數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架在灰色圖像去噪中的應(yīng)用

范立靜，王 聰

（河海大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 211100）

數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架在灰色圖像去噪中的應(yīng)用

范立靜，王 聰

（河海大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 211100）

針對(duì)去除灰色圖像中的泊松噪聲從而進(jìn)一步進(jìn)行圖像分析的目的，采用了基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架的含泊松噪聲的圖像去噪變分模型，并通過了重新賦權(quán)的分裂Bregman算法解該模型。結(jié)合Matlab仿真實(shí)驗(yàn)以及PSNR指標(biāo)對(duì)該算法的圖像去噪效果進(jìn)行評(píng)估，評(píng)估結(jié)果表明該算法可行、有效。

數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架；泊松噪聲；圖像去噪；分裂Bregman算法

圖像去噪是圖像處理中的基本問題之一?，F(xiàn)如今，已經(jīng)存在了大量的算法能夠解決含高斯噪聲的圖像去噪問題。但是，含泊松噪聲的圖像去噪問題依然很少被研究。泊松噪聲，一般會(huì)在由數(shù)量少的光子產(chǎn)生的圖像中觀察到，例如熒光顯微鏡檢查、發(fā)射X線體層照相術(shù)等等。

最近十多年來，對(duì)于去除灰色圖像中泊松噪聲的研究取得了一定進(jìn)展。例如，Csiszár[1]最早提出了Kullback-Leibler（KL）-divergence保真項(xiàng)用于去除灰色圖像中的泊松噪聲。Luisier等[2]在小波變換中構(gòu)造了一個(gè)SURE估計(jì)量用于泊松噪聲的去除。Gong等[3]提出了一個(gè)l1+l2保真項(xiàng)去除泊松噪聲及一切未知噪聲。最近，Zhang等學(xué)者[4-5]使用重新賦權(quán)的l2方法逼近KL-divergence保真項(xiàng)，從而實(shí)現(xiàn)了去除泊松噪聲的目的。

由圖像去噪模型的發(fā)展歷程來看，變分模型在圖像去噪中的應(yīng)用是最廣的。最常用的一種變分模型是 Rudin-Osher-Fatemi（ROF）模型[6]。 ROF 在具有分段時(shí)長(zhǎng)的圖像去噪如二進(jìn)制圖像（文本和條碼）時(shí)十分有效。在ROF模型被提出之后，許多學(xué)者又衍生出了許多其他類型的變分模型[7-12]。其中，基于小波框架的變分模型[14-19]被成功應(yīng)用于圖像去噪中。研究表明，基于小波框架的變分模型比其他變分模型例如ROF模型更好，這是因?yàn)樾〔蚣艿亩喾直媛式Y(jié)構(gòu)和冗余。此外，Cai等[20]最近建立了小波框架和變分模型之間的聯(lián)系。這種聯(lián)系給出了基于小波框架的變分模型優(yōu)于其他某些變分模型的理論依據(jù)，即基于小波框架的變分模型可以根據(jù)潛在的解的奇點(diǎn)的順序，在給定圖像的不同區(qū)域中自適應(yīng)地選擇微分算子。最近，在小波緊框架的思想鼓舞下，Cai等[20]又基于圖像數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特征，提出了一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架，該框架比以往的模型更能精確地重構(gòu)圖像。

文中采用基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架的變分模型去除灰色圖像中的泊松噪聲。其中，賦權(quán)的范數(shù)項(xiàng)作為保真項(xiàng)，包含數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架的l1范數(shù)項(xiàng)作為正則項(xiàng)。然后，又提出了解該模型的重新賦權(quán)的分裂Bregman算法。最后，文中又進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)對(duì)所提出的模型和算法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 背景知識(shí)

1.1 變分模型理論

觀測(cè)圖像f的一般表達(dá)形式為

其中，u為原始未知圖像，ε為噪聲擾動(dòng)。若噪聲為泊松噪聲，那么泊松噪聲服從泊松分布y～P（y），其概率密度函數(shù)為

其中，τ是隨機(jī)數(shù)的期望值和方差。

用于圖像去噪的變分模型一般表示為

其中，F(xiàn)（u）為保真項(xiàng)，G（u）為正則項(xiàng)。λ＞0 是用于平衡保真項(xiàng) F（u）和正則項(xiàng) G（u）。 F（u）由似然函數(shù)得到，與噪聲特性有關(guān)，G（u）是基于u的先驗(yàn)假設(shè)得出，而懲罰項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)解代表了變換系數(shù)，下面的變分模型主要研究了含加性高斯白噪聲圖像去噪：

這里||·||1表示l1范數(shù)，D是一個(gè)線性變換，例如：全變差[6]、傅里葉變換、局部余弦變換、小波框架[20]等。

1.2 含泊松噪聲的圖像特性

假設(shè)觀測(cè)圖像含有泊松噪聲，則

給定u和c，可得f的似然性為：

其中，ui是圖像u的第i個(gè)像素值。由泊松噪聲的特性可知f的期望（平均值）和方差是：

2 含泊松噪聲的圖像去噪

2.1 數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架

選擇緊框架基，是因?yàn)樗亩喾直媛市再|(zhì)和冗余性質(zhì)有助于算法實(shí)現(xiàn)和圖像的稀疏表示[6-7]，基于多分辨分析（MRA）的小波由酉擴(kuò)張定理[21]產(chǎn)生。通過小波緊框架系統(tǒng)的濾波器得到快速緊框架變換或分解算子W。矩陣W包括J+1個(gè)子濾波算子W0，W1，…，WJ，W0是低通濾波器，其余的是高通濾波器。通過酉擴(kuò)張定理[21]，WT是快速緊框架重構(gòu)算子且WTW=I，即對(duì)于任意圖像均有。

最近，Cai等[19]基于輸入圖像的結(jié)構(gòu)特征，在小波緊框架的基礎(chǔ)上提出了數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架，并且該緊框架相較于小波緊框架更加精確地稀疏逼近輸入圖像。另外，Cai等[20]將數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架已經(jīng)成功應(yīng)用到了圖像去噪中。數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架的設(shè)計(jì)流程具體如下：

數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架

輸入：圖像g（未污染或污染）

主程序：

2）fordo

②令 ν（k）=Tλ（W（k）g），Tλ為硬閾值算子；

④對(duì)VGT進(jìn)行SVD分解，VGT=UDXT；

通過數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架，可以得到一組低通和高通濾波器。在此基礎(chǔ)上，可以建立緊框架分解算子W和重構(gòu)算子WT。此部分的理論由Cai等[20]提出，故具體理論在此不多贅述。

2.2 圖像去噪模型和算法

根據(jù)式（1），可以得到泊松噪聲的表達(dá)式如下

給定u，可得期望和方差分別為：

如果用加性高斯噪聲來逼近泊松噪聲ε，則ε服從正態(tài)分布 N（0，u），即

其中，∑是協(xié)方差矩陣。由噪聲的獨(dú)立性，可得

其中，diag（Au+c）是對(duì)角矩陣。利用極大似然性，取式（9）的負(fù)對(duì)數(shù)，得保真項(xiàng)

定義向量x∈RW的賦權(quán)l(xiāng)2范數(shù)為，Q是對(duì)稱正定矩陣。那么（11）可被改寫為

由于u≥0，所以∑-1是正定陣。式（12）可作為偏差原理在[22]中選擇正則化參數(shù)λ，但是保真項(xiàng)（12）含有未知的權(quán)重u，所以需要逼近或直接解決這個(gè)非線性平方問題。例如，這個(gè)未知的權(quán)重u可以通過觀測(cè)圖像f逼近，即

在這個(gè)簡(jiǎn)化公式上，最小二乘方法結(jié)合正則化可以求解這個(gè)問題。

框架函數(shù)稀疏正則化和非負(fù)約束結(jié)合，得到下述圖像去噪模型：

文中提出了一個(gè)基于分裂Bregman迭代[23]的新算法逼近（14）的精確解。假設(shè)存在一個(gè)迭代解uk，如果uk收斂到u*，則當(dāng)k充分大時(shí)，即解決下式

隨著uk逐漸穩(wěn)定，1/u*逼近于1/uk，結(jié)合分裂Bregman迭代得到一個(gè)新算法，即

用算法1描述算法（16），如下：

算法1含泊松噪聲的圖像去噪算法

初始化：u0=0；d0=Wf；b0=0；k=1，Σ0是初始協(xié)方差矩陣；

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為對(duì)本文提出的去除泊松噪聲的模型與算法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證，本小節(jié)共進(jìn)行了兩組數(shù)值實(shí)驗(yàn)，所選取的圖片分別為“cameraman.tif”和“boat256.png”。在Matlab仿真平臺(tái)下，通過‘poissrnd’生成泊松噪聲。為了數(shù)值上強(qiáng)有力地說明數(shù)值實(shí)驗(yàn)效果，文中選取評(píng)價(jià)指標(biāo)PSNR對(duì)圖像去噪效果進(jìn)行評(píng)價(jià)，PSNR表達(dá)式如下：

經(jīng)計(jì)算得，cameraman圖像（第一行）與boat256圖像（第二行）的PSNR值分別為31.07、30.78。由圖1和PSNR值，可以得出，本文所提的模型與算法能夠有效地去除泊松噪聲。

圖1 cameraman圖像（第一行）與boat256圖像（第二行）去噪效果圖

4 結(jié)論

文中首先提出了一種基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架的變分模型用于含有泊松噪聲的圖像去噪。然后又提出了重新賦權(quán)的分裂Bregman算法用于解該模型。本文首次完成了數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架與變分模型的結(jié)合，并且將所提出的模型應(yīng)用到了圖像去噪中。另外，數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明所提出的模型與算法能夠有效地進(jìn)行圖像去噪并且具有一定的實(shí)用性。這也說明了本文所提的模型和算法適合向其他相似研究領(lǐng)域推廣。

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Application of data-driven tight frame in gray image denoising

FAN Li-jing，WANG Cong
（College of Science， Hohai University， Nanjing 211100， China）

In this paper，we proposed a data-driven tight frame based variational model for image denoising with Poisson noise，in order to remove Possion noise from noisy gray image and analyze image data further.And we proposed reweighted split Bregman algorithm to solve this model.Combining with supporting numerical experiments and PSNR indicators，we assessed the model evaluation results.Results showed that the algorithm was feasible and effective.

data-driven tight frame； Poisson noise； image denoising； split Bregman algorithm

TN919.8

：A

：1674－6236（2017）15-0180-04

2016-09-22稿件編號(hào)：201609204

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11101120）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（2015B38014）

范立靜（1990—），女，山東濟(jì)寧人，碩士研究生。研究方向：小波分析及應(yīng)用、圖像處理。