàn).