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    一例三重積分多種解法的比較分析

    2017-09-01 16:05:59張海燕李耀紅李冬楠
    宿州學(xué)院學(xué)報(bào) 2017年6期
    關(guān)鍵詞:張海燕柱面宿州

    張海燕,李耀紅,李冬楠

    宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,宿州,234000

    一例三重積分多種解法的比較分析

    張海燕,李耀紅,李冬楠

    宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,宿州,234000

    通過一例三重積分在直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球坐標(biāo)下五種解法,探討了三重積分計(jì)算問題的基本思路和方法。結(jié)合相關(guān)文獻(xiàn),分析了三重積分計(jì)算中如何根據(jù)積分區(qū)域、被積函數(shù)、積分限和區(qū)域圖形情況選擇合適的坐標(biāo)系,將三重積分化為三次積分進(jìn)行計(jì)算。

    三重積分;積分區(qū)域;多種解法

    1 直角坐標(biāo)系下的計(jì)算

    1.1 利用截面法

    由于被積函數(shù)為z2,只含有一個(gè)變量,因此可以把三重積分化為“先二重后一重”的累次積分。又由于空間區(qū)域V用平行于xy平面的平面截得的是一個(gè)圓面,即

    此時(shí)積分區(qū)域V=V1+V2,其中

    從而

    1.2 利用投影法

    V={(x,y,z)|(x,y)∈D,

    從而

    2 柱面坐標(biāo)系下的計(jì)算

    由于積分區(qū)域V由x2+y2+z2≤r2和x2+y2+z2≤2rz所確定,且有

    注2:通過對(duì)比,柱面坐標(biāo)下計(jì)算三重積分和直角坐標(biāo)系下利用投影法計(jì)算三重積分基本相同。

    3 球坐標(biāo)系下的計(jì)算

    3.1 利用積分區(qū)域可加性

    作球面坐標(biāo)變換x=ρsinφcosθ,y=ρsinφsinθ,z=ρcosφ,則積分區(qū)域V1變?yōu)?/p>

    則積分區(qū)域V2變?yōu)镾1和S2:

    因此利用球面坐標(biāo),有

    3.2 利用積分區(qū)域補(bǔ)全法

    作球坐標(biāo)變換x=ρsinφcosθ,y=ρsinφsinθ,z=ρcosφ,則積分區(qū)域V2變?yōu)?/p>

    因此利用球坐標(biāo),有

    對(duì)積分區(qū)域V2也可以利用區(qū)域補(bǔ)全法,可以得到和以上類似的結(jié)果。

    注3:比較上述兩種算法,難易程度相當(dāng),說明在區(qū)域劃分沒有減少的情況下,利用區(qū)域可加性和區(qū)域補(bǔ)全法計(jì)算三重積分均可。

    4 計(jì)算方法的比較分析

    通過對(duì)一例三重積分的五種算法比較可知,三重積分計(jì)算基本思路和方法是選取不同坐標(biāo)系,將三重積分化為三次積分,根據(jù)具體問題的特點(diǎn)采取不同積分次序進(jìn)行計(jì)算。結(jié)合實(shí)例,三重積分計(jì)算除了一些技巧性問題外,還應(yīng)注意分析以下問題:

    (1)坐標(biāo)系的選擇。應(yīng)該了解三種坐標(biāo)系下積分公式的主要特點(diǎn),在給定的積分區(qū)域下選用哪種坐標(biāo)系更為方便。 對(duì)于平面圍成的積分區(qū)域,一般選用直角坐標(biāo)系;對(duì)于圓錐面、旋轉(zhuǎn)拋物面圍成的區(qū)域或積分區(qū)域與繞z 軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體有關(guān)時(shí),一般選用柱面坐標(biāo)系;而與球相關(guān)的積分區(qū)域,往往選取球坐標(biāo)系。

    (2)被積函數(shù)的特點(diǎn)。結(jié)合被積函數(shù)的特點(diǎn)選擇合適的坐標(biāo)系,往往能簡化三重積分計(jì)算。對(duì)于被積函數(shù)中只含有一個(gè)變量的,可以選取直角坐標(biāo)系,且若截面面積易求,可利用截面法求積分,如解法一;若被積函數(shù)含有兩個(gè)變量,且有平方和形式,如x2+y2,則可選取柱面坐標(biāo)系;若被積函數(shù)含有三個(gè)變量平方和形式,一般利用球坐標(biāo)系。

    (3)積分限的選擇。積分限和坐標(biāo)系的選取息息相關(guān),一旦確定坐標(biāo)系后,積分限一般有固定模式。因此,坐標(biāo)系的選擇除要關(guān)注積分區(qū)域形式和被積函數(shù)特點(diǎn)外,還要關(guān)注積分限是否容易確定,累次積分是否容易計(jì)算,選擇不同積分限計(jì)算繁簡程度不同。在具體積分限確定時(shí),關(guān)鍵是看線:直角坐標(biāo)和柱面坐標(biāo)是看投影面的垂線與積分區(qū)域相交情況;球坐標(biāo)看極點(diǎn)出發(fā)的射線與區(qū)域相交情況。

    如本文中的例子,從積分區(qū)域形式看,選擇球坐標(biāo)比較合適,從被積函數(shù)看直角坐標(biāo)比較合適,通過對(duì)比積分限,顯然利用直角坐標(biāo)計(jì)算要容易。應(yīng)了解化成三次積分與化成一次積分和一個(gè)二重積分的公式的主要特點(diǎn),以及給定積分區(qū)域與被積函數(shù)下使用何種公式合適。

    (4)積分區(qū)域示意圖的勾勒。對(duì)于由方程組或不等式給出的積分區(qū)域,盡量畫出示意圖,可以直觀地從區(qū)域圖形特點(diǎn)判斷利用何種坐標(biāo)系計(jì)算,以及如何確定積分限。

    [1]費(fèi)時(shí)龍.計(jì)算三重積分的一種特殊方法[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,19(1):101-103

    [2]陳浩.一例三重積分的解法剖析[J].宿州學(xué)院學(xué)報(bào),2010,25(8):103-107

    [3]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].5版.北京:高等教育出版社,2010:99-106

    [4]呂中學(xué).關(guān)于三重積分的計(jì)算[J].高等數(shù)學(xué)研究,2016,19(2):48-50

    [5]趙俠,楊路.例談高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法——一道習(xí)題玩轉(zhuǎn)三重積分[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2016,29(3):84-87

    [6]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].4版.北京:高等教育出版社,2010:264-265

    (責(zé)任編輯:汪材印)

    10.3969/j.issn.1673-2006.2017.06.027

    2017-01-12

    安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(gxyqZD2016339);宿州學(xué)院綜合理科實(shí)踐教育基地(szxysjjd201205)。

    張海燕(1980-),女,安徽宿州人,碩士,副教授,研究方向:非線性泛函分析及應(yīng)用研究。

    O172.2

    A

    1673-2006(2017)06-0102-03

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