多個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成研究

陳學(xué)文 姚 雪 羅源源 張家偉

(重慶科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院， 重慶 401331)

多個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成研究

陳學(xué)文 姚 雪 羅源源 張家偉

(重慶科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院， 重慶 401331)

分別采用振動(dòng)方程(三角函數(shù))疊加法、復(fù)指數(shù)函數(shù)疊加法和旋轉(zhuǎn)矢量合成研究多個(gè)振動(dòng)方向相同、頻率相同、振幅相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成問題，得到多個(gè)振動(dòng)方向相同、頻率相同、振幅相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的結(jié)論，并給出了振動(dòng)加強(qiáng)合振動(dòng)減弱的條件。

振動(dòng)合成； 振動(dòng)方程； 復(fù)指數(shù)函數(shù)； 旋轉(zhuǎn)矢量

《大學(xué)物理》課本討論簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的內(nèi)容中，主要限于討論2個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，對(duì)2個(gè)以上同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加問題未作太多討論。而在討論光的多縫干涉、單縫衍射和光柵衍射相關(guān)問題時(shí)，若要定量計(jì)算光強(qiáng)分布，會(huì)涉及多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)甚至無窮多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)疊加問題。因此，多個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成是十分重要的知識(shí)點(diǎn)，是光的干涉和衍射理論基礎(chǔ)。藍(lán)海江討論了在一維、二維及三維坐標(biāo)中合成多個(gè)同頻率及不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)[1]。李宏討論了2個(gè)一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成問題[2]。萬鵬程等人從向量法角度討論了同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成問題[3]。高琳討論了待定系數(shù)法與多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成問題[4]。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述方法有代數(shù)法(振動(dòng)方程)、曲線表示法、旋轉(zhuǎn)矢量法、復(fù)數(shù)法等。本次研究中，分別利用振動(dòng)方程(三角函數(shù))疊加法、復(fù)指數(shù)函數(shù)疊加法和旋轉(zhuǎn)矢量合成，討論多個(gè)振幅相同、振動(dòng)方向相同、頻率相同、相位差依次相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。

1 三角函數(shù)疊加法

簡(jiǎn)諧振動(dòng)可用三角函數(shù)表示為y=Acos(ωt+φ)，其中A為振幅，ω為系統(tǒng)固有角頻率，(ωt+φ)為相位，φ為初相位。現(xiàn)假設(shè)有N個(gè)振幅相同、振動(dòng)方向相同、頻率相同、相位差Δφ依次相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可將振動(dòng)方程依次表示為：y1=Acosωt，y2=Acos (ωt+Δφ)，…，yN=Acos[ωt+(N-1)Δφ]。這N個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)為

y=y1+y2+…+yN=A{cosωt+cos (ωt+Δφ)+ …+cos[ωt+(N-1)Δφ]}

(1)

利用三角函數(shù)和差化積公式：

sin(α+β)-sin(α-β)=2 cosαsinβ

(2)

得到如下關(guān)系式

(3)

將式(3)各項(xiàng)相加，左邊的所有項(xiàng)(除首位兩項(xiàng)之外)相消，可得：

sin[ωt+(2N-1)Δφ2]-sin(ωt-Δφ2)

=2{cosωt+cos(ωt+Δφ)+…+ cos[ωt+(N-1)Δφ]}sin(Δφ2)

(4)

再利用式(2)，可得：

sin[ωt+(2N-1)Δφ2]-sin(ωt-Δφ2)

=2cos[ωt+(N-1)Δφ2]sin(NΔφ2)

(5)

根據(jù)式(4)和(5)，可得：

2ysin(Δφ2)=2Acos[ωt+(N-1)Δφ2]·
sin(NΔφ2)

(6)

則合振動(dòng)為：

(7)

可以看出，合振動(dòng)仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

2 復(fù)指數(shù)函數(shù)疊加法

與三角函數(shù)疊加相比，利用復(fù)指數(shù)函數(shù)z=Aei(ωt+φ)進(jìn)行疊加處理相對(duì)簡(jiǎn)單。將合振動(dòng)寫成幾何級(jí)數(shù)，由歐拉公式：

(8)

合振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)函數(shù)為復(fù)指數(shù)函數(shù)的實(shí)部：

(9)

再利用等式sinx=(eix-e-ix)2i，可得：

(10)

可以看出，合振動(dòng)仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

3 旋轉(zhuǎn)矢量法

旋轉(zhuǎn)矢量法為一種描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)較為直觀的幾何方法。從坐標(biāo)原點(diǎn)O(平衡位置)開始畫一個(gè)矢量，使它的模等于諧振動(dòng)的振幅A，并令t=0時(shí)A與x軸的夾角等于諧振動(dòng)的初相位φ0，然后使A以等于角頻率ω的角速度在平面上繞O點(diǎn)作逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣的矢量稱為旋轉(zhuǎn)矢量。旋轉(zhuǎn)矢量任一時(shí)刻在x軸上的投影為x=Acos(ωt+φ0)，描述了一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。陳柯討論了旋轉(zhuǎn)矢量法在解決簡(jiǎn)諧振動(dòng)相關(guān)問題中的應(yīng)用[5]；姜麗娜、楊植宗等人討論了利用旋轉(zhuǎn)矢量討論光的衍射[6-7]。

對(duì)N個(gè)振幅相同、振動(dòng)方向相同、頻率相同、相位差依次相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可以根據(jù)矢量圖法計(jì)算振動(dòng)中與時(shí)間無關(guān)的部分：

y=y1+y2+…+yN=A[cosΔφ+…+cos(N-1)Δφ]

(11)

N個(gè)振幅相同、振動(dòng)方向相同、頻率相同、相位差依次相同的旋轉(zhuǎn)矢量合成(疊加)如圖1所示。

圖1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量合成(疊加)

故合振動(dòng)為：

(12)

4 討論

N-1。即在Δφ∈[2kπ，2(k+1)π]間隔為2π的區(qū)間內(nèi)有N-1個(gè)極小值。以N=5為例畫出了振動(dòng)加強(qiáng)和振動(dòng)減弱的旋轉(zhuǎn)矢量示意圖(見圖2、圖3)。

圖2 振動(dòng)加強(qiáng)旋轉(zhuǎn)矢量圖

圖3 振動(dòng)減弱旋轉(zhuǎn)矢量圖

5 結(jié) 語

分別采用振動(dòng)方程(三角函數(shù))疊加法、復(fù)指數(shù)函數(shù)疊加法和旋轉(zhuǎn)矢量合成研究了多個(gè)振動(dòng)方向相同、頻率相同、振幅相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成問題。3種方法的結(jié)論相同，即多個(gè)振動(dòng)方向相同、頻率相同、振幅相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。由于工科《大學(xué)物理》學(xué)時(shí)的限制，一般情況下此知識(shí)點(diǎn)不作為課堂講授內(nèi)容。然而，在研究光(波)的干涉和衍射相關(guān)內(nèi)容時(shí)，有要利用到多個(gè)同方向、同頻率、同振幅簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加相關(guān)知識(shí)。因此，在講授振動(dòng)合成相關(guān)內(nèi)容時(shí)，可增加此知識(shí)點(diǎn)的講授。一方面可使學(xué)生更加深入地理解振動(dòng)合成；另一方面也為后續(xù)討論光(波)的干涉和衍射相關(guān)問題打下理論基礎(chǔ)。

[1] 藍(lán)海江.多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成[J].廣西科學(xué)院學(xué)報(bào)， 2009，25(1):22-25.

[2] 李宏.一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成方法的探討[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)， 2013，34(2):91-93.

[3] 萬鵬程，張勇，宋國(guó)利.同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的相量法[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2008，30(1):7-8.

[4] 高琳.待定系數(shù)法與多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)， 2009，25(8):24-25.

[5] 陳柯.旋轉(zhuǎn)矢量法在解決簡(jiǎn)諧振動(dòng)相關(guān)問題中的應(yīng)用[J].物理與工程， 2014， 24(3):47-50.

[6] 姜麗娜.單縫夫瑯和費(fèi)單縫衍射光強(qiáng)分布的3種計(jì)算方法[J].遼寧科技大學(xué)學(xué)報(bào)， 2011，34(2): 123-128.

[7] 楊植宗，段永法，劉洋，等.光的干涉與衍射現(xiàn)象的物理本質(zhì)[J].高師理科學(xué)刊， 2011，31(1):57-58.

Research on the Synthesis of Harmonic Vibration With the Same Frequency and Direction

CHENXuewenYAOXueLUOYuanyuanZHANGJiawei

(School of Mathematics and Physics, Chongqing University of Science and Technology, Chongqing 401331, China)

In this paper, the synthesis of simple harmonic vibration with the same direction, frequency and amplitude is studied by adopting the superposition method of vibration equation (trigonometric function), complex exponential function, superposition and rotational vector synthesis respectively. The results show that it is still a simple harmonic vibration after the synthesis of simple harmonic vibrations, and the conditions that the vibration is strengthened or weakened are also proved.

vibration synthesis; vibration equation; complex exponential function; rotational vector

2017-05-09

重慶市高等教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目“應(yīng)用技術(shù)型大學(xué)人才培養(yǎng)模式下的物理通識(shí)教育探索與實(shí)踐”(153151)；重慶市科委基金“國(guó)際直線對(duì)撞機(jī)上主要粒子反應(yīng)過程的理論研究”(CSTC2016JCYJA0336)；重慶科技學(xué)院博士教授啟動(dòng)基金“標(biāo)準(zhǔn)模型中混合鏈圖傳播傳播下粒子反應(yīng)的嚴(yán)格計(jì)算”(CK2014B21)

陳學(xué)文(1982 — )，男，博士，副教授，研究方向?yàn)槲锢斫虒W(xué)。

O321

A

1673-1980(2017)04-0119-03