一個(gè)幾何引理與拋物型偏轉(zhuǎn)的等效線性不動點(diǎn)*

周國全

(武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 湖北 武漢 430072)

一個(gè)幾何引理與拋物型偏轉(zhuǎn)的等效線性不動點(diǎn)*

周國全

(武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 湖北 武漢 430072)

電子在勻強(qiáng)電場中的電偏轉(zhuǎn)與具有磁矩的原子在非均勻磁場中的運(yùn)動路徑的磁偏轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)——史特恩-蓋拉赫(Stern-Gerlach)實(shí)驗(yàn),是兩個(gè)典型的拋物型偏轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn).本文論述拋物型偏轉(zhuǎn)的等效不動點(diǎn)的存在性及其意義,并推導(dǎo)其統(tǒng)一的偏轉(zhuǎn)公式.

電偏轉(zhuǎn) 磁偏轉(zhuǎn) 線性不動點(diǎn) 史特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn) 偏轉(zhuǎn)公式

普通物理中的電偏轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)與量子、原子物理中的史特恩-蓋拉赫(Stern-Gerlach)實(shí)驗(yàn), 是物理學(xué)不同應(yīng)用領(lǐng)域的兩個(gè)性質(zhì)迥異的實(shí)驗(yàn)[1～4].前者是實(shí)現(xiàn)示波器電子掃描的理論基礎(chǔ)[1～2], 后者直接驗(yàn)證了原子(分子)的磁矩的空間量子化特性[3～7]，從而也驗(yàn)證了原子(分子)角動量與其內(nèi)部電子軌道取向的量子化[3～7]. 然而，撇開具體的物理背景不論, 勻強(qiáng)電場中電子束的偏轉(zhuǎn)與非均勻磁場中原子路徑的偏轉(zhuǎn)卻具有相似的幾何規(guī)律. 它們都由場內(nèi)的一段拋物線偏轉(zhuǎn)外加一段切向的直線運(yùn)動所構(gòu)成. 本文經(jīng)過對這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行具體的分析和類比描述, 尤其闡述了拋物型偏轉(zhuǎn)的等效線性不動點(diǎn)的存在性, 歸納提煉出特有而共同的幾何因子, 總結(jié)出統(tǒng)一的偏轉(zhuǎn)公式.

1 一個(gè)幾何引理

為方便展開有關(guān)拋物型偏轉(zhuǎn)的線性不動點(diǎn)的討論, 先證明如下數(shù)學(xué)命題以作后文引理.

(1)

或 2kx0x-y-y0=0

(1′)

(2)

(3)

圖1 拋物線切線族的不動點(diǎn)

2 拋物型電偏轉(zhuǎn)的等效不動點(diǎn)與偏轉(zhuǎn)公式

(4)

其中入射初速率v滿足

(5)

由式(4)、(5)可得該電子的拋物線運(yùn)動方程為

(6)

相應(yīng)的參數(shù)k為

(7)

圖2 電偏轉(zhuǎn)的等效線性不動點(diǎn)

(8)

或

(9)

(10)

以上偏轉(zhuǎn)公式(8)、(9)在忽略場的邊緣效應(yīng)的情況下嚴(yán)格成立, 不必強(qiáng)調(diào)“偏轉(zhuǎn)板到熒光屏的距離遠(yuǎn)大于偏轉(zhuǎn)板長度”而置該公式于“近似”的地位. 此外, 為了實(shí)現(xiàn)電偏轉(zhuǎn)還必須滿足出射約束條件

(11)

3 拋物型磁偏轉(zhuǎn)的等效線性不動點(diǎn)——史特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)

如圖3所示,史特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)是在非均勻橫向磁場中發(fā)生原子路徑的橫向偏轉(zhuǎn), 它是拋物型偏轉(zhuǎn)的又一典型實(shí)例, 歷史上被用來證實(shí)原子軌道取向及角動量、磁矩的量子化規(guī)律.

圖3 史特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)的等效線性不動點(diǎn)

Fy=(μB)=μ

(12)

(13)

拋物線運(yùn)動方程為

(14)

其拋物線參數(shù)k為

(15)

(16)

注意上式也具有空間幾何因子

為保證原子在G點(diǎn)出射, G點(diǎn)的偏轉(zhuǎn)距離DGy必須滿足約束條件

即

(17)

4 統(tǒng)一的偏轉(zhuǎn)公式

綜上所述, 無論是電子束在勻強(qiáng)電場的電偏轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn), 還是原子束在非均勻橫向磁場中的史特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn), 粒子在場域內(nèi)做一段拋物線運(yùn)動，在場域外做直線運(yùn)動，其出射線的反向延長線必通過其初始入射方向的延長線在場域部分的中點(diǎn), 就如同是從場域中點(diǎn)發(fā)出的射線一樣, 我們稱之為拋物型偏轉(zhuǎn)的等效線性不動點(diǎn).它的存在使問題的處理變得相當(dāng)簡便.另一方面, 由于兩類拋物型偏轉(zhuǎn)具有相同的空間幾何因子，因此它們的偏轉(zhuǎn)公式(9)、(16)具有相似而統(tǒng)一的形式

(18)

(19)

(1)忽略場的邊緣效應(yīng);

式(11)與式(17),亦即

(20)

1 林抒, 龔鎮(zhèn)雄. 普通物理實(shí)驗(yàn).北京:人民教育出版社,1981.328～332

2 周殿清.普通物理實(shí)驗(yàn)教程.武漢：武漢大學(xué)出版社,2005.98～104

3 褚圣麟.原子物理學(xué).北京:高等教育出版社,1979.42～61

4 H·哈肯,H·C·沃爾夫,著.原子與量子物理學(xué).劉歧元，譯.北京：科學(xué)出版社,1993.241～243

5 郭奕玲.斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn), 大學(xué)物理, 1984，3(10): 27～30

6 寧長春，汪亞平，胡海冰，等.斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)歷史概述.大學(xué)物理, 2016,35(3):43～49

7 吳榕生.斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)中原子受力的分析.大學(xué)物理,1986(2):5～7

8 郭大鈞.大學(xué)數(shù)學(xué)手冊.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社,1985.70～73

Highlights:The existence and specific properties of the equivalent linear fixed points,for the parabolic deflection about the moving path of a point charge in a uniform electric field, and an atom with magnetic moment in a non-uniform magnetic field, were thrown light on, and a unified deflection formula was also deduced.

AGeometricLemmaandtheEquivalentLinearFixedPointofParabolicDeflection

ZhouGuoquan

(SchoolofPhysicsandTechnology,WuhanUniversity,Wuhan,Hubei430072)

parabola;electric deflection;magnetic deflection,fixed point;Stern-Gerlach experiment;deflection formula

*高等學(xué)校電動力學(xué)課程教學(xué)研究項(xiàng)目,項(xiàng)目編號:JZW-16-DD-15

周國全(1965- )男，博士，副教授,從事大學(xué)物理與理論物理教學(xué)工作, 非線性可積方程與場論研究.

2017-02-16)