一種改進人工蜂群的分數(shù)階PID控制器優(yōu)化算法

胡海濤，高 嵩，陳超波，曹 凱

(西安工業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，西安 710021)

一種改進人工蜂群的分數(shù)階PID控制器優(yōu)化算法

胡海濤，高 嵩，陳超波，曹 凱

(西安工業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，西安 710021)

針對分數(shù)階PID控制器參數(shù)整定過程參數(shù)多復(fù)雜性大,傳統(tǒng)靠經(jīng)驗試湊的方法不易實現(xiàn)且優(yōu)化效果差的問題，提出了一種改進的人工蜂群算法，實現(xiàn)分數(shù)階PID控制器參數(shù)的整定;該算法通過改進人工蜂群算法中搜索方程，并引入一個淘汰機制，對分數(shù)階控制器參數(shù)進行群智能搜索，將搜索到的參數(shù)送至分數(shù)階PID控制器中反復(fù)迭代，以帶有權(quán)值的誤差絕對值積分指標(AIE)作為人工蜂群尋優(yōu)的目標函數(shù)，最后得出控制器;本文以非線性系統(tǒng)為被控對象，經(jīng)過實例仿真，驗證了該算法實現(xiàn)的控制器比傳統(tǒng)整數(shù)階控制器和未改進的人工蜂群算法實現(xiàn)的分數(shù)階控制器的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能都有所提高，在超調(diào)、上升時間、振蕩性方面都優(yōu)于未改進算法。

人工蜂群算法；分數(shù)階；控制；最優(yōu)化

0 引言

分數(shù)階系統(tǒng)比整數(shù)階可以更精確的描述很多自然現(xiàn)象和現(xiàn)實過程，分數(shù)階控制器的控制效果也比整數(shù)階更具柔性，控制范圍也從整數(shù)階點狀網(wǎng)格擴展到面狀[1]。憑借在機械化工、自動化控制領(lǐng)域等有著整數(shù)階不可比擬的性能，近年來被廣泛應(yīng)用在PID控制器中。文獻[2]提出的分數(shù)階PID控制器設(shè)計方法，證明了分數(shù)階控制器在動態(tài)性能等方面效果比整數(shù)階好。文獻[3]研究了分數(shù)階非線性系統(tǒng)控制具有穩(wěn)定性。然而分數(shù)階系統(tǒng)的數(shù)字實現(xiàn)一直是一個難點，根據(jù)分數(shù)階定義公式直接計算非常困難，因而出現(xiàn)了多種多樣的近似方法，有直接近似法、連分式近似法、Carlson近似法等多種常用的似方法中，在這些方法中改進Oustaloup近似方法效果較好且易于數(shù)字實現(xiàn)，故得到廣泛的應(yīng)用。文獻[4]給出了一種Oustaloup近似方法的數(shù)學(xué)分析和數(shù)字實現(xiàn)推導(dǎo)過程。文獻[5]給出了分數(shù)階系統(tǒng)和分數(shù)階PID控制器數(shù)值求解過程和MATLAB實現(xiàn)方法。雖然這些方法可以實現(xiàn)分數(shù)階PID控制器，通過多引入了λ和μ兩個參數(shù)，使控制器參數(shù)整定范圍變大，控制效果也更好，但分數(shù)階PID更多的參數(shù)使得控制器參數(shù)的整定和設(shè)計比整數(shù)階更復(fù)雜，傳統(tǒng)的試湊法和靠經(jīng)驗整定參數(shù)變得更加困難。

很多學(xué)者和研究人員開始將智能控制引入分數(shù)階PID控制器的參數(shù)整定中，如遺傳算法、粒子群、蟻群等群智能算法都被相繼應(yīng)用到分數(shù)階系統(tǒng)。文獻[6]提出了一種基于改進粒子群算法的分數(shù)階系統(tǒng)辨識方法。文獻[7]提出了一種基于遺傳算法的分數(shù)階控制器分級整定方法。這些群智能算法加速了分數(shù)階的應(yīng)用和開發(fā)。智能算法中人工蜂群算法作為一種新的算法，自2008年傳入國內(nèi)就得到了廣泛關(guān)注[8]。它是一種基于模擬蜂群采蜜行為而提出的群智能搜索優(yōu)化算法，幾乎能夠很好地處理所有計算機科學(xué)、管理科學(xué)和控制學(xué)科等領(lǐng)域的全局優(yōu)化問題，且其控制參數(shù)少，易于實現(xiàn)，其中文獻[9]和[10]都對人工蜂群做了不同研究，文獻[9]在蜂群迭代過程中引入了OBL策略，提高了收斂速度，文獻[10]提出了一種改進的人工蜂群算法并將其應(yīng)用到整數(shù)階參數(shù)整定中。

本文在以往人工蜂群算法的基礎(chǔ)上，通過引入一個概率調(diào)節(jié)機制和一個淘汰機制分別對其搜索方程和蜜源更新概率進行改進。改進后的人工蜂群算法結(jié)合改進的Oustaluop近似方法進行數(shù)字實現(xiàn)，最后以一個非線性系統(tǒng)進行仿真分析，證明了改進后的算法全局搜索能力和搜索速度都有所提高。改進后的算法實現(xiàn)的控制器在階躍響應(yīng)下超調(diào)、上升時間、振蕩性等都變小，精度更高，正弦跟蹤曲線也更理想。

1 分數(shù)階PID

1.1 分數(shù)階微積分定義

分數(shù)階微積分中其積分，微分的階次是任意的，故整數(shù)階可以看成是特殊一部分，分數(shù)階可以看成是整數(shù)階的擴展。經(jīng)常用到的分數(shù)階定義有Grunwald-Letnikov定義和Riemann-Liouville定義。

若函數(shù)f可導(dǎo)，其m階微積分Grunwald-Letnikov定義如下：

(1)

Riemann-Liouville分數(shù)階微積分定義中，積分定義：

(2)

微分定義：

(3)

1.2 改進的Oustaloup近似方法

雖然1.1中公式可以較為精確的計算出給定信號的分數(shù)階微積分，但在實際應(yīng)用中不易實現(xiàn)具有很大的局限性。故出現(xiàn)了很多近似方法，其中Oustaloup效果較好。Oustaloup近似方法主要基于對(4)式的近似上。

H(s)=(s/ωμ)a,a∈R+

(4)

(5)

式中，00,d>0。為了提高兩端近似效果，引進了兩個系數(shù)b和d。在頻帶范圍內(nèi)將k(s)進行泰勒級數(shù)展，略去高階項并將其轉(zhuǎn)化為有理傳遞函數(shù)的形式有:

(6)

式中,-N為第k個零點，N為第k個極點。

改進后的Oustaloup近似方法在整個近似頻段內(nèi)都能達到一定要求而且一定程度上提高了近似的準確度。

1.3 分數(shù)階PID控制器

目前的分數(shù)階控制器主要有：分數(shù)階PID控制器，TID控制器，CRONE控制器和超前滯后矯正補償器等4種，應(yīng)用最廣泛的是Podlubny提出的分數(shù)階PID控制器，與整數(shù)階相比它引入了兩個可變參數(shù)，使其控制范圍更廣，無論在目標跟蹤還是擾動特性、魯棒性方面的控制性能更加優(yōu)良。其傳遞函數(shù)表達式為：

(7)

故構(gòu)成分數(shù)階控制器模型如圖1。

圖1 分數(shù)階控制器模型

2 人工蜂群算法及改進

2.1 人工蜂群算法

人工蜂群算法將不同行為蜜蜂分為三類：采蜜蜂、觀察蜂、偵查蜂，其中采蜜蜂和觀察蜂數(shù)量相同且等于蜜源數(shù)量，可認為其各占整個蜂群數(shù)量的一半；采蜜蜂負責(zé)尋找蜜源并記憶信息與觀察蜂分享蜜源信息，觀察蜂在舞蹈區(qū)等待選擇要采蜜的蜜源，放棄原先蜜源的采蜜蜂轉(zhuǎn)變?yōu)閭刹榉潆S機尋找新蜜源。

蜜蜂在選擇蜜源過程中根據(jù)一概率值：

(8)

選擇蜜源。其中fiti是解Xi的適應(yīng)度值；xi(i=1,2,…，SN)是一個D維向量，D為優(yōu)化參數(shù)個數(shù)；SN為種群中解的個數(shù)。在每次選擇中無論適應(yīng)度值結(jié)果如何，都以相同權(quán)值計入，那些結(jié)果很差的值對挑選好的蜜源產(chǎn)生著很大影響。

蜜蜂根據(jù)原蜜源產(chǎn)生新候選密源的迭代公式：

vij=xij+φij(xij-xkj)

(9)

其中:k為不同于i的蜜源，j為隨機選擇的下標,φij為[-1,1]之間的隨機數(shù)。這樣φij無論在搜索前期還是后期都隨機的產(chǎn)生一個隨機數(shù)，這種以輪盤賭選擇法來選擇蜜源前期容易陷入局部解、后期容易過早收斂，而且搜索精度只能控制在一定范圍。

2.2 較差結(jié)果淘汰機制

本文根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)的結(jié)果對較差值的權(quán)值進行修改，結(jié)果值越差權(quán)值越小，這樣就可以對結(jié)果進行篩選，蜜源選擇概率修改如下：

(10)

2.3 搜索方程改進

本文針對原來人工蜂群中以輪盤賭選擇法以隨機概率選擇蜜源容易出現(xiàn)陷入局部解、過早收斂等問題提出了一種概率機制，通過改進隨機選擇機制，改進搜索方程。

以上次迭代最優(yōu)蜜源為中心，以隨機數(shù)選擇一個新地點，同時對隨機數(shù)進行約束。將新選擇地點與原蜜源差值以隨機權(quán)值在原蜜源上疊加得到新蜜源。表達式如下：

vij=xbest,j+φi,j(xbest,j-xk,j)

(11)

3 改進人工蜂群算法的PIλDμ控制器

3.1 算法設(shè)計原理

首先初始一個蜂群，設(shè)置參數(shù)范圍和最大循環(huán)次數(shù)等值防止陷入死區(qū)。然后將蜂群進行迭代，將本次迭代的最優(yōu)結(jié)果帶入分數(shù)階PID控制器中，以帶有權(quán)值的AIE(Integral of absolute error)指標作為改進人工蜂群算法目標函數(shù)和適應(yīng)度值，并對新產(chǎn)生的值做貪婪選擇，進入下一輪迭代，產(chǎn)生新解，直至循環(huán)結(jié)束。

本文中以帶有權(quán)值的誤差絕對值積分指標AIE作為改進人工蜂群算法目標函數(shù),表達式如下：

(12)

式(12)中在目標函數(shù)中加入控制輸入的平方項目的是為了防止控制能量過大。e(t)為系統(tǒng)誤差，u(t)為控制器輸出，tu為上升時間，w1,w2,w4,w3為權(quán)值。為了避免超調(diào)，采用了罰函數(shù)功能，如果e(t)<0,目標函數(shù)變?yōu)椋?/p>

(13)

3.2 控制器算法迭代步驟

1)設(shè)定PIλDμ各參數(shù)(kp，ki，kd，λ，μ)范圍，蜂群大小，目標函數(shù)，并隨機產(chǎn)生初始蜂群，計算各解適應(yīng)度，記錄最優(yōu)解；

2)設(shè)置循環(huán)次數(shù)；

3)采蜜蜂根據(jù)式(11)鄰域搜索；產(chǎn)生新的PIλDμ各參數(shù)值；

4)觀察蜂根據(jù)式(10)選擇食物源，并根據(jù)式(11)搜索產(chǎn)生新解；

5)將新得到的參數(shù)帶入PIλDμ控制器，并運行系統(tǒng)得到輸出，根據(jù)輸出，及誤差計算適應(yīng)度值；

6)對要放棄解，根據(jù)偵查蜂搜索公式產(chǎn)生新解替換原解；

7)記錄最優(yōu)解；

8)循環(huán)次數(shù)加1，如果未到達設(shè)定最大值，轉(zhuǎn)至3)。

4 仿真結(jié)果與分析

為了驗證本文改進算法的優(yōu)越性，以一個復(fù)雜的非線性系統(tǒng)進行PID控制器參數(shù)整定,并繪出單位階躍和正弦響應(yīng)曲線。蜂群算法中取最大迭代循環(huán)次數(shù)N=500，蜂群大小NP=20，選擇被控對象如下：

(14)

將其用帶延遲的降階模型逼近有：

Gr(s)=0.1836e-0.827s/(s+0.18326)

(15)

取采樣時間為1s，輸入信號為單位階躍，本文目標函數(shù)中選Kp范圍為[0,20]，Ki，Kd，范圍為[0,1]，取w1=0.999，w2=0.001，w3=2.0，w4=100。分別用改進后的蜂群算法實現(xiàn)的分數(shù)階控制器和未改進算法實現(xiàn)的控制器對其進行作用，對輸出結(jié)果呢進行比較。

系統(tǒng)在單位階躍輸入下，仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 改進前后控制效果對比圖

從圖2中可以看出改進后的人工蜂群算法整定的控制器在階躍信號下響應(yīng)曲線比未改進算法的控制曲線超調(diào)更小，振蕩性更小，而且更快的趨于穩(wěn)定。相比于整數(shù)階控制器的器控制效果，超調(diào)量和穩(wěn)定時間也都更小，精度更高。

表1 系統(tǒng)分別在不同算法下參數(shù)整定值

kp,ki,kd,λ,μ——分數(shù)階控制器各參數(shù)，td——迭代時間，GlobalMin——最優(yōu)目標值

從表1中可以看出，分數(shù)階控制器目標值(誤差)小于整數(shù)階；改進后算法實現(xiàn)的控制器的目標值小于未改進算法實現(xiàn)的控制器，而且迭代時間更短。

圖3給出了改進算法代價函數(shù)值J的優(yōu)化過程在正弦信號輸入下，改進后算法實現(xiàn)的控制器和未改進的系統(tǒng)位置跟蹤仿真結(jié)果如下：

圖3 改進算法代價函數(shù)值優(yōu)化過程

圖4和圖5為初始值取0.5的偏差時的正弦響應(yīng)結(jié)果。從圖中可以看出，改進前正弦跟蹤誤差曲線在起初有大的偏離外，一直都存在波動誤差。改進后算法跟蹤誤差則逐漸趨于零。故改進后算法正弦響應(yīng)下的的位置跟蹤結(jié)果比未改進的結(jié)果更優(yōu)良。

圖4 未改進算法的正弦響應(yīng)跟蹤曲線及誤差曲線

圖5 改進后算法的正弦響應(yīng)跟蹤曲線及誤差曲線

圖6、圖7為初始值無偏差時正弦響應(yīng)結(jié)果。可以看出即使在無偏差跟蹤中，未改進算法的正弦跟蹤誤差跟改進后算法相比還是一直存在。

圖6 改進后算法的正弦響應(yīng)跟蹤曲線及誤差曲線

圖7 未改進算法的正弦響應(yīng)跟蹤曲線及誤差曲線

5 結(jié)束語

分數(shù)階控制器參數(shù)多，設(shè)計更靈活，整定也更加困難。本文提出的改進的人工蜂群算法，通過引入優(yōu)勝劣汰機制和對搜索方程的改進，來提高對參數(shù)搜索的效率和精度。最后結(jié)合改進的Oustaluop近似方法，數(shù)字實現(xiàn)了該控制過程。通過MATLAB仿真實驗，分別以改進前和改進后算法實現(xiàn)的控制器以及整數(shù)階控制器在階躍響應(yīng)輸出，以及誤差曲線分析，證明了改進后的算法實現(xiàn)的控制器在階躍響應(yīng)下的超調(diào)、穩(wěn)定時間、振蕩性方面都要優(yōu)于未改進的算法；在正弦響應(yīng)下改進的算法的跟蹤誤差也基本趨進于零。從另一方面證明改進后的算法全局搜索能力，搜索精度都有所提高。

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An Improved Artificial Colony Optimized Algorithm for Fractional-Order PID Controller

Hu Haitao,Gao Song,Chen Chaobo,Cao Kai

(Xi’an Technological University,Xi’an 710021,China)

It is complicated to set parameters of fractional order PID controller, the optimization results from traditional method are not only difficult to achieve but poor, so this paper put forward an improved artificial colony algorithm to complete the fractional order PID controller’s parameter setting. First, improving the searching equation and adding an elimination mechanism in artificial colony algorithm to achieve parameters’ intelligent searching. Next those parameters will be sent to the fractional order PID controller and then repeat forementioned process. Meanwhile, using the integral of absolute error index (AIE) with weights as the objective function. Finally the controller can be concluded. This paper used a nonlinear system as a controlled object, by simulation and analysis, proved the controller’ performance of improved algorithm is more better in dynamic and steady-state than the controller of traditional integer order and the controller without improved artificial colony algorithm.In addition, this new algorithm we proposed is better than not improved algorithm in the aspect of maximum overshoot, rise time and oscillation.

artificial bee colony algorithm; fractional order; optimization

2017-01-18；

2017-02-27。

陜西省教育廳科研計劃項目(16JF013)；陜西省工業(yè)科技攻關(guān)計劃項目(2016GY-032)；西安工業(yè)大學(xué)校長基金(XAGDXJJ15014)。

胡海濤(1992-)，男，陜西西安人，碩士研究生，主要從事系統(tǒng)工程理論及應(yīng)用方向的研究。

高 嵩(1966-)，男，陜西西安人，博士，教授，碩士研究生導(dǎo)師，主要從事智能控制和多傳感器信息融合方向的研究。

1671-4598(2017)07-0098-04

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2017.07.025

TP301.6

A

陳超波(1978-)，男，浙江寧波人，副教授，碩士研究生導(dǎo)師，主要從事智能控制和計算機控制方向的研究。