SARIMA模型在湖泊水溫序列中的應(yīng)用

王盼盼+郭林豪+王林枝+馬寨璞

摘 要：水溫是影響水質(zhì)的重要因素之一，為了更好地預(yù)測(cè)水溫的變化趨勢(shì)，為水質(zhì)管理及漁業(yè)生產(chǎn)提供科學(xué)依據(jù)，本文以太湖梅梁灣湖區(qū)為例，選取梅梁灣1995年1月-2005年12月的水溫?cái)?shù)據(jù)，構(gòu)建季節(jié)性時(shí)間序列模型，并以2006年的水溫?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果顯示了模型擬合效果較好，預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值相對(duì)誤差較小，表明季節(jié)性時(shí)間序列在水溫預(yù)測(cè)方面有較好的應(yīng)用性。

關(guān)鍵詞：季節(jié)性；時(shí)間序列；水溫；漁業(yè)

由于自然和人為因素的影響，對(duì)湖泊的水質(zhì)造成了不同形式的危害。一旦湖泊發(fā)生富營(yíng)養(yǎng)化，就會(huì)導(dǎo)致藻類及其他水生生物過(guò)量繁殖，造成水質(zhì)惡化。這不僅對(duì)生態(tài)環(huán)境造成一定程度的破壞，而且對(duì)漁業(yè)的生產(chǎn)也會(huì)產(chǎn)生影響。然而，水中各影響因子之間關(guān)系比較復(fù)雜并且呈非線性，各因子對(duì)影響富營(yíng)養(yǎng)化程度的大小不一，其中水溫作為影響藻類生長(zhǎng)和繁殖的基本因子，與細(xì)胞內(nèi)酶反應(yīng)速率和植物的新陳代謝有密切的關(guān)系[1]。Agawin等認(rèn)為水溫升高對(duì)藻類數(shù)量的增加有主導(dǎo)作用，在其他環(huán)境條件適宜的情況下，溫度每升高10 ℃都會(huì)引起藻類活動(dòng)強(qiáng)度增加2倍[2]。所以了解水溫變化趨勢(shì)在一定程度上可以為預(yù)測(cè)湖泊水質(zhì)提供科學(xué)依據(jù)，同時(shí)對(duì)漁業(yè)生產(chǎn)提供科學(xué)指導(dǎo)。

水溫?cái)?shù)據(jù)是隨著時(shí)間的推移而記錄下的一系列的數(shù)據(jù)，它們往往具有季節(jié)性和周期性。對(duì)于這種序列的數(shù)據(jù)，我們往往稱為季節(jié)性序列。而處理這種序列數(shù)據(jù)的方法之一就是建立季節(jié)時(shí)間序列模型，即SARIMA模型，此模型主要應(yīng)用于有長(zhǎng)期趨勢(shì)與季節(jié)性波動(dòng)的時(shí)間序列的分析預(yù)測(cè)中。本文將以太湖梅梁灣湖區(qū)1995年1月-2005年12月水溫?cái)?shù)據(jù)為基礎(chǔ)，建立季節(jié)時(shí)間序列模型，并以2006年各月水溫?cái)?shù)據(jù)為依據(jù)，對(duì)建立的SARIMA模型預(yù)測(cè)值進(jìn)行驗(yàn)證，為水溫及水質(zhì)預(yù)測(cè)提供新思路。

1 SARIMA模型概述

SARIMA模型又叫季節(jié)性差分自回歸移動(dòng)平均模型（Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average），存在明顯的周期變化，這種周期變化主要是由于季節(jié)變化引起的。此模型的基本構(gòu)成為SARIMA （p，d，q）（P，D，Q），共六個(gè)參數(shù)需要確定。其中P、D、Q主要描述季節(jié)性的變化，p、d、q用來(lái)描述去除季節(jié)性的變化，分別代表自回歸、差分、移動(dòng)平均。SARIMA模型在國(guó)內(nèi)外不同領(lǐng)域均有廣泛的應(yīng)用，例如：Kutluk Kagan Sume等對(duì)開(kāi)塞利及附近地區(qū)的電力需求應(yīng)用SARIMA模型進(jìn)行了預(yù)測(cè)[3]；王瑩等用SARIMA模型對(duì)北京地鐵進(jìn)站的客流量進(jìn)行了預(yù)測(cè)[4]；劉濤等將SARIMA模型應(yīng)用于山東省手足口病發(fā)病趨勢(shì)的研究[5]；田苗等基于條件植被溫度指數(shù)，用SARIMA模型對(duì)關(guān)中平原進(jìn)行了干旱預(yù)測(cè)[6]。以上模型均很好地?cái)M合了數(shù)據(jù)趨勢(shì)，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際情況較吻合。

2 研究區(qū)概況

太湖是我國(guó)東部近海區(qū)域最大的湖泊，是我國(guó)第二大淡水湖泊。湖泊面積隨著自然和人為因素的影響已經(jīng)逐漸縮減到2 427.8 km2，位于北緯30°55'40"～31°32'58"和東經(jīng)119°52'32"～120°36'10"之間。梅梁灣是太湖北部的一個(gè)湖灣，面積約129.3 km2，平均水深2.3 m，是無(wú)錫市主要水源地及旅游區(qū)。梅梁灣東北部有梁溪河、五里湖注入，西北部與武進(jìn)港、直湖港有水力聯(lián)系[7]。由于入湖河道及沿岸的污染影響，梅梁灣內(nèi)藍(lán)藻水華現(xiàn)象嚴(yán)重。圖1為太湖區(qū)域的輪廓圖，方框中的區(qū)域?yàn)槊妨簽澈^(qū)。

3 數(shù)據(jù)來(lái)源

本文選取梅梁灣監(jiān)測(cè)點(diǎn)1995年1月-2005年12月的水溫監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)（由中國(guó)科學(xué)院太湖湖泊生態(tài)系統(tǒng)研究站提供）。數(shù)據(jù)為每月一次，共132個(gè)樣本數(shù)據(jù)。

4 梅梁灣湖區(qū)水溫季節(jié)時(shí)間序列模型建立

4.1 數(shù)據(jù)的預(yù)處理

首先我們對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，通過(guò)探索性分析，防止數(shù)據(jù)在建立SARIMA模型時(shí)存在由于錄入錯(cuò)誤、缺失以及不相等的觀測(cè)區(qū)間或者不相關(guān)的時(shí)間等而出現(xiàn)的問(wèn)題[8]。因?yàn)镾ARIMA模型是對(duì)序列相鄰時(shí)期的觀測(cè)值之間的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行的建模，不能應(yīng)用于有缺失值的時(shí)間序列。對(duì)于數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的缺失值，本文采取臨近年份之間的平均值來(lái)代替。而對(duì)于間隔不等的時(shí)間序列可以用差值法來(lái)轉(zhuǎn)換成等間隔的時(shí)間序列，本文中時(shí)間序列相等，為每月一次。

時(shí)間序列的確定性分析：

（1）對(duì)梅梁灣1995年1月-2005年12月的各月水溫?cái)?shù)據(jù)做時(shí)間序列圖，如圖2（左）所示，可以看出該序列存在季節(jié)性周期波動(dòng)，但是趨勢(shì)性并不明顯。

（2）計(jì)算觀測(cè)序列的樣本相關(guān)系數(shù)和樣本偏相關(guān)系數(shù)。在時(shí)間序列中，相鄰兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)的觀測(cè)值具有一定的相關(guān)性，即所謂的自相關(guān)；它們的相關(guān)系數(shù)則成為自相關(guān)系數(shù)（ACF）。而偏相關(guān)系數(shù)（PACF）指的是在給定中間觀測(cè)值的條件下，時(shí)間序列的觀測(cè)值與過(guò)去觀測(cè)值的線性相關(guān)性的系數(shù)。梅梁灣樣本數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)圖如圖2（中、右）所示，由此可以看出序列為非平穩(wěn)狀態(tài)，所以需要對(duì)此序列進(jìn)行差分，從而轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)序列，繼續(xù)建立模型。

4.2 模型識(shí)別

所謂差分（Difference），即是用原序列的每一個(gè)觀測(cè)值減去前面一個(gè)觀測(cè)值，所形成的就是對(duì)原序列的一階差分。通過(guò)以上對(duì)梅梁灣1995年-2005年的水溫?cái)?shù)據(jù)的分析得出此序列為季節(jié)性時(shí)間序列，故需對(duì)原序列進(jìn)行一階季節(jié)性差分，從而消除其季節(jié)性因素，使序列得以平穩(wěn)。差分后的序列圖以及自相關(guān)和偏相關(guān)圖如圖3所示。一階季節(jié)性差分后的序列圖的季節(jié)性已不明顯，但是自相關(guān)圖和偏相關(guān)圖的滯后12階處有明顯的峰值，說(shuō)明此差分序列仍然存在一定周期性，故繼續(xù)進(jìn)行單位根檢驗(yàn)。所得結(jié)果如圖4所示，ADF值= -9.664 849，小于三個(gè)顯著性水平下的值，所以拒絕原假設(shè)，此序列沒(méi)有單位根，認(rèn)為是平穩(wěn)序列，可以建立SARIMA模型。

4.3 參數(shù)估計(jì)

模式識(shí)別之后，便可以對(duì)模型進(jìn)行初步定階。但是符合模型模式的參數(shù)并不唯一，所以要考慮到所有可能的參數(shù)值。由于一階季節(jié)性差分后序列達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)，所以不難確定d=0，D=1。對(duì)于p，q，P，Q的可能取值，可以由低階到高階擬合模型，根據(jù)BIC準(zhǔn)則來(lái)確定最終的最優(yōu)模型的參數(shù)。本文經(jīng)過(guò)篩選，最小的BIC的值為1.664，最優(yōu)模型為SARIMA（0，0，0）（1，1，1）。該模型的統(tǒng)計(jì)量結(jié)果見(jiàn)表1，R方值為0.936，說(shuō)明擬合較好，顯著性的值大于0.05，表明殘差錯(cuò)誤是隨機(jī)的。

4.4 模型診斷與檢驗(yàn)

根據(jù)模型SARIMA（0，0，0）（1，1，1）擬合得到的殘差自相關(guān)及偏相關(guān)圖見(jiàn)圖5，從圖中可以看出殘差序列基本不存在相關(guān)性，位于置信區(qū)間內(nèi)，可以看做白噪聲序列，故本文所建立的SARIMA（0，0，0）（1，1，1）模型是比較可靠的。

4.5 模型預(yù)測(cè)結(jié)果及分析

對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)之后就可以用所建立的SARIMA（0，0，0）（1，1，1）對(duì)梅梁灣1995年1月-2005年12月的水溫?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行擬合，以及對(duì)2006年各月水溫進(jìn)行預(yù)測(cè)，如圖6所示，從圖中可以看出擬合情況與原序列較吻合。表2記錄了2006年各月水溫的預(yù)測(cè)值以及當(dāng)年的實(shí)測(cè)值，為了更好地驗(yàn)證模型SARIMA（0，0，0）（1，1，1）的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性，本文以相對(duì)誤差的大小作為衡量標(biāo)準(zhǔn)。經(jīng)計(jì)算，相對(duì)誤差大都在15%以下，且誤差為零的有2個(gè)，誤差小于5%的有3個(gè)，誤差在5%～10%的有2個(gè)，誤差在10%～15%的有3個(gè)，誤差在15%～20%的有1個(gè)，誤差超過(guò)20%的有1個(gè)，總體來(lái)說(shuō)平均相對(duì)誤差為7.9%。所以本文建立的季節(jié)時(shí)間序列模型有較好的預(yù)測(cè)效果，相對(duì)誤差在允許的范圍內(nèi)。圖5 模型SARIMA（0，0，0）（1，1，1）殘差序列自相關(guān)和偏相關(guān)圖.

5 結(jié)論

本文對(duì)太湖梅梁灣湖區(qū)建立的季節(jié)性時(shí)間序列模型能夠很好地?cái)M合水溫序列趨勢(shì)，同時(shí)經(jīng)過(guò)2006年實(shí)測(cè)水溫?cái)?shù)據(jù)的驗(yàn)證，表明SARIMA模型的預(yù)測(cè)效果較為理想，能夠適用梅梁灣湖區(qū)的水溫預(yù)測(cè)。

時(shí)間序列應(yīng)用領(lǐng)域比較廣泛，但是將季節(jié)時(shí)間序列應(yīng)用于湖泊的管理及水質(zhì)預(yù)測(cè)還不是很多，由此為研究水生態(tài)及漁業(yè)生產(chǎn)的科學(xué)管理提供了一種新思路。

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