穿孔消聲器聲學(xué)計(jì)算的快速多極混體邊界元法

楊亮，季振林

(哈爾濱工程大學(xué) 動(dòng)力與能源工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

穿孔消聲器聲學(xué)計(jì)算的快速多極混體邊界元法

楊亮，季振林

(哈爾濱工程大學(xué) 動(dòng)力與能源工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

為提高計(jì)算效率以及擴(kuò)展計(jì)算頻率范圍，本文將混體邊界元方法與快速多極算法結(jié)合用于穿孔消聲器的聲學(xué)性能計(jì)算。通過(guò)與消聲器傳遞損失測(cè)量結(jié)果和傳統(tǒng)混體邊界元方法計(jì)算結(jié)果的比較驗(yàn)證了快速多極混體邊界元方法的正確性。與傳統(tǒng)混體邊界元方法相比，快速多極混體邊界元方法在保證計(jì)算精度的同時(shí)，能夠有效縮短大尺度問(wèn)題的計(jì)算時(shí)間。將快速多極混體邊界元方法應(yīng)用于計(jì)算穿孔消聲器的傳遞損失，結(jié)果表明，進(jìn)出口管位置能夠影響兩通穿孔管消聲器的高頻消聲特性，隔板穿孔能夠改善三通穿孔管消聲器的中頻消聲性能。

穿孔消聲器； 傳遞損失； 混體邊界元方法； 快速多極算法； 計(jì)算效率

穿孔消聲器被廣泛應(yīng)用于機(jī)械設(shè)備的噪聲控制。SELAMET等使用準(zhǔn)一維方法對(duì)三通穿孔管消聲器進(jìn)行了研究并分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對(duì)傳遞損失的影響[1]。SELAMET等應(yīng)用解析方法預(yù)測(cè)了直通穿孔管阻性消聲器的聲學(xué)性能[2]。JI使用子結(jié)構(gòu)多域邊界元方法對(duì)直通穿孔管消聲器及具有共振腔的穿孔管消聲器進(jìn)行了研究[3]，此后，多域邊界元方法被用于阻性消聲器的聲學(xué)性能預(yù)測(cè)[4]。JI等使用同樣的方法對(duì)三通穿孔管消聲器進(jìn)行了計(jì)算，研究了穿孔率、穿孔部分長(zhǎng)度等對(duì)消聲性能的影響[5]。FANG等[6]使用有限元方法對(duì)穿孔管消聲器進(jìn)行了模態(tài)分析。解析方法適用于規(guī)則結(jié)構(gòu)消聲器的聲學(xué)性能預(yù)測(cè)，對(duì)實(shí)際應(yīng)用中具有復(fù)雜內(nèi)部結(jié)構(gòu)的消聲器無(wú)法應(yīng)用，有限元方法和多域邊界元方法在理論上適用于任意結(jié)構(gòu)。但也存在一些缺點(diǎn)，在應(yīng)用多域邊界元方法時(shí)，必須按照邊界條件將內(nèi)部結(jié)構(gòu)劃分為許多子結(jié)構(gòu)，再根據(jù)聲學(xué)變量的連續(xù)性條件在邊界上建立各子結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，對(duì)于復(fù)雜的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，前處理過(guò)程勢(shì)必過(guò)于繁瑣，進(jìn)而限制了其應(yīng)用范圍。應(yīng)用有限元方法進(jìn)行穿孔消聲器的計(jì)算已經(jīng)十分成熟，相應(yīng)的商業(yè)軟件已經(jīng)被廣泛應(yīng)用，但是對(duì)于穿孔面，由于有限元方法一般采用傳遞阻抗建立穿孔面內(nèi)外兩側(cè)的關(guān)系，所以一般要求兩個(gè)面的網(wǎng)格一一對(duì)應(yīng)，對(duì)于具有多個(gè)穿孔面的消聲器，前處理也會(huì)較為繁瑣。WU等提出了一種混體邊界元方法[7-8]，此方法適合具有復(fù)雜內(nèi)部結(jié)構(gòu)消聲器的聲學(xué)性能計(jì)算，不需要人為劃分子結(jié)構(gòu)，對(duì)于穿孔面，只需要建立一層面網(wǎng)格，因此非常適合具有較多穿孔結(jié)構(gòu)消聲器的傳遞損失計(jì)算。

然而，由于傳統(tǒng)邊界元方法自身的局限性，在處理大尺度和高頻問(wèn)題時(shí)對(duì)計(jì)算機(jī)內(nèi)存的要求較高并會(huì)消耗較多的計(jì)算時(shí)間，近年來(lái)，快速多極算法的出現(xiàn)有效地克服了傳統(tǒng)邊界元方法的局限，應(yīng)用快速多極邊界元方法計(jì)算大尺度聲學(xué)問(wèn)題也取得了較大的進(jìn)展[9-13]。

本文將混體邊界元方法與快速多極算法結(jié)合用于穿孔消聲器傳遞損失的計(jì)算，考察快速多極混體邊界元方法的計(jì)算精度和計(jì)算效率，研究穿孔管位置對(duì)兩通穿孔管消聲器傳遞損失的影響，分析穿孔擋板對(duì)三通穿孔消聲器聲學(xué)性能的影響。

1 計(jì)算方法

1.1 混體邊界元方法

直接混體邊界元方法源于傳統(tǒng)的子結(jié)構(gòu)邊界元方法，將具有復(fù)雜內(nèi)部結(jié)構(gòu)的消聲器分成若干具有明確邊界的幾個(gè)部分，對(duì)每一部分使用邊界積分方程描述，然后，根據(jù)各部分的交界面的聲學(xué)參數(shù)連續(xù)條件，得到整體控制方程，交界面有兩個(gè)未知量時(shí)，超奇異積分方程被用來(lái)提供額外的方程。對(duì)于如圖1所示的直通穿孔管消聲器，混體邊界元方法可以表示為[7]

式中：P和Q分別為源點(diǎn)和場(chǎng)點(diǎn)；G=e-jk0r/4πrPQ，為格林函數(shù)；k為波數(shù)；z為空氣中的特性阻抗；ζ為穿孔阻抗。邊界條件R為常規(guī)邊界條件，包括進(jìn)口邊界R1，出口邊界R2以及剛性壁，T為內(nèi)部薄壁邊界，P為穿孔邊界。這里只列出了本文涉及到的邊界的直接混體邊界元的數(shù)學(xué)表達(dá)式，完整的控制方程可以從文獻(xiàn)[7]獲得，此處不再贅述。進(jìn)口給定振速v=1，出口給定阻抗邊界條件，式(1)～(3)組成方程組：

(5)

其中

式中：E′只有源點(diǎn)P在穿孔邊界時(shí)存在，對(duì)剛性壁邊界其值為0，δ為Kronecker′s delta函數(shù)。求解式(5)，即可得到消聲器進(jìn)出口節(jié)點(diǎn)的聲壓值用于傳遞損失的計(jì)算，本文中，使用的單元類型為常單元。

圖1 直通穿孔管消聲器Fig.1 Straight-through perforated tube silencer

1.2 快速多極混體邊界元方法

快速多極邊界元中格林函數(shù)可以表示為[9]

(6)

其中，

(7)

(8)

(9)

將式(9)對(duì)P求偏導(dǎo)，得到

(10)

在遠(yuǎn)場(chǎng)計(jì)算中，源點(diǎn)與場(chǎng)點(diǎn)之間的影響系數(shù)存在多級(jí)傳遞關(guān)系，格林函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的多極子展開(kāi)式可寫(xiě)成：

(11)

(12)

同理，將式(12)對(duì)P求偏導(dǎo)，得到

(13)

其中,

(14)

(15)

其中

(17)

(18)

(19)

(20)

圖2 分級(jí)結(jié)構(gòu)及通用交互組Fig.2 Hierarchical cell structure and common interaction cell

快速多極混體邊界元方法的計(jì)算過(guò)程如下：

1)遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域矩陣矢量積計(jì)算過(guò)程。

(21)

(22)

式中：Wn′n為插值方法(如拉格朗日法)的插值系數(shù)，Cml為組ml+1的父輩組所包含的子組集，此步計(jì)算將在向上傳遞的每一級(jí)中進(jìn)行，直到級(jí)數(shù)為2。

(23)

式中：Fml為組ml的交互組集。需要注意的是，為了簡(jiǎn)便，在Tλmlλm′l的計(jì)算中，使用了通用交互組，其定義劃分見(jiàn)圖2，在迭代計(jì)算之前，根據(jù)格柵的位置關(guān)系，Tλmlλm′l已經(jīng)計(jì)算完畢，迭代過(guò)程中只需根據(jù)距離關(guān)系調(diào)用。

(24)

可見(jiàn)，式(24)為遞推公式，由于在1級(jí)與2級(jí)之間不存在向下傳遞關(guān)系，因而有

(25)

此步計(jì)算將在向下傳遞的每一級(jí)中進(jìn)行，直到級(jí)數(shù)為L(zhǎng)-1。

⑤在最低級(jí)L，計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)i的遠(yuǎn)場(chǎng)影響系數(shù)φF,i，對(duì)應(yīng)式(15)，計(jì)算公式為

(26)

對(duì)應(yīng)式(16)，計(jì)算公式為

(27)

2)近場(chǎng)區(qū)域矩陣矢量積計(jì)算過(guò)程。

在最低級(jí)，若節(jié)點(diǎn)i所在組為mL，其近場(chǎng)組集為NmL，則近場(chǎng)矩陣矢量積即為計(jì)算節(jié)點(diǎn)i與所含節(jié)點(diǎn)間的影響系數(shù)，對(duì)奇異積分方程，計(jì)算公式為

(28)

對(duì)超奇異積分方程，計(jì)算公式為

(29)

最后，將近場(chǎng)影響系數(shù)與遠(yuǎn)場(chǎng)影響系數(shù)相加得到每個(gè)節(jié)點(diǎn)的影響系數(shù)，經(jīng)過(guò)迭代計(jì)算即可得到消聲器進(jìn)出口節(jié)點(diǎn)的聲壓值。

2 算例驗(yàn)證及計(jì)算效率分析

考慮一個(gè)直通穿孔管消聲器，對(duì)應(yīng)圖1中尺寸為：r1=0.024 5 m，r2=0.082 2 m，l=0.257 2 m，穿孔率Ф=0.08，孔徑dh=0.002 49 m，壁厚tw=0.000 9 m。

穿孔阻抗表示為[14]

(30)

R和X的計(jì)算表達(dá)式：

(31)

(32)

式中：μ為空氣動(dòng)力粘性系數(shù)，α為單一孔模型的端部修正系數(shù)，基于活塞驅(qū)動(dòng)模型

(33)

式中：b和h為相鄰兩孔在兩個(gè)方向上的距離；ξ=dh/b，η=dh/h；式中第二個(gè)求和符號(hào)的上標(biāo)“′”表示m和n不能同時(shí)為零，當(dāng)m≠0且n≠0時(shí)，εmn=1，否則εmn=0.5；J1為第一類一階貝塞爾函數(shù)。

使用傳統(tǒng)混體邊界元方法與快速多極混體邊界元方法分別計(jì)算傳遞損失并與實(shí)驗(yàn)值比較得到結(jié)果如圖3所示?？梢钥闯?，兩種方法的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值吻合良好，驗(yàn)證了快速多極混體邊界元方法的正確性。

圖3 直通穿孔管消聲器計(jì)算結(jié)果比較Fig.3 Transmission loss prediction of straight-through perforated silencer

下面從計(jì)算效率方面比較兩種方法，選定頻率為350Hz，在不同的網(wǎng)格數(shù)量的情況下比較計(jì)算時(shí)間，結(jié)果列于表1。所有計(jì)算均在Inteli7 3632QM, 2.2GHz的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行，從表中可以看出，在給定頻率下，隨著網(wǎng)格數(shù)量的增加，相比于傳統(tǒng)混體邊界元方法，快速多極混體邊界元方法的優(yōu)勢(shì)越來(lái)越明顯，所以，在實(shí)際應(yīng)用中，可以根據(jù)研究問(wèn)題的尺度大小選擇適當(dāng)?shù)姆椒ā?/p>

表1 直通穿孔管消聲器計(jì)算時(shí)間比較

Table 1 Computation time comparison of straight through perforated tube silencer

編號(hào)網(wǎng)格數(shù)MBEM/s傳統(tǒng)快速多極11448138427602220434613309342701402558744541626433921257542449361368569076—18975

3 計(jì)算結(jié)果分析

本節(jié)應(yīng)用快速多極混體邊界元方法研究穿孔管位置及穿孔擋板對(duì)消聲器傳遞損失的影響。

首先，考慮如圖4所示的兩通穿孔管消聲器，膨脹腔長(zhǎng)度均為l=0.257 2 m，穿孔壁厚tw=0.000 9 m，穿孔率Ф=0.08，孔徑dh=0.002 49 m，穿孔管半徑r1=0.02 m，膨脹腔半徑r2=0.1 m。對(duì)結(jié)構(gòu)a，消聲器進(jìn)口管處于軸線處，考慮兩種情況：a1出口管與進(jìn)口管之間距離σ=0.06 m，a2出口管與進(jìn)口管之間距離σ=0.05 m。對(duì)結(jié)構(gòu)b，進(jìn)出口穿孔管位于軸線兩側(cè)，考慮兩種情況：b1兩穿孔管距離軸線距離均為σ=0.06 m，b2兩穿孔管距離軸線距離均為σ=0.04 m。比較穿孔管位置的變化對(duì)兩種結(jié)構(gòu)聲學(xué)性能的影響，結(jié)果如圖5所示。

可見(jiàn)，當(dāng)進(jìn)(出)口穿孔管處于軸線處時(shí)，傳遞損失曲線更接近軸對(duì)稱的直通穿孔管消聲器，消聲效果也更好。穿孔管位置的改變對(duì)a、b兩種結(jié)構(gòu)的影響是不同的，對(duì)結(jié)構(gòu)a，保持進(jìn)口穿孔管處于軸線位置，改變處于非軸線位置的出口穿孔管的位置對(duì)傳遞損失有較大影響，在高頻處更加明顯。而對(duì)結(jié)構(gòu)b，改變兩個(gè)處于非軸線位置的穿孔管的位置對(duì)

傳遞損失結(jié)果影響很小。

圖4 兩通穿孔管消聲器Fig.4 Two-pass perforated tube silencer

圖5 兩通穿孔管消聲器傳遞損失計(jì)算結(jié)果Fig.5 TL comparison of two-pass perforated tube silencer

在實(shí)際應(yīng)用中，常采用在消聲器進(jìn)出口添加剛性擋板構(gòu)成三通穿孔管消聲器的形式，如圖6所示，穿孔管半徑r1=0.02 m，膨脹腔半徑r2=0.1 m，穿孔孔徑dh=0.002 49 m，穿孔壁及擋板壁厚tw=0.000 9 m，穿孔率Ф=0.08，la=0.1 m，lp=0.3 m，lb=0.15 m，σ=0.06 m。分別使用混體邊界元方法和快速多極混體邊界元方法計(jì)算傳遞損失，結(jié)果如圖7所示。同樣選定頻率為350 Hz，比較兩種方法的計(jì)算時(shí)間列于表2。

圖6 三通穿孔管消聲器Fig.6 Three-pass perforated tube silencer

一般三通穿孔管消聲器中的擋板是剛性薄壁，現(xiàn)在考慮將剛性薄壁結(jié)構(gòu)替換為穿孔板，研究其對(duì)消聲器聲學(xué)性能的影響。在擋板分別為剛性壁面和穿孔板的情況下計(jì)算傳遞損失如圖8所示。在中低頻處，穿孔擋板三通穿孔消聲器的有效消聲頻率更寬，性能更好，應(yīng)用穿孔擋板代替剛性壁擋板是有意義的。

圖7 三通穿孔管消聲器計(jì)算結(jié)果比較Fig.7 Transmission loss prediction results of three-pass perforated tube silencer

Table 2 Computation time comparison of three-pass perforated tube silencers

編號(hào)網(wǎng)格數(shù)MBEM/s傳統(tǒng)快速多極1551227933948227648460551399338864-18532

圖8 穿孔擋板對(duì)消聲器傳遞損失的影響Fig.8 Effect of perforated baffle on silencer TL

現(xiàn)在考慮穿孔擋板的物理參數(shù)變化對(duì)傳遞損失計(jì)算結(jié)果的影響，在穿孔率分別為0.03、0.08以及0.16的情況下計(jì)算傳遞損失，結(jié)果如圖9所示。

擋板穿孔率的變化對(duì)消聲器的傳遞損失有一定程度的影響，隨著穿孔率的增大，傳遞損失曲線向高頻方向移動(dòng)，與此同時(shí)，在200～800 Hz的中頻范圍內(nèi)，穿孔率的增大會(huì)改善消聲器的聲學(xué)性能。

下面考慮穿孔孔徑大小對(duì)傳遞損失的影響，在孔徑分別為0.002 49 m和0.004 98 m的情況下計(jì)算傳遞損失，結(jié)果如圖10所示。增大穿孔孔徑，會(huì)使傳遞損失曲線向低頻方向移動(dòng)。

圖9 擋板穿孔率對(duì)三通穿孔消聲器傳遞損失的影響Fig.9 Effect of baffle porosity on TL of three-pass perforated tube silencer

圖10 擋板孔徑對(duì)三通穿孔消聲器傳遞損失的影響Fig.10 Effect of baffle hole diameter on TL of three-pass perforated tube silencer

在穿孔擋板的情況下，考慮三通穿孔管消聲器左右兩端膨脹腔長(zhǎng)度對(duì)聲學(xué)性能的影響，改變膨脹腔長(zhǎng)度，計(jì)算結(jié)果如圖11所示。由圖可知，增大左右膨脹腔的長(zhǎng)度會(huì)使傳遞損失曲線向低頻方向移動(dòng)。

圖11 膨脹腔長(zhǎng)度對(duì)三通穿孔消聲器傳遞損失的影響Fig.11 Effect of inlet/outlet expansion chamber length on TL of three-pass perforated tube silencer

4 結(jié)論

1)快速多極混體邊界元方法在能夠保證計(jì)算精度的情況下，對(duì)大尺度高頻問(wèn)題能夠有效地減少計(jì)算時(shí)間，在實(shí)際應(yīng)用中，可以根據(jù)研究問(wèn)題的情況選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行計(jì)算。

2)當(dāng)進(jìn)口位于軸線處時(shí)，消聲器的聲學(xué)性能更好，出口穿孔管的位置變化對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響應(yīng)該給予考慮，而當(dāng)進(jìn)口位于非軸線處時(shí)，進(jìn)出口穿孔管距離的變化對(duì)傳遞損失影響很小，基本可以忽略不計(jì)。

3)使用穿孔板代替三通穿孔消聲器中的剛性隔板能改善其中低頻的聲學(xué)性能，減小穿孔板穿孔孔徑、增大穿孔率以及進(jìn)出口膨脹腔的長(zhǎng)度會(huì)使傳遞損失曲線向高頻方向移動(dòng)。

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本文引用格式：

楊亮，季振林. 穿孔消聲器聲學(xué)計(jì)算的快速多極混體邊界元法[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)， 2017， 38(8): 1247-1253.

YANG Liang, JI Zhenlin. Acoustic computation of perforated silencers by fast multi-pole mixed-body boundary element method[J]. Journal of Harbin Engineering University， 2017， 38(8): 1247-1253.

Acoustic computation of perforated silencers by fast multi-pole mixed-body boundary element method

YANG Liang, JI Zhenlin

(School of Power and Energy Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

To improve computation efficiency and extend the computation frequency range, the mixed-body boundary element method (MBEM) was combined with the fast multi-pole algorithm to evaluate the acoustic attenuation performance of perforated silencers. The correction of fast MBEM was validated by comparing the measuring result of transmission loss with the computation result of traditional MBEM. The fast multi-pole mixed-body boundary element method (FMMBEM) may efficiently save computational time for large-scale acoustic problems without affecting accuracy. The FMMBEM was then employed to predict the transmission loss of perforated silencers. Predicted results showed that the locations of inlet and outlet tubes may affect the acoustic attenuation characteristics of the two-pass perforated tube silencer at higher frequencies, while the perforation on bulkhead(s) may improve the acoustic attenuation performance of three-pass perforated tube silencer in the middle frequency range.

perforated silencer; transmission loss; mixed body boundary element method; fast multi pole algorithm; computation efficiency

2016-06-14.

日期：2017-04-26.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11174065).

楊亮(1989-), 男, 博士研究生； 季振林(1965-), 男, 教授, 博生生導(dǎo)師.

季振林, E-mail:jizhenlin@hrbeu.edu.cn.

10.11990/jheu.201606040

TB535

A

1006-7043(2017)08-1247-07

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