二分法求方程近似解的探究教學(xué)設(shè)計

四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院(610068) 盛朝陽 邵利

二分法求方程近似解的探究教學(xué)設(shè)計

四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院(610068) 盛朝陽 邵利

探究教學(xué)是一個創(chuàng)造思維的起點,一次創(chuàng)新意識的啟動.探究讓教學(xué)充滿韻味;讓學(xué)生成為主體,涌動生命的靈性,催生探究的智慧;讓原本冰冷的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為火熱的動態(tài)教學(xué)內(nèi)容;讓學(xué)習(xí)變得生動活潑、富有個性.

目前對數(shù)學(xué)探究教學(xué)的理解異彩紛呈,其內(nèi)涵沒有一個明確的定義,但都強調(diào)教學(xué)過程是由學(xué)生自主探究來學(xué)習(xí)新知識,教師起引導(dǎo)作用,且探究過程的設(shè)計要基于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點.《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(實驗)》(下簡稱課標)明確指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動,讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程,發(fā)展他們的創(chuàng)新意識.”數(shù)學(xué)公式、定理、法則等規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、證明過程蘊含豐富的數(shù)學(xué)觀點、思想方法,只有和相應(yīng)的探究過程結(jié)合才能使學(xué)生的理智過程和整個精神世界獲得實質(zhì)性的發(fā)展與提升,從而促進知識的理解,技能的掌握,思想方法的滲透,數(shù)學(xué)經(jīng)驗的獲得,提高遷移能力、分析能力、探究能力,培養(yǎng)勇于實踐、樂于探究、善于質(zhì)疑、求異創(chuàng)新的精神,利于學(xué)生進行“再創(chuàng)造”.而教材是課表的有力載體,教材中提供了很多現(xiàn)實、有趣、富有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)素材,展現(xiàn)了知識的發(fā)生、發(fā)展過程.由此筆者選擇二分法求解方程近似解的內(nèi)容,對教材中的思考問題、例習(xí)題、課后閱讀等進行了深入分析,并根據(jù)知識間的前后聯(lián)系,結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)情況,綜合考慮探究的可行性,嘗試設(shè)計二分法求方程近似解的探究教學(xué),希望能為教師充分挖掘教材中的探究素材,合理有效進行探究教學(xué)設(shè)計帶來啟示.

1.教材分析

筆者首先對人教A版必修1第三章的二分法求方程近似解這部分內(nèi)容進行剖析,明確內(nèi)容是否適合探究教學(xué),其次分析出本節(jié)課的重、難點,并嘗試找到突出重點、突破難點的方法.

二分法求方程近似解是利用估算的方法限制方程根的范圍進而求根的近似值,內(nèi)容并不具有極強的抽象性,但又不是一目了然的知識性材料,與前面的知識聯(lián)系緊密,是對函數(shù)零點與方程根的關(guān)系的進一步應(yīng)用,是方程與函數(shù)的有機結(jié)合.且教材中的思考問題、例習(xí)題等提供了豐富的探究素材,能夠創(chuàng)設(shè)出合理的探究情境.在教師引導(dǎo)下,學(xué)生能夠探究出二分法求方程近似解的步驟及使用條件,并且通過探究的方式進行教學(xué),有利于加深學(xué)生對方程與函數(shù)間關(guān)系的理解,提高數(shù)形結(jié)合的能力,所以這部分內(nèi)容適合探究教學(xué).

本節(jié)課的教學(xué)重點是利用二分法求方程的近似解,難點是對二分法求方程近似解算法的探究和使用條件的探究.筆者將先從特殊函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的圖像入手,讓學(xué)生通過觀察圖像的特點結(jié)合特殊點的函數(shù)值確定方程解的范圍,再利用圖像結(jié)合生活經(jīng)驗引導(dǎo)學(xué)生通過取中點的方法逐漸縮小解的范圍,并讓學(xué)生在不斷重復(fù)操作的過程中主動提出精確度問題、分析判斷精確度的方法,最后將問題由特殊到一般化,讓學(xué)生歸納總結(jié)出二分法求方程近似解的一般步驟及條件,以此來突出重點、突破難點.

2.學(xué)情分析

高中生的思維有一定的抽象性,具有獨立思考、探索、反思的能力,對有挑戰(zhàn)性的任務(wù)感興趣,而本節(jié)課的內(nèi)容建立在學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)上,是對函數(shù)與方程關(guān)系的進一步加深,接近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”.且由教材中的素材能夠創(chuàng)設(shè)探究情境、設(shè)計探究活動,學(xué)生在一定的探究情境、探究活動中能夠獨立或合作探究出二分法求方程近似解的步驟及條件,具有探究的可行性.

3.教學(xué)目標

根據(jù)教材及學(xué)情分析制定教學(xué)目標如下：

(1)會利用二分法求方程近似解.

(2)通過探究二分法求方程近似解的步驟方法,加深對函數(shù)與方程的理解,建構(gòu)知識間的有效聯(lián)結(jié),學(xué)會用聯(lián)系的觀點學(xué)習(xí)數(shù)學(xué);滲透數(shù)形結(jié)合的思想,提高提出問題、分析問題、解決問題的能力.

(3)通過探究二分法求方程近似解的使用條件,體會由特殊到一般的過程,提升辯證思維,提高歸納概括、合作交流、探究的能力.

4.教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1利用圖像創(chuàng)設(shè)探究情境

課堂呈現(xiàn) PPT展示函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的部分圖像(如圖1所示),請學(xué)生將缺失部分補充完整.

圖1

活動預(yù)設(shè) 學(xué)生分析的角度可能不同,有的學(xué)生從函數(shù)的三要素入手,發(fā)現(xiàn)f(x)定義在x＞0上,于是知道只需補充軸右邊的圖像即可;有的學(xué)生從函數(shù)的性質(zhì)入手,分析f(x)的單調(diào)性和奇偶性,在放手讓學(xué)生進行探究的過程中,教師需注意引導(dǎo),如在學(xué)生發(fā)現(xiàn)f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)時,要求學(xué)生進行證明,體會數(shù)學(xué)推理的嚴謹性.

設(shè)計意圖 此函數(shù)不是學(xué)生熟悉的特殊函數(shù),不能立即得到該函數(shù)的完整圖像,但學(xué)生也并非是無從下手,通過對函數(shù)定義域、值域和相關(guān)性質(zhì)的分析后能夠探究出函數(shù)的大致圖像,讓學(xué)生在應(yīng)用中加深對前面所學(xué)函數(shù)知識的理解并為新課引入作鋪墊.

環(huán)節(jié)2通過環(huán)環(huán)相扣的問題激發(fā)探究過程

課堂呈現(xiàn) 學(xué)生將函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的圖像補充完整后教師繼續(xù)追問：f(x)有零點嗎？有幾個零點？你能求出來嗎？教師逐步引導(dǎo)學(xué)生將問題一般化,探究出二分法求函數(shù)近似零點的一般步驟及條件.

活動預(yù)設(shè) 首先根據(jù)圖像學(xué)生能立即得出f(x)有且僅有一個零點,此時教師可進一步啟發(fā)學(xué)生的思維,讓學(xué)生說說為什么,通過剛剛補充圖像的過程學(xué)生已經(jīng)知道f(x)在x＞0上是連續(xù)不斷的、單調(diào)遞增的且有一部分圖像在x軸上方,一部分圖像在x軸下方,所以與x軸有且僅有一個交點.

圖2

其次對于求出零點,學(xué)生根據(jù)前面對函數(shù)零點與方程根關(guān)系的學(xué)習(xí),易知要求出f(x)的零點即是解出對應(yīng)方程的根,但解方程有困難,學(xué)生可能會陷入探究的困境,此時教師需作引導(dǎo)：讓學(xué)生求方程的近似解.學(xué)生再次回到圖像結(jié)合特殊函數(shù)值發(fā)現(xiàn)f(1)＜0,f(3)＞0說明解在(1,3)之間,但是如何縮小解所在范圍又成了下一個困難之處.教師可通過幾何畫板作出f(x)的準確圖像(如圖2所示)請學(xué)生觀察,此時便將解縮小在(2,3)之間,2剛好是(1,3)的中間值,給學(xué)生一個啟示,若學(xué)生還是不能解決,教師可闡述一個生活經(jīng)驗如檢查線路、競猜物價等,這時學(xué)生可能就會明白要快速縮小范圍可以先排除一半,此時教師需進一步追問：怎么排除一半,學(xué)生結(jié)合剛才由觀察圖像縮解范圍的過程可知解原本在(1,3)間,先找中間值2所對應(yīng)的函數(shù)值并判斷其符號,若f(2)＜0,則解在(2,3)之間中;若f(2)＞0,解在(1,2)中,由此排除一半,在這樣的過程中讓學(xué)生逐漸建立二分法的思想.

接著有了這樣的思路學(xué)生將繼續(xù)尋找更為精確的近似解,但是在這樣重復(fù)找中間值判斷其符號的操作中有學(xué)生就會開始產(chǎn)生疑問：什么時候結(jié)束？由此教師自然引出精確度的概念,并請學(xué)生討論如何判斷是否達到了所給的精確度,學(xué)生在探究方程近似解的過程中不斷重復(fù)做的就是縮小解所在范圍,范圍越小則解越精確,所以學(xué)生能夠想到用區(qū)間長度來刻畫精確程度.

圖3

然后教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊上升到一般,提出問題請學(xué)生思考：對任意的方程是否都能用二分法求方程的近似解？此時學(xué)生可能展開激烈的討論,有的認為能,有的認為此方法是有條件的,教師要請學(xué)生給出相應(yīng)的理由.讓學(xué)生在辨析中明確二分法求方程近似解的其中一個關(guān)鍵是：若解在(a,b)內(nèi),則f(a)·f(b)＜0.另一個使用條件是要求f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù),這個特點學(xué)生發(fā)現(xiàn)有困難,教師可以先進行一個課堂練習(xí)：根據(jù)圖像找出不能用二分法求近似零點的函數(shù),對于其中一個圖(如圖3所示)學(xué)生可能又會有不同的看法,有學(xué)生認為該函數(shù)不是連續(xù)的,不能用二分法求近似解,此時就會有學(xué)生反駁,函數(shù)在(2,4)內(nèi)連續(xù)且f(2)·f(4)＜0,所以解在內(nèi),把分析的過程交給學(xué)生,讓學(xué)生產(chǎn)生思維的碰撞,明確二分法對函數(shù)連續(xù)的要求是局部的.

最后請學(xué)生用各種方式總結(jié)歸納出二分法求方程近似解的過程及條件,有的學(xué)生可能用文字敘述,有的用符號表示,還有的可能會用框圖來說明,這為之后算法的學(xué)習(xí)埋下伏筆.

設(shè)計意圖 通過環(huán)環(huán)相扣的問題讓學(xué)生探究二分法求方程近似解的步驟、使用條件,即使學(xué)生在探究中陷入困境,教師也不急于給出答案,而是通過搭建腳手架的方式引導(dǎo)學(xué)生深入思考,主動提出問題,分析、解決問題,過程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力、由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想、問題意識.最后把歸納二分法的過程交給學(xué)生,幫助學(xué)生回顧反思探究過程,加深函數(shù)與方程的理解.

環(huán)節(jié)3通過練習(xí)深入理解探究成果

課堂呈現(xiàn) 利用二分法求方程2x+3x=7的近似解,精確到0.1(高中人教版P90,例2).

設(shè)計意圖 讓學(xué)生在練習(xí)中熟悉、掌握二分法求解的過程,在應(yīng)用加深理解.

環(huán)節(jié)4通過總結(jié)反思提升思維延續(xù)探究

課堂呈現(xiàn) 小組討論總結(jié)本節(jié)課的主要數(shù)學(xué)知識和思想方法,并提出一個思考：估計的近似值.

設(shè)計意圖 課堂小結(jié)的目的是在學(xué)生頭腦中建立認知結(jié)構(gòu),所以可讓學(xué)生先獨自思考再小組討論最后全班交流,在完善知識系統(tǒng)的過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想.思考題將估算、函數(shù)、方程相聯(lián)系,讓學(xué)生建構(gòu)知識間關(guān)系,學(xué)會用聯(lián)系的觀點學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

5.設(shè)計說明

筆者首先通過探究活動1：完善函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的圖像作為引入,是對函數(shù)性質(zhì)等內(nèi)容的具體應(yīng)用,提高數(shù)形結(jié)合的能力,同時又激發(fā)學(xué)生的探究欲;其次由探究活動2：尋找方程lnx+2x-6=0解所在范圍,讓學(xué)生通過觀察方程所對應(yīng)的函數(shù)圖像再結(jié)合特殊點函數(shù)值找到解所在范圍,在應(yīng)用中加深對函數(shù)與方程間聯(lián)系的理解;接著進行探究活動3：逐漸縮小解所在范圍,通過引導(dǎo)學(xué)生再次對圖像進行觀察和分析,并結(jié)合生活經(jīng)驗,讓學(xué)生探求解決辦法,培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析能力,體會數(shù)學(xué)來源于生活又高于生活;再設(shè)計探究活動4：讓學(xué)生在不斷重復(fù)操作取中間值縮小解所在范圍的過程,產(chǎn)生疑問進而分析解決精確度的判斷問題,學(xué)生經(jīng)歷提出問題→分析問題→解決問題的過程有利于培養(yǎng)問題意識;然后通過探究活動4：讓學(xué)生歸納總結(jié)二分法求解方程近似解的一般過程,體會由特殊到一般的思想,學(xué)會用辯證的眼光看待數(shù)學(xué)問題,提高概括、反思能力,有利于形成良好的認知結(jié)構(gòu);最后由探究活動5：估計的近似值,延續(xù)課后探究,發(fā)散學(xué)生思維.