基于特征值問題的正交小波構(gòu)造方法

黃允滸，吐爾洪江·阿布都克力木，劉芳園，王 鑫，張鵬杰

（1.新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊830017；2.新疆巴音郭楞蒙古自治州和碩縣高級中學(xué) 新疆 烏魯木齊841200）

基于特征值問題的正交小波構(gòu)造方法

黃允滸1，吐爾洪江·阿布都克力木1，劉芳園1，王 鑫1，張鵬杰2

（1.新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊830017；2.新疆巴音郭楞蒙古自治州和碩縣高級中學(xué) 新疆 烏魯木齊841200）

本文提出了一種基于具有高階消失矩的IIR正交小波構(gòu)造方法.從小波的正交性和正則性條件出發(fā)，可以得到一些約束IIR濾波器組的條件，并且探討約束濾波器系數(shù)及其零極點的關(guān)系。依這些關(guān)系，可以直接將Remez算法應(yīng)用于禁止帶上，并制定了設(shè)計特征值問題形式的問題。其次，一組濾波器系數(shù)可以通過解它的特征值問題而容易地計算出來，并且通過施加迭代過程后將得到等波紋響應(yīng)的最優(yōu)濾波器系數(shù)，可以任意的指定消失矩的階數(shù)。

正交小波；高階消失矩；Remez算法；特征值問題；IIR濾波器

小波理論[1]是繼Fourier級數(shù)基礎(chǔ)上發(fā)展起來的另一有效信號處理工具，其目的是為了使之更適用于局部變化處理。最突出特點是多分辨率分析（MRA）特性，這種特性可以將信號進行時頻局部化分析，此思想的形成又源于工程應(yīng)用的推動，MRA不僅為正交小波的構(gòu)造提供了一種簡單方法，且為正交小波變換的快速算法提供了理論基礎(chǔ)。同時，MRA又與多采樣率濾波器組不謀而合，使小波變換同數(shù)字濾波器理論結(jié)合起來。消失矩是小波的一個重要特性,在小波分析中，由于小波變換事實上是一種具有特殊結(jié)構(gòu)的完全重構(gòu)濾波器，具有高階消失矩的小波相當于一個多尺度微分算子的作用，可以揭示出函數(shù)的可微性與其在細尺度下的衰減性之間的關(guān)系，許多小波的構(gòu)造方法也被提出，比如由尺度函數(shù)，B-樣條函數(shù)等構(gòu)造正交小波[2-6]。除了以上方法外，基于Daubechies方法也可以得到正交和雙正交小波濾波器。Daubechies已經(jīng)證明，同時具有緊支撐和對稱性的實值正交小波僅有Haar小波，但Haar小波不具有連續(xù)性.為了得到比Haar小波濾波器更具有光滑性的實值正交對稱小波濾波器，Herley和Vetterli的文獻中提出了一類IIR解，并且討論了兩種情況[8]：HSS（half sample symmetric）與 WSS（whole sample symmetric）。

由完全重構(gòu)二通道濾波器組的方法來得到小波基[10-11]。本文考慮一個仿酉濾波器組，它在迭代時生成正交小波基.通過IIR來實現(xiàn)仿酉濾波器組的應(yīng)用。兩個全通濾波器并聯(lián)所產(chǎn)生的傳遞函數(shù)是有限的，而消失矩顯示了生成的小波在時間上的平穩(wěn)變化。在文獻[4-5]的方法中不能用于產(chǎn)生具有高階消失矩的小波基。

在本文中，基于傳統(tǒng)的IIR濾波器的消失矩，提出構(gòu)建高階消失矩正交小波的構(gòu)造方法.由于在合成正交小波基時減少了正交濾波器組的設(shè)計，所以只需考慮具有附加平坦度約束的IIR正交濾波器組的設(shè)計.由小波的正交性和正則性特點出發(fā)[13]，得到IIR濾波器組的約束條件，并研究了約束濾波器系數(shù)及其零極點之間的關(guān)系。根據(jù)這些關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)，該積濾波器的幅度響應(yīng)在通帶和阻帶之間反對稱的[16]。因此，可以直接在阻帶之間運用Remez算法，并制定特征值問題的形式設(shè)計，通過得到的一組濾波器系數(shù)作為相應(yīng)的特征向量，通過求解特征值問題的以計算最小絕對特征值，最后等波紋響應(yīng)的最優(yōu)濾波器系數(shù)可以通過迭代方法得到.為說明上述方法的有效性，以 M=N=4，K=6 與 M=5，N=4，K=8 為例驗證所設(shè)計的仿酉濾波器組的正確性。

1 小波和濾波器組

正交小波基可由仿酉濾波器組來生成{H（z），G（z）}[11]，其中 H（z）是低通濾波器，G（z）是高通濾波器。

命題1 由實系數(shù)的二通道仿酉濾波器組{H（z），G（z）}能夠獲得實值正交小波濾波器，從小波的正交性，濾波器組H（z）和G（z）所滿足的正交性條件是[1]:

定義該濾波器

命題2 由命題1知，P（z）是半帶濾波器，半帶濾波器的P（z）的表示形式如下:

其中N，M是整數(shù)，濾波器系數(shù)ai和bi是實數(shù)，b0=1。注意由于N和M可以任意的選擇，傳遞函數(shù)比一個全通濾波器更一般[3-4]。

可見，P（z）具有對稱的濾波器系數(shù)，H（z）和 G（z）的零點與極點在單位圓鏡像對上，分解P（z）的零點以獲得一個穩(wěn)定的H（z）。假設(shè)P（z）的分子和分母分別為 N（z）N（z-1）和 D（z2）D（z-2），而 P（z）的所有極點在 D（z2）單位圓內(nèi)， 得到穩(wěn)定的 H（z），即

其中 J=max{N，M}。

2 IIR濾波器組的設(shè)計

2.1 性 質(zhì)

在設(shè)計濾波器前，研究積濾波器P（z）的設(shè)計[13]，寫成如下形式:

可以從方程（4）中得到 P（z）的幅度響應(yīng)[1]，通過下式

2.2 最大平坦響應(yīng)濾波器

為使所獲得的消失矩最大，必須設(shè)計一個最大平坦響應(yīng)濾波器。因此，需要找到z=-1處的獨立零點，就是 K=I2，而分子多項式 P（z）是

2.3 具有任意消失矩的濾波器

考慮一個在給定的連續(xù)K階消失矩IIR濾波器具有最佳的頻率。由于z=-1在處，H（z）有K重零點，而P（z）的分子多項式可以表示為

從（6）式知，P（z）共有 2I2個獨立零點，而 K 必須滿足 K≤I2，因此其余零點數(shù)是 2I3（I3=I2-K）。

考慮P（z）在單位圓上所有零點必須是成對的，構(gòu)造出 P（ejw）如下：

其中δ是一個幅度誤差，把方程（7）和（13）代入方程（17）， 可以重新寫出方程（17），（15）或（16） 式的矩陣形式：

其中 Q=[q0，q1，…，q（L-K）]T，B=[b0，b2，…，b2M]T，而 S中的元素為

當 i=I3+1，I3+2，…，L-K，有 I4=2（M-I3）；當 N＞M時，有 I4=2（M-I3）；

當 N＜M-1，有 I4=2（N-I3）+1，注意到ci=0，

當 i＞K 時，T的元素為

當 i=0，1，2， …，M 時， 把方程（23） 代入方程（17）， 可得

這相當于一個廣義特征值問題，Q為相應(yīng)的特征向量。盡量減小幅度誤差δ。

3 數(shù)值算例

下面采用本文方法構(gòu)造相應(yīng)的正交小波濾波器。

1）考慮N=M=4情況的最大平坦濾波器設(shè)計。所設(shè)計的濾波器H（z）的響應(yīng)幅度具有最小相位響應(yīng)。如圖1實線所示，并且所生成的尺度函數(shù)和小波函數(shù)分別如圖2和圖3所示。在圖1中，兩個濾波器的幅度響應(yīng)在圖中也顯示了N=3和M=5，或N=5，M=3；M=3也在圖中顯示。認為在圖1中，3個濾波器的幅度響應(yīng)基本相同，這是因為在ω=0和ω=π時，這3種濾波器有相同的平坦度。

采用本文的方法驗證N=M=4（N=3和M=5情況類似）時大平坦濾波器設(shè)計。

首先令 N=M=4，K=6，ws=0.6π

則 L=max{2M，2N+1}=9，

I1=L-M-N-1=0， I2=N+M+1=9，

I3=I2-K=3， I4=2（M-I3）=2，

由于，

N1=min{I1，I2-n}=0；

N2=min{L-K，K-n}=-3；

N3=min{L-K，K+n}=3。

經(jīng)計算有:c0=5.5114638448e-06，

c1=4.9603174603e-06，c2=3.60750360751e-06，

c3=2.1043771044e-06，c4=9.71250971251e-07，

c5=3.4687534687e-07，c6=9.250009250e-08，

c7=1.7343767343e-08，c8=2.0404432169e-09。

在阻帶等間隔選取頻率的初始值 Ωi，（0≤Is≤I3），（i=0，1，…，I3）。 令 ωi=Ωi；

由（18）式得到

由（20）式得到

對（TV）-1S做特征分解，有特征值

q0=0.755732626；q1=0.37825879；

q2=0.37820973；q3=0.3778182526。

及特征向量

Q=[0.755732626 0.37825879 0.37820973 0.377818]T

且由（6）式和（13）式 ，可得

所以比較等式兩端同次冪項的系數(shù)得到a0，a1，a2，a3，…，a8

綜上又有 P（z）滿 P（z）=H（z）H（z-1），

得到低通濾波器系數(shù)h（k）=[h（-4），h（-3），h（-2），…，h（1），h（2），h（3），h（4）]；由低通濾波器系數(shù)與高通濾波器系數(shù)關(guān)系g（k）=（-1）1-kh（1-k），得到高通濾波器系數(shù)g（k）。進而得具有高階消失矩的正交小波。

圖1 例1）的歸一化頻譜圖

圖2 例 2）的尺度函數(shù) φ（t）

2） 考慮 N=4，M=5，K=8 和ws=0.6π 的仿酉濾波器組的設(shè)計。使用上述的積濾波器并構(gòu)造H（z）和G（z）具有最小相位響應(yīng)，H（z）的幅度響應(yīng)示于圖4中的實線，而產(chǎn)生的尺度函數(shù)和小波函數(shù)分別如圖5和6所示。在圖4中K=6或K=10的兩個幅度也在圖中顯示。很顯然減小K時，幅度誤差將減小。

4 結(jié)論

文中提出了一種新的構(gòu)造高階消失矩正交小波基方法，從小波的正交性和正則性出發(fā)得出IIR仿酉濾波器的一些制約因素，并研究了約束濾波器系數(shù)與零極點之間的關(guān)系，可以在帶阻中直接利用Remez算法，并制定了設(shè)計特征值形式問題.通過求解特征值，可以得到一組濾波器系數(shù)作為相應(yīng)的特征向量.因此與等波紋響應(yīng)的最優(yōu)濾波器系數(shù)可以容易地從施加迭代過程后得到。在計算上，本文的方法是有效的，可以任意的指定小波消失矩的階數(shù)。

圖3 例 1）的小波函數(shù)ψ（t）

圖4 例2）幅值響應(yīng)

圖5 例 2）的尺度函數(shù) φ（t）

圖6 例 2）的小波函數(shù)ψ（t）

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The method of orthogonal wavelet construction based on eigenvalue problem

HUANG Yun-hu1，Turghunjan AbdukirimTurki1，LIU Fang-yuan1，WANG Xin1， ZHANG Peng-jie2
（1.College of Mathematical Sciences， Xinjiang Normal University，Urumqi 830017， China；2.Xinjiang Bayinguoleng County of Mongolia Autonomous Prefecture of Xinjiang High School， Urumqi 841200，China）

This paper presents a method of IIR orthogonal wavelet construction method based on high order vanishing moments.Starting from the wavelet orthogonality and regularity conditions，we can get some constrained IIR filter group，and to explore the relationship between the filter coefficients and zero pole constraints.According to these relations，can be directly applied Remez algorithm to the forbidden to take on， and the design form of eigenvalue problem problem.Secondly， a set of filter coefficients by solving its eigenvalue problem and easily calculated，and by applying the iterative process will get the best response of corrugated filter coefficients，specify the number of vanishing moments can be arbitrary.

orthogonal wavelet； high order vanishing moments； Remez algorithm； eigenvalue problem；IIR filter

TN8；TN97

：A

：1674－6236（2017）15-0001-05

2016-10-12稿件編號：201610058

國家自然科學(xué)基金資助項目（11261061；61362039；10661010）；新疆維吾爾自治區(qū)自然科學(xué)基金資助項目（200721104）；新疆師范大學(xué)研究生科技創(chuàng)新項目基金資助（XSY201602010）

黃允滸（1990—），男，福建泉州人，碩士研究生。研究方向：小波分析及其圖像處理。