三維拋體問題

張夢安

(浙江省吳興高級(jí)中學(xué) 浙江 湖州 313000)

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院 浙江 湖州 313000)

三維拋體問題

張夢安

(浙江省吳興高級(jí)中學(xué) 浙江 湖州 313000)

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院 浙江 湖州 313000)

依據(jù)不同三維拋體模型，采用合適的三維坐標(biāo)系，來求解運(yùn)動(dòng)軌跡、落點(diǎn)特性和初始條件等問題.

三維 拋體 三維坐標(biāo)系

平拋和斜面(曲面)結(jié)合的問題是高考的出題點(diǎn)[1，2]，自主招生題目[3，4]傾向于斜拋和斜面結(jié)合.文獻(xiàn)[1～4]中的拋體問題，實(shí)質(zhì)是兩維問題，與斜(曲)面的面沒有關(guān)系.實(shí)際生活中的拋體是三維問題，譬如足球入球網(wǎng)，網(wǎng)球(乒乓球)斜線過網(wǎng)落點(diǎn)，一些高考題和競賽題已經(jīng)采用三維拋體模型.三維拋體問題，利用矢量分量、坐標(biāo)、時(shí)間反演可以更加簡單地求解.我們以3個(gè)例子來說明這種方法的應(yīng)用.

第一個(gè)例子是2014年中學(xué)生物理競賽決賽第2題.先簡述原題：潛艇以發(fā)射速度v0發(fā)射母彈，母彈在最高點(diǎn)分裂為同質(zhì)量的3個(gè)分彈頭，相對(duì)質(zhì)心速度大小都是v.兩個(gè)分彈頭擊中目標(biāo)W和N，兩個(gè)目標(biāo)距離是L.潛艇與兩個(gè)目標(biāo)的垂直距離是d，如圖1所示. 求潛艇位置和發(fā)射方向.

圖1 第一個(gè)例子題圖

參考答案是以兩個(gè)目標(biāo)的中點(diǎn)為原點(diǎn).本文則以最高點(diǎn)為原點(diǎn)，兩個(gè)目標(biāo)連線方向?yàn)閤軸.設(shè)此時(shí)母彈的速度為(vx,vy).由正三角形對(duì)稱性，兩個(gè)彈頭的速度為

(1)

(2)

從最高點(diǎn)計(jì)時(shí)，經(jīng)過時(shí)間t擊中目標(biāo)，那么這兩個(gè)目標(biāo)的坐標(biāo)是

(3)

(4)

兩目標(biāo)橫向距離為L，即

(5)

時(shí)間反演，由于最高點(diǎn)自由落體落到海面時(shí)間一樣，那么相對(duì)最高點(diǎn)潛艇位置是

(6)

潛艇與目標(biāo)的縱向距離是d，即

(7)

發(fā)射速度為v0, 即

(8)

式(5)、(7)、(8)聯(lián)立，很容易得到vx,vy,t的值.由時(shí)間反演，得到母彈發(fā)射時(shí)3個(gè)坐標(biāo)軸方向的分速度，把發(fā)射方向算出來.通過目標(biāo)相對(duì)最高點(diǎn)，最高點(diǎn)相對(duì)潛艇，也能確定發(fā)射時(shí)潛艇的位置.留作計(jì)算題給讀者算一算.

以噴泉為原點(diǎn)，設(shè)斜面與地面的夾角是α，那么斜面的法向量

n=(-sinα,0,cosα)

斜面方程是

-xsinα+zcosα=0

以轉(zhuǎn)動(dòng)角φ為參數(shù)，噴泉出水的速度分量是

vx=v(cosαcosθcosφ-sinαsinθ)

vy=vcosθsinφ

(9)

vz=vsinαcosθcosφ

其中θ是水流速度與垂直斜面矢量的夾角.由此可得噴水空中軌跡方程

x=vt(cosαcosθcosφ-sinαsinθ)

y=vtcosθsinφ

(10)

當(dāng)水落在斜面上-xsinα+zcosα=0時(shí)，解得時(shí)間

(11)

即斜面上水跡形狀還是一個(gè)圓，不過比平面的水跡半徑大，半徑之比是1∶cosα.

第三個(gè)例子是彈性小球在斜面上各個(gè)落點(diǎn)前后長度問題.依據(jù)問題特性，小球反彈前后垂直斜面方向的速度大小不變，方向相反，以斜面為“水平面”， 平行斜面的兩個(gè)相互垂直方向?yàn)閤′和y′方向，垂直斜面向上為z′方向.在新參考系下，重力加速度為

g=g(0,sinα,-cosα)

其中α是斜面與地面的夾角.彈性小球起始點(diǎn)在原點(diǎn)，出射速度在新坐標(biāo)系下是

v0=(v1,v2,v3)

那么第一次小球空中軌跡方程是

x′=v1t

(12)

小球彈跳前后速度大小不變，垂直斜面加速度大小不變，所以小球在空中的彈跳時(shí)間，每一段相等.當(dāng)小球第n次落在斜面上時(shí)，時(shí)間為

小球彈跳前后平行斜面的速度不變，平行斜面的加速度不變，所以平行斜面的坐標(biāo)可以繼續(xù)采用式(12)的表示.把落點(diǎn)時(shí)間代入，計(jì)算得到第n次的落點(diǎn)坐標(biāo)為

(13)

由式(13)可以計(jì)算得到第n個(gè)落點(diǎn)與第n-1個(gè)落點(diǎn)的距離為

(14)

由此可見，采用合適的三維坐標(biāo)系，可以方便解決各種三維拋體問題.

1 陳超群.當(dāng)平拋遇上斜面.中學(xué)物理，2012,30(17)：56～57

2 朱加沐.當(dāng)平拋運(yùn)動(dòng)約會(huì)了曲面.物理教學(xué)，2013,35(10)：58～59

3 陳玉奇.斜面約束下斜拋運(yùn)動(dòng)的分析方法.物理教學(xué)，2015, 37(1)：71～74

4 許小濤.由一道自主招生試題談斜拋運(yùn)動(dòng)的幾種解.物理教學(xué)，2015,37(4)：67

Three Dimensional Projectile Questions

Zhang Meng′an

(Zhejiang Wuxing High School，Zhejiang，Huzhou 313000)

Qiu Weigang

(School of Science, Huzhou Teacher′s College, Zhejiang, Huzhou 313000)

The trajectories, impact points and initial conditions of three dimensional projectiles are derived from different representations of three dimensional coordinates, which depend on different kinds of problems.

three dimension； projectile； three dimensional coordinates

2017-02-02)