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    求解逆矩陣的常用方法

    2017-09-03 11:03:42張媛黑龍江工業(yè)學(xué)院
    科學(xué)中國(guó)人 2017年18期
    關(guān)鍵詞:方陣階數(shù)分塊

    張媛黑龍江工業(yè)學(xué)院

    求解逆矩陣的常用方法

    張媛
    黑龍江工業(yè)學(xué)院

    矩陣是線性代數(shù)中非常重要的內(nèi)容之一,而在矩陣計(jì)算中最基礎(chǔ)的就是求矩陣的逆矩陣。本文針對(duì)可逆方陣介紹幾種常用方法,通過(guò)定義法、伴隨矩陣法、初等變換法、分塊矩陣法、以及Matlab軟件的解法求逆矩陣,并從中總結(jié)出一些具有應(yīng)用價(jià)值的規(guī)律。

    初等變換;分塊矩陣;伴隨矩陣;可逆矩陣

    矩陣是線性代數(shù)的主要內(nèi)容,很多工作、生活中的實(shí)際問(wèn)題用矩陣的思想去解決既簡(jiǎn)單又直觀,而逆矩陣又是矩陣?yán)碚搶W(xué)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn).本文給出幾種求逆矩陣的常用方法,將會(huì)給矩陣的學(xué)習(xí)帶來(lái)一定的幫助。

    一、定義法

    對(duì)于n階方陣A,如果存在n階方陣B使得AB=BA=E,則B=A-1,稱A為可逆矩陣,稱B為A的逆矩陣.下面舉例說(shuō)明這種方法。

    例1設(shè)n階方陣A滿足方程A2-A-2E=0,證明A+2E可逆并求它的逆矩陣

    二、伴隨矩陣法

    n階矩陣A=aij為可逆的充分必要條件是A非奇異矩陣且

    對(duì)于階數(shù)低的小型矩陣用此方法求逆矩陣既方便又快捷,特別是對(duì)二階矩陣只需要將主對(duì)角線元素互換,次對(duì)角線的元素變號(hào).若所求矩陣是三階以上的矩陣,計(jì)算量大容易出現(xiàn)誤差,所以本方法適合二階矩陣求逆矩陣。

    初等變換法適于階數(shù)較高(n≥3)的矩陣,注意在求逆矩陣時(shí)只允許進(jìn)行初等行變換,使用初等行變換法求逆矩陣一般比伴隨矩陣法要簡(jiǎn)便一些。

    三、初等變換法

    設(shè)A,E都是n×n矩陣

    這種方法不用事先知道n階矩陣是否可逆,如果在化簡(jiǎn)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)矩陣某一行全為零,則可知A不可逆。

    四、分塊矩陣法

    設(shè)A、B、C、D分別為可逆矩陣,分兩種情況進(jìn)行討論:

    一種是對(duì)角形矩陣求逆,則有

    此方法適用于階數(shù)高的矩陣,并且能化成對(duì)角形或三角形塊陣的矩陣。在求逆矩陣之前,要進(jìn)行合理分塊,不能一步完成的高階矩陣,可通過(guò)分塊降階,反復(fù)使用上述方法。

    五、Matlab軟件解法

    求逆矩陣還可以通過(guò)計(jì)算機(jī)軟件Matlab,首先輸入一個(gè)n階矩陣A,然后利用函數(shù)det(A)判斷行列式是否為零,如果不為零則可利用求逆矩陣函數(shù)inv(A)得到逆矩陣。

    以上求逆矩陣的方法只是一些初步認(rèn)識(shí),通過(guò)歸納總結(jié)可以看出,在求逆矩陣的過(guò)程中,必須熟練掌握運(yùn)用相關(guān)的可逆矩陣定理和性質(zhì),同時(shí)運(yùn)用恰當(dāng)?shù)募记煽墒褂?jì)算更加簡(jiǎn)便.可逆矩陣的運(yùn)用及其廣泛,這就需要我們不斷的去探索和研究。

    [1]張海濤.逆矩陣的求法[J].大同職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2004.

    [2]王蓮花,張香偉,李戰(zhàn)國(guó),王建平.求逆矩陣方法的進(jìn)一步研究[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2002.

    [3]王建鋒.求逆矩陣的快速方法[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2004.

    [4]李桂榮.關(guān)于求逆矩陣方法的進(jìn)一步探討[J].德州高專學(xué)報(bào), 2000.

    張媛(1971-),女,漢族,單位:黑龍江工業(yè)學(xué)院,職稱:副研究員,研究方向:高等數(shù)學(xué)。

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