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    以簡馭繁 簡中有道
    ——談?wù)労喕馕鰩缀芜\算的七個著眼點

    2017-09-03 09:37:02蔡勇全
    數(shù)理化解題研究 2017年19期
    關(guān)鍵詞:代數(shù)運算定義

    蔡勇全

    (四川省資陽市外國語實驗學(xué)校,四川 資陽 641300)

    以簡馭繁 簡中有道
    ——談?wù)労喕馕鰩缀芜\算的七個著眼點

    蔡勇全

    (四川省資陽市外國語實驗學(xué)校,四川 資陽 641300)

    解析幾何,顧名思義,就是用代數(shù)的方法研究幾何問題.然而,如果用純粹的代數(shù)方法解決某些解析幾何問題,思路雖簡單,但運算較繁瑣,導(dǎo)致學(xué)生在解題過程中明知會求,但就是解不出來,或看著繁瑣的式子就生畏,因此,我們應(yīng)該尋求簡化解析幾何運算之策.

    運算能力;代數(shù)推導(dǎo);優(yōu)化過程

    解析幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點和難點,也是歷年高考考查的熱點,并且常常以壓軸題的形式出現(xiàn).此類問題的求解思路清晰,但對運算能力的要求較高,不少學(xué)生往往會因為繁瑣的代數(shù)推導(dǎo)而心生畏懼,陷入進(jìn)退失據(jù)的困境,以至出現(xiàn)因放棄不做、胡亂書寫、有始無終等找不到恰當(dāng)運算策略的行為習(xí)慣而導(dǎo)致得分率普遍較低的現(xiàn)象,因此,掌握必要的運算技能,避開繁瑣的計算,盡可能地簡化運算過程,就成為了準(zhǔn)確、迅捷地解決此類問題的關(guān)鍵.基于常見的各種條件類型,本文結(jié)合實例介紹突破解析幾何運算“關(guān)”的幾個著眼點,供參考.

    一、回歸定義

    “問渠那得清如許,為有源頭活水來”.定義正是一切概念的源頭活水,也是一切問題設(shè)計的出發(fā)點和落腳點.曲線的定義深刻地刻畫了曲線的本質(zhì)內(nèi)涵,所以在解析幾何問題面前感到無從下手、止步不前時,利用曲線的定義解決問題,往往能避繁就簡,省時省力,符合華羅庚先生提出的“復(fù)雜的問題要善于‘退’,足夠地‘退’,‘退’到最原始而不失去重要性的地方,是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竊”這一觀點,這里“最原始而不失去重要性的地方”其實就是研究對象的定義.

    二、借助平面幾何性質(zhì)

    本質(zhì)上,解析幾何仍屬于幾何范疇,它與平面幾何圖形有著密切的聯(lián)系.在解決解析幾何問題時,若能根據(jù)圖形的特征,借助平面幾何性質(zhì),如角平分線,中位線,切割線,相交弦,相似比等的性質(zhì),往往能幫助我們更加看透問題的本質(zhì),形成新穎獨特的解題思路,避免復(fù)雜運算,收到簡化運算步驟之效果.

    三、利用向量方法

    向量是溝通幾何與代數(shù)的重要橋梁,它具有幾何形式與代數(shù)形式的雙重身份.它既能體現(xiàn)形的直觀的位置特征,又具有數(shù)的運算性質(zhì),它可以將幾何問題數(shù)量化、坐標(biāo)化,尤其是可以使解析幾何中的“垂直問題”、“平行問題”、“角為鈍角或銳角”等問題輕松獲得解決.

    變式1 同例2.

    變式2 設(shè)點A和B為拋物線y2=4x上異于原點的兩個動點,且OA⊥OB,OM⊥AB,求點M的軌跡方程,并說明它是什么曲線.

    解析 設(shè)M(x,y),A(4t12,4t1),B(4t22,4t2),其中x>0,t1t2≠0,且t1≠t2,

    將①、②代入③可得,點M的軌跡方程為(x-2)2+y2=4(x>0),它表示與y軸相切于原點的一個圓(不包括原點).

    評注 從上述實例可以看到,向量方法的優(yōu)點是思路清晰,過程簡捷,不僅可以將幾何關(guān)系迅速地轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系,具有事半功倍的效果,而且較好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

    四、設(shè)而不求

    設(shè)而不求是指在解題時,可根據(jù)題意設(shè)出一些輔助元(參數(shù)),在求解的過程中,不必求出這些輔助元(參數(shù))的值,僅把它作為橋梁或過渡元素,巧妙地消去這些輔助元(參數(shù)),達(dá)到降低難度的目的.在解決解析幾何問題時為優(yōu)化運算而常常采用這種方法.

    評注 在利用設(shè)而不求策略解題時,要注意韋達(dá)定理、判別式往往是與其相伴相隨出現(xiàn)的.此外,設(shè)而不求策略之下的“點差法”也是處理有關(guān)弦中點和斜率問題的常用辦法.

    五、巧設(shè)方程

    解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問題,而方程無疑是代數(shù)方法的一個重要支撐,所以解決解析幾何問題時少不了從方程角度進(jìn)行研究.解題時,若能根據(jù)題目的特點恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的設(shè)法,則往往能有效地避免分類討論,簡化運算,優(yōu)化解題過程.

    例5 過點P(2,4)且與拋物線y2=8x相切的直線方程為__________.

    例5通過設(shè)出曲線的一般方程來求解問題,事實上,根據(jù)題目的特點,還可以通過設(shè)出曲線的參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程來解答之.

    六、挖掘?qū)ΨQ性

    解析幾何中的各類曲線往往有著優(yōu)美的對稱性,若在解題時能注意挖掘題目中的對稱關(guān)系,對某些式子的運算作代換處理,也能簡化運算,收到事半功倍的效果.

    例7 自點A(-3,3)發(fā)出的一束入射光線射到x軸上被x軸反射后,其反射光線所在的直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切,求入射光線所在的直線l的方程.

    評注 從上述實例可以看到,對稱為簡化計算、有效減少工作量提供了可能性,所以注意挖掘圖形的對稱性,實際上是為解題尋找一條便捷的路.

    七、特殊化或極限化

    把研究對象特殊化或極限化向來是探究數(shù)學(xué)問題的重要手段,在解答一些解析幾何問題時,若能善加運用,也可以極大地優(yōu)化運算,減少計算量.

    [1]蔡勇全.回歸定義 靈活解題[J].?dāng)?shù)理化解題研究,2014(1).

    [2]蔡勇全.“1”在數(shù)學(xué)解題中的幾種妙用[J].?dāng)?shù)理化解題研究,2016(10).

    [3]蔡勇全.簡化數(shù)學(xué)運算的若干策略[J].?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)研究,2015(1).

    [責(zé)任編輯:楊惠民]

    2017-05-01

    蔡勇全(1980.8-),男,四川遂寧人,碩士學(xué)位,中學(xué)數(shù)學(xué)一級教師,主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

    G632

    B

    1008-0333(2017)19-0020-04

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