由直尺和三角板改編的中考?jí)狠S題賞析

趙立新

[摘 要] 以直尺和三角板為道具，以熟悉的幾何圖形為載體，并輔之以平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等變換手段衍生的一系列問(wèn)題，能為學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐與操作聯(lián)想提供思考空間，也能提高學(xué)生的圖形運(yùn)動(dòng)變化、分類(lèi)討論思想等綜合運(yùn)用能力.

[關(guān)鍵詞] 直尺；三角板；變換；分類(lèi)討論；創(chuàng)新

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)學(xué)生“在生動(dòng)具體的情境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”“在現(xiàn)實(shí)的情境中體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)”. 因此，教師教學(xué)時(shí)應(yīng)充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)與學(xué)生生活環(huán)境密切相關(guān)且學(xué)生感興趣的問(wèn)題情境，讓學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察﹑實(shí)驗(yàn)﹑猜測(cè)﹑驗(yàn)證﹑推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng). 而直尺和三角板是學(xué)生最常見(jiàn)的學(xué)習(xí)工具，以直尺和三角板為道具，以熟悉的幾何圖形為載體，并輔之以平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等變換手段衍生一系列問(wèn)題，能為學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐與操作聯(lián)想提供思考空間，也能提高學(xué)生對(duì)基本圖形性質(zhì)的掌握程度以及觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、聯(lián)想、類(lèi)比、歸納的能力和圖形運(yùn)動(dòng)變化、分類(lèi)討論思想等綜合運(yùn)用的能力. 筆者改編了一道關(guān)于直尺和三角板的壓軸題，并進(jìn)行適當(dāng)難度分析和價(jià)值梳理，以此和大家探討關(guān)于中考復(fù)習(xí)有效性的問(wèn)題，以便更好地提高數(shù)學(xué)教學(xué)有效性.

改編題 在平面直角坐標(biāo)系里，有兩塊全等的直角三角形紙板ACD，BCD如圖1放置，使得AD，BD在x軸上，其中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，3），將一把直尺A′B′C′D′放置在該直角坐標(biāo)系中，使直尺邊A′B′∥BC，交x軸于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，交過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線于點(diǎn)G（點(diǎn)G在x軸上方），直尺另一邊C′D′交x軸于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，把直尺沿x軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移. 在平移過(guò)程中，△FME的面積與直尺平移距離的函數(shù)圖像如圖2所示.

（1）求出ME的長(zhǎng)及拋物線的解析式.

（2）在直尺平移過(guò)程中，直尺邊C′D′上是否存在一點(diǎn)N，使點(diǎn)M，N，E，F(xiàn)構(gòu)成的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）如圖3所示，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥x軸于點(diǎn)H，點(diǎn)Q和點(diǎn)R分別是HC，HB的中點(diǎn)，求出在直尺平移過(guò)程中，線段QR掃過(guò)圖形的面積；

評(píng)析 我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)或中考復(fù)習(xí)中會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于圖像的分析能力總是有所欠缺，找不準(zhǔn)分析的方向，不能對(duì)圖中所呈現(xiàn)的信息進(jìn)行合理地分類(lèi)探究，而當(dāng)遇到雙圖像對(duì)應(yīng)起來(lái)觀察時(shí)就更困難了，那么如何提高學(xué)生的識(shí)圖能力呢？特別是在中考復(fù)習(xí)時(shí)如何處理復(fù)雜圖形的分解、分類(lèi)呢？筆者在畢業(yè)班教學(xué)多年，發(fā)現(xiàn)教學(xué)復(fù)雜幾何圖形時(shí)，要讓學(xué)生從最基本的條件出發(fā)，去發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)結(jié)論，一步一步地把每一個(gè)呈現(xiàn)的條件最大化挖掘，而不是把所有條件擺在一起尋找結(jié)論所需，這樣學(xué)生在各個(gè)擊破的前提下，其之間的聯(lián)系也就自然呈現(xiàn)了，也就較容易找到問(wèn)題的根本所在. 比如第（1）問(wèn)，全等的三角板放在坐標(biāo)系里，能得到什么結(jié)論？學(xué)生能得到△CAB為等腰三角形，又由點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，3），可以得到OD=1，CD=3. 再由直尺邊A′B′∥BC，得到△FME也為等腰三角形. 對(duì)直尺的兩種特殊位置關(guān)系所產(chǎn)生面積的分析，可以發(fā)現(xiàn)直尺未走時(shí)其面積為1，停止時(shí)其面積為3，從而可以求出答案. 在平時(shí)的課堂上講解和分析此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，筆者總是用小步子的方式拋出問(wèn)題，學(xué)生接招的難度明顯降低，而當(dāng)把所有問(wèn)題拋完（甚至還沒(méi)拋完，學(xué)生就發(fā)現(xiàn)剩余的結(jié)論就是我們所需要的）時(shí)，結(jié)論就出來(lái)了，所以小步驟講解幾何題的方法既可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣、信心，也能提高學(xué)生分析問(wèn)題的針對(duì)性、連續(xù)性、完整性，還會(huì)提高中考幾何壓軸題的學(xué)習(xí)效率、復(fù)習(xí)效率.

評(píng)析 分類(lèi)討論是中考?jí)狠S題里的“常客”，幾乎每一份中考試卷里的壓軸題都有其蹤跡. 這類(lèi)題的特點(diǎn)就是小題較多，且容易失分，常常會(huì)被同學(xué)們忽略，經(jīng)常忘記分類(lèi)討論，或問(wèn)題經(jīng)常討論不全，討論全了結(jié)果還不一定對(duì). 而且，這類(lèi)題往往陷阱比較多，一個(gè)不注意就會(huì)掉進(jìn)出題陷阱中. 所以，這類(lèi)題的出現(xiàn)可以考查學(xué)生對(duì)問(wèn)題思路的清晰程度，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度，加強(qiáng)對(duì)這類(lèi)題的訓(xùn)練，可以提高解題效率，還可以培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力和邏輯思維能力. 那么如何分類(lèi)、精準(zhǔn)討論呢？ 我們要有條理地對(duì)題目進(jìn)行分類(lèi)，比如該小題對(duì)菱形產(chǎn)生的情況進(jìn)行分類(lèi). 由于ME的長(zhǎng)度是固定不變的，以它為突破口，情況會(huì)有兩種：ME為對(duì)角線或邊. 值得注意的是，在列出所有需要討論的可能性之后，要仔細(xì)審查是否每種可能性都會(huì)存在，是否有需要舍去某些情況.

評(píng)析 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中關(guān)于幾何直觀的描述有“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果”“幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮重要作用”. 在探究復(fù)雜幾何圖形時(shí)，分解步驟，尋找模型，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在. 當(dāng)一副三角板放上去時(shí)，我們聯(lián)想到“K型”三角形相似，從而得以突破難點(diǎn)，所以在平時(shí)的教學(xué)和中考復(fù)習(xí)中，要注意設(shè)置一些含有常見(jiàn)的基本圖形的幾何試題，培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生提煉數(shù)學(xué)模型的能力，以便在復(fù)雜的圖形中排除其他條件的干擾，迅速觸及問(wèn)題的本質(zhì)，提高解題效率，強(qiáng)化解題基本技能.

“提供新材料、創(chuàng)設(shè)新情境、提出新問(wèn)題”已成為近幾年中考數(shù)學(xué)試題設(shè)計(jì)的新特點(diǎn)，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出：“學(xué)生學(xué)習(xí)要從自身已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、勤于動(dòng)手、樂(lè)于探究. ”如果我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)和研究中，多關(guān)注身邊學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)，多讓學(xué)生講解問(wèn)題的由來(lái)，多研究數(shù)學(xué)知識(shí)最核心卻又最簡(jiǎn)潔的那一點(diǎn)，數(shù)學(xué)就會(huì)成為學(xué)生喜歡學(xué)、喜歡探究、喜歡創(chuàng)新的一門(mén)課程.