基于數(shù)學(xué)實驗的勾股定理教學(xué)設(shè)計

華南師范大學(xué)(510631) 葉慧妍

基于數(shù)學(xué)實驗的勾股定理教學(xué)設(shè)計

華南師范大學(xué)(510631) 葉慧妍

教材

人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊18.1“勾股定理”(第1課時)

教材分析

“勾股定理”是幾何中一個非常重要的定理,它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系,將數(shù)與形密切聯(lián)系起來,具有豐富的歷史背景,在理論上占有重要地位.同時,它也可以解決許多直角三角形中的計算問題,是解直角三角形的主要依據(jù)之一,在生產(chǎn)生活實際中用途很大.它不僅在數(shù)學(xué)中,而且在其他自然科學(xué)中也被廣泛地應(yīng)用.

學(xué)情分析

1.認(rèn)知基礎(chǔ)

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的一些性質(zhì)、面積計算以及完全平方公式等知識,因此在學(xué)習(xí)過程中可以較為容易地接受與直角三角形性質(zhì)有關(guān)的“勾股定理”及其證明過程,并由此結(jié)合生活實例應(yīng)用勾股定理解決問題.

2.認(rèn)知障礙

(1)如何正確理解勾股定理符號表達(dá)式的含義.

(2)如何通過拼圖運(yùn)用“面積法”證明勾股定理.

(3)如何運(yùn)用勾股定理解決實際問題.

教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

(1)理解勾股定理及其證明過程.

(2)理解并掌握勾股定理的符號表達(dá)形式.

(3)掌握“面積法”這一證明方法.

2.過程與方法

(1)經(jīng)歷問題和數(shù)學(xué)史引入,自主探索發(fā)現(xiàn)并提出勾股定理這一數(shù)量關(guān)系假設(shè)的過程,通過剪紙拼圖學(xué)習(xí)利用“面積法”證明勾股定理的轉(zhuǎn)化與化歸以及數(shù)形結(jié)合思想.

(2)通過具體數(shù)據(jù)得出勾股定理并抽象為數(shù)學(xué)符號的過程,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維能力,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.情感態(tài)度與價值觀

(1)感受學(xué)習(xí)勾股定理的重要性和必要性;

(2)體會數(shù)學(xué)實驗活動在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中數(shù)學(xué)定理的“再發(fā)現(xiàn)”過程,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之美、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之趣,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

(3)了解中國數(shù)學(xué)歷史,增強(qiáng)民族文化認(rèn)同感,培養(yǎng)民族自豪感.

教學(xué)重點 理解并掌握勾股定理的符號表達(dá)形式及其證明方法.

教學(xué)難點 利用面積法證明勾股定理.

教學(xué)方法 問題驅(qū)動、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、實驗探究、小組討論

教學(xué)手段 計算機(jī)、PPT、幾何畫板

教學(xué)流程設(shè)計

教學(xué)過程設(shè)計

(一)問題引入,吸引注意

圖1

教師活動：(幾何畫板動態(tài)展示勾股樹,吸引學(xué)生注意力)同學(xué)們,你們知道這個是什么嗎？有沒有發(fā)現(xiàn)什么特點或者規(guī)律？

學(xué)生活動：不知道是什么,但是上面每一個圖形好像都由前一個衍生出來的樣子,具有相同的圖形特征.

教師活動：嗯,對的！觀察得非常仔細(xì),能發(fā)現(xiàn)這個特點非常棒！那么它究竟是什么呢？接下來讓我們在課堂中慢慢認(rèn)識它.下面我們繼續(xù)看幾個問題.

問題1 如圖2,一棵樹在離地面3米處斷裂,樹的頂部落在離底部4米處,樹折斷之前有____米高？

圖2

圖3

問題2 如圖3所示,隔湖有A,B兩點,從與BA方向成直角的BC方向上取一個點C,測得CA=50 m,CB=40 m,試求A,B兩點間的距離.

教師活動：在我們生活中經(jīng)常會遇到像題目中的事情,比如問題1,要不費力氣地算出整棵樹的高度以及問題2中不必劃船求出湖的最大長度,大家能想到怎么算嗎？

學(xué)生活動：不知道(沒有好的方法).

教師活動：那大家想知道怎么可以方便快速地求出來嗎？

學(xué)生活動：想！

教師活動：嗯,好,但是老師先不告訴大家怎么算.接下來讓我們看一下如何去探索這一計算方法.

背景介紹1

相傳2500年前,畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家里做客時,發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面中反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系.

教師活動：大家發(fā)現(xiàn)了這一圖形嗎？那么究竟這幾個圖形之間有什么特殊的關(guān)系？下面我們來動手畫一畫剪一剪算一算.(下發(fā)帶方格的信紙用于作圖)

圖4

設(shè)計意圖 通過生活實例進(jìn)行引入使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知障礙,激發(fā)學(xué)生尋找問題解決辦法的動力,同時結(jié)合勾股樹以及畢達(dá)哥拉斯的故事使學(xué)生對定理探究發(fā)現(xiàn)過程充滿興趣,吸引學(xué)生注意力.

(二)探究發(fā)現(xiàn),提出猜想

教師活動：下面,我們分小組一起來動手做一下.大家拿出方格紙,按照方格線條根據(jù)以下步驟操作：

實驗(一)

1.在方格紙上任意畫出一個直角三角形,并記錄相應(yīng)邊長(短直角邊為a,長直角邊為b,斜邊為c),填表.

圖5

2.根據(jù)所記錄的數(shù)據(jù),分別畫出相應(yīng)邊長的正方形,記錄其面積為S1、S2、S3,填表.

3.根據(jù)所記錄的數(shù)據(jù),嘗試是否能找出其中的數(shù)量關(guān)系.

教師活動：好,大家都做好了吧？下面請每個小組匯報一下各自小組的相關(guān)數(shù)據(jù)(教師把數(shù)據(jù)寫在黑板上)：

表1

(通過小組數(shù)據(jù)以及幾何畫板的動態(tài)展示,列舉較為充足的數(shù)據(jù))

圖6

教師活動：那么我們現(xiàn)在有這么多組的數(shù)據(jù),大家試著能否從這些數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)些什么數(shù)量關(guān)系？(引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)S1+S2=S3,即a2+b2=c2這一數(shù)量關(guān)系,從而引入勾股定理)

定理猜想 在直角三角形中,直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.即：a2+b2=c2.

設(shè)計意圖 通過分組合作探究、共享實驗數(shù)據(jù),引導(dǎo)學(xué)生通過觀察現(xiàn)象大膽提出猜想,并在實驗過程中滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生的問題探索能力以及類比遷移能力.

(三)實驗驗證,引入定理

教師活動：那我們通過上述數(shù)據(jù)可以大致推出“在直角三角形中,直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”這一猜想,即a2+b2=c2.那么這一猜想是否正確呢？下面讓我們動手做做實驗來驗證一下其正確性.

實驗(二)

1.做八個大小相等的直角三角形,設(shè)它們的兩條直角邊分別為a、b,斜邊長記作c.

2.然后分別以為a、b、c邊長做3個正方形.

3.把所做的8個直角三角形和3個正方形裁剪出來.

4.嘗試?yán)盟眉舻娜切魏驼叫纹闯鰞蓚€大的正方形.

教師活動：(巡查指導(dǎo)各小組拼圖)好,下面我們有請A小組上來為我們展示一下他們的拼圖成果(圖7和圖8).

下面,大家嘗試著利用圖7證明完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2.

圖7

圖8

學(xué)生活動：(B小組展示證明過程)

證明1 圖7證明完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2：

由圖7可以看到,邊長為(a+b)的大正方形面積=1個邊長為a的正方形面積+1個邊長為b的正方形面積+4個直角邊分別為a、b的直角三角形的面積,即有：

化簡可得：(a+b)2=a2+2ab+b2.

教師活動：很好！沒錯,從圖7我們可以證明完全平方公式.那么,我們利用圖7證明的完全平方公式再結(jié)合圖8來嘗試著驗證一下我們剛才的猜想a2+b2=c2是否正確.

學(xué)生活動：(C小組展示證明過程)

證明2 圖8證明猜想a2+b2=c2由圖8可以看到,邊長為(a+b)的大正方形面積=1個邊長為c的正方形面積+4個直角邊分別為a、b的直角三角形的面積,即有：

化簡可得：a2+b2=c2.

教師活動：很棒！運(yùn)用面積法結(jié)合圖7證明的完全平方公式,從圖8我們可以很好地證明了我們的猜想a2+b2=c2是成立的,而同樣地,其實歷史上這一證法也是我們古代的趙爽用來證明這一定理的方法.現(xiàn)在,我們把直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方即a2+b2=c2這一數(shù)量關(guān)系稱為“勾股定理”.

背景介紹2

兩千多年前,古希臘有個畢達(dá)哥拉斯學(xué)派,他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理,因此在國外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理.為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派,1955年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念郵票.

但其實中國也是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家之一.中國古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形為勾股形,較短的直角邊稱為勾,另一直角邊稱為股,斜邊稱為弦,所以勾股定理也稱為勾股弦定理.早在三千多年前,周朝數(shù)學(xué)家商高就提出,將一根直尺折成一個直角,如果勾等于三,股等于四,那么弦就等于五,即“勾三、股四、弦五”,它被記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.因此,勾股定理在中國又稱“商高定理”.由此可見,我國文化博大精深,中華民族是很有智慧的一個偉大的民族.

設(shè)計意圖 通過學(xué)生自己動手拼圖探究發(fā)現(xiàn),在實驗中探索定理的驗證方法,使學(xué)生在課堂中由被動者轉(zhuǎn)為主動者去體驗數(shù)學(xué)定理“再發(fā)現(xiàn)”過程,充分感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之趣和數(shù)學(xué)之美.同時穿插數(shù)學(xué)史,讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中體會數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)研究的偉大精神及提升民族文化認(rèn)同感.

(四)變式思考,鞏固運(yùn)用

教師活動：從剛才拼圖到證明勾股定理,我們所利用的是“面積法”這一證明方法.那其實運(yùn)用“面積法”證明勾股定理還有很多種方法.下面我們來嘗試著運(yùn)用這一思想方法從其他角度證明勾股定理.

(1)梯形面積法 以直角三角形為基礎(chǔ),可以構(gòu)造出以a,b為底,以a+b為高的直角梯形(如圖9).利用圖9,可驗證勾股定理：

化簡可得：a2+b2=c2.

這是第20屆美國總統(tǒng)茄菲爾德的證法,梯形的面積等于兩個直角三角形的面積與等腰直角三角形的面積之和.

圖9

(2)割補(bǔ)法(印度婆什迦羅的證明)

將圖10(兩個正方形拼成的)剪兩刀,拼成一個大正方形,使它的邊長正好等于以a,b為直角邊的直角三角形的斜邊的長度.

圖10

圖11

印度數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家婆什迦羅(B haskara)對勾股定理給出一種奇妙的證明,也是一種分割型的證明.如圖11所示,把斜邊上的正方形劃分為五部分.其中四部分都是與給定的直角三角形全等的三角形;一部分為兩直角邊之差為邊長的小正方形.很容易把這五部分重新拼湊在一起,得到兩個直角邊上的正方形之和.

設(shè)計意圖 對勾股定理的證明方法進(jìn)行變形,激發(fā)學(xué)生繼續(xù)思考探索的動力.回顧數(shù)學(xué)史上各數(shù)學(xué)家對勾股定理證明的貢獻(xiàn),使學(xué)生了解數(shù)學(xué)家在解決數(shù)學(xué)問題過程中的堅持與創(chuàng)新,培養(yǎng)學(xué)生鍥而不舍的探究精神、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度以及不斷創(chuàng)新的信念.

(五)小結(jié)及作業(yè)

小結(jié)

1.正確理解勾股定理符號表達(dá)式a2+b2=c2的含義.無論直角三角形各邊長多大或多小,都可以用該表達(dá)式表示.特別地,在定理中字母a、b、c只是邊長數(shù)值的符號化表示,a2+b2=c2也可以改成x2+y2=z2等其他符號表達(dá)式表示勾股定理,其意義并不發(fā)生改變.

2.證明勾股定理的方法有很多,其中最常用的是“面積法”,即“趙爽弦圖”、“梯形面積法”等.

3.利用“面積法”可以證明很多定理,如：射影定理等;也可以解決很多數(shù)學(xué)問題,如：求直角三角形斜邊上的高,等等.

4.數(shù)學(xué)實驗是一種建立感性認(rèn)識,并以此為基礎(chǔ)追求理性的過程,有利于我們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)入更深層次的理解和探究.數(shù)學(xué)實驗活動在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中起到“再發(fā)現(xiàn)”過程的體驗作用,有助于領(lǐng)悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之美、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之趣.因此,我們可以嘗試多運(yùn)用數(shù)學(xué)實驗思想進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),如探索全等三角形、相似三角形等問題.

作業(yè)

教師活動：回顧問題引入中兩個生活問題,檢驗課堂學(xué)習(xí)效果.布置課后作業(yè),鞏固學(xué)習(xí)內(nèi)容.

1.如圖12,分別以直角△ABC的三邊AB=13,CA=12為直徑向外作半圓.設(shè)直線AC左邊陰影部分的面積為S1,AB右邊陰影部分的面積和為S2,則S3=___.

圖12

2.用4個兩條直角邊分別為a、b,斜邊長為c的相同的直角三角形,按圖13拼圖.請參考圖14和圖15的拼法,嘗試證明勾股定理：a2+b2=c2.

圖13

圖14

圖15

設(shè)計意圖 小結(jié)意在鞏固本節(jié)課所學(xué)知識,回顧勾股定理探索及證明過程,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)探究精神;作業(yè)針對學(xué)生認(rèn)知差異,設(shè)計有層次的題目,使不同能力的學(xué)生都能有所收獲.特別是后面兩題,為開放性探究題目,旨在使學(xué)有余力的學(xué)生能夠?qū)W會利用本節(jié)數(shù)學(xué)實驗課程中所學(xué)到的探究思維與數(shù)學(xué)思想對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行更深入地學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維及良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).