基于粒子群算法的被動分?jǐn)?shù)階汽車懸架參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)

游 浩， 申永軍， 楊紹普

(石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 石家莊 050043)

基于粒子群算法的被動分?jǐn)?shù)階汽車懸架參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)

游 浩， 申永軍， 楊紹普

(石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 石家莊 050043)

利用粒子群算法研究了被動分?jǐn)?shù)階汽車懸架參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。分?jǐn)?shù)階汽車懸架系統(tǒng)是指運(yùn)動微分方程中含有分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的汽車懸架系統(tǒng)。建立了被動分?jǐn)?shù)階懸架系統(tǒng)的仿真模型，利用Oustaloup濾波器算法實(shí)現(xiàn)了該模型中分?jǐn)?shù)階微積分的近似計(jì)算。利用粒子群算法尋找一組最優(yōu)的懸架參數(shù)來協(xié)調(diào)汽車操縱穩(wěn)定性和乘坐舒適性的關(guān)系以到達(dá)最優(yōu)的懸架性能。對比原懸架系統(tǒng)和優(yōu)化后懸架系統(tǒng)在A、B、C、D共四級路面輸入下的響應(yīng)及其頻率特性。研究結(jié)果表明,利用該方法對被動分?jǐn)?shù)階懸架參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，在保證汽車操縱穩(wěn)定性的前提下乘坐舒適性得到明顯改善。

汽車懸架；分?jǐn)?shù)階微積分；粒子群算法；Oustaloup濾波器

懸架對汽車操縱穩(wěn)定性和乘坐舒適性起著決定性作用，至20世紀(jì)30年代Olley提出了被動懸架系統(tǒng)以來，隨著汽車技術(shù)的不斷進(jìn)步，汽車懸架經(jīng)歷了從被動懸架、半主動懸架到主動懸架的變遷[1-4]。其中被動懸架不僅結(jié)構(gòu)簡單、性能可靠，而且成本低，因此運(yùn)用最為廣泛。彈簧-阻尼系統(tǒng)是被動懸架的主要組成部分，如何調(diào)整它的參數(shù)來協(xié)調(diào)汽車操縱穩(wěn)定性和乘坐舒適性的關(guān)系以達(dá)到最優(yōu)效果，是被動懸架參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題。申永軍等[5]利用最優(yōu)控制理論和最小二乘法的結(jié)合研究了汽車被動懸架參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。謝能剛等[6]基于Nash均衡模型的多目標(biāo)求解方法對汽車被動懸架參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1936年，Gemant[7]率先提出用分?jǐn)?shù)階微分來描述黏彈性材料的力和變形的關(guān)系。1991年，Makris提出了用分?jǐn)?shù)階Maxwell等[8]模型來描述黏性阻尼器的力學(xué)模型，研究結(jié)果表明其比整數(shù)階模型更加準(zhǔn)確的描述了黏性阻尼器的力學(xué)特性。1995年，Oustaloup等[9]提出了CRONE懸架系統(tǒng)，該懸架系統(tǒng)中懸架變形和力的關(guān)系可用分?jǐn)?shù)階微分來描述。2015年，劉曉梅等[10]建立了磁流變阻尼器的分?jǐn)?shù)階Bingham模型，研究結(jié)果表明其比整數(shù)階Bingham模型更加準(zhǔn)確的描述了磁流變阻尼器的力學(xué)特性。這都說明在傳統(tǒng)被動懸架系統(tǒng)的動力學(xué)模型中加入分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)是合理的。此外，黏性阻尼器和磁流變阻尼器是汽車懸架系統(tǒng)中常見的隔振器件，當(dāng)汽車懸架系統(tǒng)中含有此類隔振器件時，利用分?jǐn)?shù)階微分能夠更加準(zhǔn)確的描述懸架系統(tǒng)的動力學(xué)特性。本文將運(yùn)動微分方程中含有分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的懸架系統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)階懸架系統(tǒng)，并且研究了利用粒子群算法對被動分?jǐn)?shù)階汽車懸架參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的過程。

1 分?jǐn)?shù)階汽車懸架系統(tǒng)的動力學(xué)建模

含分?jǐn)?shù)階懸架系統(tǒng)的二自由度1/4汽車模型如圖1所示。根據(jù)牛頓第二定律得到其運(yùn)動微分方程

(1)

圖1 二自由度1/4汽車模型Fig.1 The 2-DOF model of quarter-vehicle body

采用濾波白噪聲生成隨機(jī)路面輸入，其時域數(shù)學(xué)模型為[11]

(2)

式中:q(t)為路面隨機(jī)位移；η1為下截止空間頻率，通常取0.011 m；v為車速；η0為參考空間頻率，η0=0.1 m；Gq(η0)為參考空間頻率下的功率譜密度即路面不平度系數(shù)，與路面等級有關(guān)；w(t)為均值為0、方差為1的Gauss白噪聲。

2 分?jǐn)?shù)階汽車懸架的優(yōu)化策略

2.1 分?jǐn)?shù)階微分的處理

17世紀(jì)末期，Hospital等率先提出了分?jǐn)?shù)階微積分的概念。經(jīng)過300多年的發(fā)展，分?jǐn)?shù)階微積分理論逐步走向成熟。分?jǐn)?shù)階微積分有多種不同的定義方式，本文使用Caputo定義[12]

(3)

式中,Γ(y)為Gamma函數(shù)，滿足

(4)

在0初始條件下，分?jǐn)?shù)階微分的Laplace變換滿足

Γ{Dpf(t)}=spF(s)

(5)

目前常用的分?jǐn)?shù)階微積分算法大致分為三種[13-15]：近似解析法、數(shù)值解法、濾波器算法。本文利用Oustaloup濾波器算法來實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微積分的近似計(jì)算，它的基本思想是在選定的頻率段(ωb,ωh)內(nèi)做分?jǐn)?shù)階算子sp的近似替換。根據(jù)該思想構(gòu)造Oustaloup濾波器為

(6)

式中,M為濾波器的階次，濾波器的零點(diǎn)和極點(diǎn)分別為

(7)

(8)

圖2 頻率響應(yīng)曲線Fig.2 Frequency response curve

2.2 分?jǐn)?shù)階汽車懸架參數(shù)優(yōu)化

Kennedy等[16]在鳥群模型[17]的啟發(fā)下，提出了粒子群算法。在該算法中，每個粒子都由一組位置和速度向量來表示。其中位置向量表示所求問題的可行解，速度向量表示粒子在搜索空間中的運(yùn)動方向。粒子當(dāng)前位置的優(yōu)劣，由與其所對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)來進(jìn)行評判。粒子在搜索空間中通過不斷的更新當(dāng)前的位置和速度來尋找自己的最優(yōu)位置即個體最優(yōu)位置，從而找到粒子群的最優(yōu)位置。利用粒子群算法的尋優(yōu)能力可以找到一組最優(yōu)的懸架參數(shù)，來協(xié)調(diào)汽車操縱穩(wěn)定性和乘坐舒適性的關(guān)系以到達(dá)最優(yōu)的懸架性能。分?jǐn)?shù)階懸架參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，即調(diào)整懸架的剛度和阻尼系數(shù)。因此，可將式(1)改寫成

(9)

式中,Δk和Δc為剛度和阻尼系數(shù)的調(diào)整值。根據(jù)式(6)和式(9)在Matlab/Simulink中建立被動分?jǐn)?shù)階汽車懸架的仿真模型如圖3所示，圖中當(dāng)k3=k1，c2=c1時，表示的是原被動懸架系統(tǒng)；當(dāng)k3=Δk+k1，c2=Δc+c1時，表示的是參數(shù)調(diào)整后的被動懸架系統(tǒng)。

圖3 被動分?jǐn)?shù)階汽車懸架的仿真模型Fig.3 The simulation model of passive fractional-order vehicle suspension

懸架的性能可用車身垂直加速度、懸架變形以及輪胎動載荷等三個性能指標(biāo)進(jìn)行定量評價(jià)，通常情況下這三個性能指標(biāo)相互矛盾。其中車身垂直加速度影響汽車的乘坐舒適性，懸架變形影響車身姿態(tài)，輪胎動載荷影響汽車的操縱穩(wěn)定性。分?jǐn)?shù)階汽車懸架參數(shù)優(yōu)化的目標(biāo)是在保證汽車操縱穩(wěn)定性的前提下提高乘坐舒適性，同時保證懸架變形在允許的范圍內(nèi)以及車身靜載變化時不會出現(xiàn)過大的懸架變形。因此，目標(biāo)函數(shù)可選為

(10)

滿足約束條件

(11)

乘坐舒適性系數(shù)

(12)

本文的主要目標(biāo)是尋找一組最優(yōu)的調(diào)節(jié)參數(shù)(Δk,Δc)來協(xié)調(diào)汽車操縱穩(wěn)定性和乘坐舒適性的關(guān)系以達(dá)到最優(yōu)效果，即目標(biāo)函數(shù)取最小值。因此，粒子群的搜索空間為2維。設(shè)粒子群中包含T個粒子，粒子i的當(dāng)前位置為Xi=(xi1,xi2)，粒子i在搜索空間中的飛行速度為Vi=(vi1,vi2)，粒子i的最優(yōu)位置為pbesti=(pbesti1,pbesti2)，粒子群的最優(yōu)位置為gbest=(gbest1,gbest2)，粒子當(dāng)前的迭代次數(shù)為n。為了防止粒子因速度過大而超出設(shè)定的搜索范圍，設(shè)置粒子的速度滿足-vmax≤vij≤vmax，如果超出范圍則取邊界值。

粒子i的最優(yōu)位置更新公式

(13)

粒子群的當(dāng)前最優(yōu)位置由式(14)確定

L[bgest(n)]=min{L[pbest1(n)],…,L[pbestT(n)]}

(14)

粒子在搜索空間中的速度更新公式

H(n)=gvij(n)+d1r1[pbestij(n)-xij(n)]+

d2r2[gbestj(n)-xij(n)]

(15a)

(15b)

位置更新公式

xij(n+1)=xij(n)+vij(n+1)

(15c)

式中：j=1, 2；g為慣性權(quán)重；d1和d2是加速常數(shù)；r1和r2是[0,1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

粒子群中每個粒子的位置Xi(i=1, 2,…,T) 都對應(yīng)著一組調(diào)節(jié)參數(shù)(Δk,Δc)，通過不斷的迭代來尋找粒子群的最優(yōu)位置gbest=(gbest1,gbest2)使目標(biāo)函數(shù)取最小值。設(shè)置最大迭代次數(shù)N為計(jì)算的終止條件。若輸出結(jié)果滿足式(11)所表示的約束條件時，則結(jié)果即為所求；若輸出結(jié)果不滿足式(11)所表示的約束條件時，則需要重新調(diào)整加權(quán)系數(shù)ρ1、ρ2、ρ3和ρ4。利用粒子群算法對被動分?jǐn)?shù)階汽車懸架參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化的流程如圖4所示。

圖4 被動分?jǐn)?shù)階汽車懸架參數(shù)優(yōu)化流程Fig.4 The optimization process of passive fractional-order vehicle suspension parameters

3 分?jǐn)?shù)階懸架參數(shù)的優(yōu)化實(shí)例

取一組懸架參數(shù)：m1=240 kg，m2=36 kg，k1=1.5×104N/m，k2=1.5×105N/m，c1=1 500 N·s/m，k=

1 000，p=0.5。b1的選擇與懸架的動行程范圍有關(guān)，b2的選擇與輪胎強(qiáng)度及其抓地能力有關(guān)，本文取b1=1.2，b2=1.1；粒子群算法的參數(shù)設(shè)置為，T=36，d1=3.5，d2=3.5，g=1，-150≤vi1≤150，-15≤vi2≤15，N=500；Δk的搜索范圍為[-k1,k1]，Δc的搜索范圍為[-c1,c1]；設(shè)定汽車車速為v=20 m/s，路面采用國家標(biāo)準(zhǔn)D級路面，即Gq(η0)=1 024×10-6m3，路面仿真結(jié)果如圖5所示。D級路面相當(dāng)于碎石路面，是普通小轎車能行駛的最差路況，本文所選車型的懸架動行程為±0.08 m。通過大量的試算，取ρ1=3.5、ρ2=1.3、ρ3=1和ρ4=0.2。經(jīng)過計(jì)算可知，最優(yōu)調(diào)節(jié)參數(shù)(Δk,Δc)=(-6 473,-587)，乘坐舒適性系數(shù)b3=0.80，目標(biāo)函數(shù)值的變化如圖6所示。D級路面下，原懸架系統(tǒng)和優(yōu)化后懸架系統(tǒng)的車身垂直加速度、懸架變形、輪胎動載荷的仿真結(jié)果如圖7、圖8和圖9所示。為了進(jìn)一步比較優(yōu)化前后懸架系統(tǒng)的性能，在同一優(yōu)化參數(shù)下研究了A、B、C、D共四級路面輸入下的系統(tǒng)響應(yīng)，其響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特性如表1所示。為了比較優(yōu)化前后懸架系統(tǒng)的頻率特性，將振幅為0.006 m的正弦波作為懸架系統(tǒng)的輸入，以穩(wěn)定后的車身垂直加速度、懸架變形以及輪胎動載荷的方均根值為評價(jià)指標(biāo)，得到優(yōu)化前后懸架系統(tǒng)的頻率響應(yīng)如圖10～圖12所示。

圖5 D級路面仿真結(jié)果Fig．5ThesimulationresultofD?classroad圖6 目標(biāo)函數(shù)值變化情況Fig．6Thechangeofobjectivefunctionvalue圖7 優(yōu)化前后車身垂直加速度Fig．7Comparisonofvehiclebodyverticalaccelerationsbetweenoriginalandoptimalparameters

圖8 優(yōu)化前后懸架變形Fig．8Comparisonofsuspensiondeformationbetweenoriginalandoptimalparameters圖9 優(yōu)化前后輪胎動載荷Fig．9Comparisonoftiredynamicloadbetweenoriginalandoptimalparameters圖10 優(yōu)化前后車身垂直加速度方均根值Fig．10RMSofvehiclebodyverticalaccelerationswithoriginalandoptimalparameters

圖11 優(yōu)化前后懸架變形方均根值Fig．11RMSofsuspensiondeformationwithoriginalandoptimalparameters圖12 優(yōu)化前后輪胎動載荷方均根值Fig．12RMSoftiredynamicloadwithoriginalandoptimalparameters

表1 懸架系統(tǒng)性能指標(biāo)方均根值對比

由圖6～圖12以及表1可以看出：

(1)迭代次數(shù)大約在220次時，目標(biāo)函數(shù)已達(dá)到最小值并且滿足約束條件，所以輸出的最優(yōu)調(diào)節(jié)參數(shù)(Δk,Δc)是有效的。

(2)與原被動分?jǐn)?shù)階汽車懸架相比，優(yōu)化后被動分?jǐn)?shù)階汽車懸架的車身垂直加速度明顯降低，并且在人體較敏感的4～8 Hz頻率內(nèi)降低的尤為明顯，汽車的乘坐舒適性得到明顯改善。

(3)在一小段頻率范圍內(nèi)優(yōu)化后懸架變形減小；在大部分頻率范圍內(nèi)優(yōu)化后懸架變形增大，但是仍處于懸架動行程范圍內(nèi)。

(4)大約以8 Hz為界，小于8 Hz時，優(yōu)化后輪胎動載荷減??；大于8 Hz時，優(yōu)化后輪胎動載荷增大，但是這種惡化不足以影響輪胎的強(qiáng)度及其與路面的附著能力，基本不影響汽車的操縱穩(wěn)定性。

研究結(jié)果表明，對于不同等級的路面A、B、C、D，利用本文方法對被動分?jǐn)?shù)階汽車懸架參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，在保證汽車操縱穩(wěn)定性的前提下乘坐舒適性得到明顯改善。

4 結(jié) 論

本文以2自由度1/4車模型為基礎(chǔ)，基于粒子群算法研究了被動分?jǐn)?shù)階汽車懸架參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。研究結(jié)果表明：當(dāng)濾波器階次M=9時，利用Oustaloup濾波器算法對模型中分?jǐn)?shù)階微積分進(jìn)行近似計(jì)算，在選定的頻率段 (0.001 rad/s,1 000 rad/s) 內(nèi)，該算法具有較高的計(jì)算精度；優(yōu)化后汽車懸架的車身垂直加速度方均根值降低了20%，乘坐舒適性得到明顯改善；優(yōu)化后懸架變形和輪胎動載荷有所惡化，但不影響汽車的操縱穩(wěn)定性。本文為被動分?jǐn)?shù)階汽車懸架參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了一種簡單、易行的方法。

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Parameters design for passive fractional-order vehicle suspension based on particle swarm optimization

YOU Hao, SHEN Yongjun, YANG Shaopu

(School of Mechanical Engineering，Shijiazhuang Tiedao University，Shijiazhuang 050043, China)

In this paper, the optimal design of passive fractional-order vehicle suspension parameters was studied based on the particle swarm optimization. A vehicle suspension system whose motion differential equation contains fractional-order derivatives was called as a fractional-order vehicle suspension system. The simulation model of passive fractional-order vehicle suspension system was built, and the approximate solution of fractional-order derivatives in this system was obtained by using the Oustaloup filter algorithm. Then, in order to achieve optimal performance of the passive fractional-order vehicle suspension, the relationship between the riding comfort and driving stability was coordinated by using particle swarm optimization to find a set of optimal suspension parameters. Finally, the responses of original and optimized passive fractional-order suspension systems were compared when the vehicle was running on different road levels from A to D respectively, and their frequency characteristics were also compared. The study results indicate that the ride comfort is improved greatly on the premise of guaranteeing driving stability, when the passive fractional-order vehicle suspension parameters are optimized by using this method.

vehicle suspension; fractional-order derivatives; particle swarm optimization; Oustaloup filter algorithm

國家自然科學(xué)基金(11372198)；河北省高等學(xué)校創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)領(lǐng)軍人才計(jì)劃(LJRC018)；河北省高等學(xué)校高層次人才科學(xué)研究項(xiàng)目(GCC2014053)；河北省高層次人才資助項(xiàng)目(A201401001)

2016-04-12 修改稿收到日期： 2016-06-14

游浩 男，碩士生，1990年生

申永軍 男，博士，教授，1973年生

U463.33

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.16.035