單側(cè)限位懸臂梁碰撞系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)研究?

朱媛 張磊 宋漢文

（同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092）

單側(cè)限位懸臂梁碰撞系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)研究?

朱媛 張磊 宋漢文?

（同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092）

對(duì)構(gòu)造的單邊碰撞懸臂梁系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的定性研究，在基礎(chǔ)激勵(lì)實(shí)驗(yàn)中，變換多次激勵(lì)頻率，通過(guò)加速度傳感器測(cè)量懸臂梁測(cè)點(diǎn)的響應(yīng)信號(hào)，并通過(guò)力傳感器測(cè)量得到限位器與柔性懸臂梁之間的碰撞力.通過(guò)Matlab軟件對(duì)實(shí)測(cè)響應(yīng)的時(shí)、頻域分析處理，觀察到系統(tǒng)復(fù)雜的周期、概周期、混沌等多種運(yùn)動(dòng)形式，并發(fā)現(xiàn)其中運(yùn)動(dòng)形式變化的區(qū)間存在突變.嘗試對(duì)實(shí)驗(yàn)時(shí)域數(shù)據(jù)計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)，以進(jìn)一步驗(yàn)證其中混沌的存在，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了混沌響應(yīng)下末端加速度響應(yīng)與碰撞力的傳遞函數(shù)具有頻響函數(shù)特征.實(shí)驗(yàn)研究體現(xiàn)了非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，也對(duì)分析應(yīng)用混沌運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果提供了一個(gè)新視角.

非線性振動(dòng)， 懸臂梁， 單邊碰撞， 周期運(yùn)動(dòng)， 混沌運(yùn)動(dòng)

引言

在實(shí)際工程系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)工作中，機(jī)械系統(tǒng)內(nèi)某個(gè)零部件之間或者零部件與邊界間發(fā)生碰撞沖擊是十分常見(jiàn)的，例如蒸汽渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)中換熱管與支撐板的碰撞振動(dòng)，航天器伸展系統(tǒng)關(guān)節(jié)處間隙導(dǎo)致碰撞的發(fā)生，這類(lèi)碰撞運(yùn)動(dòng)一般由多參數(shù)控制，而且具有不連續(xù)突變性和強(qiáng)非線性，一方面會(huì)造成機(jī)械部件的疲勞損傷，在文獻(xiàn)［1］中列舉了許多具有實(shí)際應(yīng)用意義的研究實(shí)例，另一方面也會(huì)造成系統(tǒng)控制運(yùn)轉(zhuǎn)的誤差.為了優(yōu)化設(shè)計(jì)這類(lèi)碰撞機(jī)械系統(tǒng)，對(duì)其碰撞的動(dòng)力學(xué)行為的全面了解就格外重要.因而上世紀(jì)80年代起國(guó)內(nèi)外學(xué)者就開(kāi)始將其作為一種重要的物理系統(tǒng)進(jìn)行研究，為進(jìn)一步采用理論建模和數(shù)值仿真來(lái)構(gòu)建不同的碰撞模型，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)并來(lái)觀察驗(yàn)證其中蘊(yùn)含的豐富復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性顯得格外重要.Moon和Shaw［2］通過(guò)調(diào)整基礎(chǔ)正弦激勵(lì)幅值和頻率等參數(shù)，在柔性梁末端置放限位器碰撞模型中觀察到非周期或混沌的運(yùn)動(dòng)形式，Thompson和Bishop［3］同樣建立懸臂梁末端限位器的碰撞模型，測(cè)量運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的同時(shí)用力傳感器測(cè)得碰撞力，調(diào)整激勵(lì)頻率，并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果繪制相圖和響應(yīng)功率譜分析，通過(guò)分岔圖的分析觀察到了單周期到混沌的分岔過(guò)程，Thompson［4］還從實(shí)驗(yàn)中觀察到了倍周期分岔現(xiàn)象.Wiercigroch［5］等設(shè)計(jì)對(duì)單一質(zhì)量塊上下安裝柔性梁作為碰撞發(fā)生的限位器，通過(guò)調(diào)整限位器與質(zhì)量塊的間隙，外激勵(lì)幅值等參數(shù)得到不同的周期諧波碰撞，次諧波碰撞和混沌運(yùn)動(dòng)，并在文獻(xiàn)［6］中對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)做功率譜分析并觀察到了混沌現(xiàn)象.Piiroinen［7］研究了鐘擺碰撞實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，觀察到了其中的多周期運(yùn)動(dòng)形式和擦邊分岔.Hinrich［8］對(duì)傳送帶上集中質(zhì)量塊的摩擦碰撞現(xiàn)象進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，Virgin［9］則以帶有凹形軌道上的小球?yàn)閷?shí)驗(yàn)對(duì)象，研究其在運(yùn)動(dòng)中與軌道擋板上的碰撞運(yùn)動(dòng)形 式.Blazejczyk-Okolewska 和 Peterka［10，11］發(fā)現(xiàn)在碰撞過(guò)程中出現(xiàn)的混沌吸引子的突變和間斷，Chin W和Nordmark［12-14］分析得到了不同形式的擦邊分岔.金棟平［15］等設(shè)計(jì)了兩柔性梁碰撞實(shí)驗(yàn)來(lái)研究碰撞振動(dòng)類(lèi)型，在實(shí)驗(yàn)中觀察到亞諧、超諧、概周期、混沌以及諧碰撞與混沌共存的運(yùn)動(dòng)類(lèi)型，還發(fā)現(xiàn)類(lèi)似“頻率鎖定”的碰撞振動(dòng)，曹妍妍［16］根據(jù)航天器內(nèi)部設(shè)備的間隙減振機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，得到各種不同的周期混沌狀態(tài).

本文的研究對(duì)象是帶有單側(cè)限位器懸臂梁碰撞系統(tǒng)，繼承文獻(xiàn)［17］中的工作，在實(shí)驗(yàn)中對(duì)設(shè)計(jì)的模型系統(tǒng)施加基礎(chǔ)正弦激勵(lì)，采集碰撞力以及懸臂梁末端加速度時(shí)域信號(hào).重點(diǎn)觀察分析懸臂梁在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與限位器不斷發(fā)生碰撞，整個(gè)系統(tǒng)表現(xiàn)出強(qiáng)非線性現(xiàn)象.通過(guò)繪制懸臂梁測(cè)點(diǎn)的時(shí)域響應(yīng)以及相圖和龐加萊截面可以發(fā)現(xiàn)其豐富的動(dòng)力學(xué)行為，分析對(duì)比各種不同的周期和混沌響應(yīng)形式，并通過(guò)對(duì)響應(yīng)的時(shí)域數(shù)據(jù)相空間重構(gòu)計(jì)算李雅普諾夫來(lái)驗(yàn)證混沌的存在.進(jìn)一步對(duì)周期運(yùn)動(dòng)和混沌形式的實(shí)驗(yàn)響應(yīng)分別做加速度信號(hào)的頻率功率譜分析，發(fā)現(xiàn)各自能量的不同分布特點(diǎn).并通過(guò)分別計(jì)算周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相干函數(shù)和傳遞函數(shù)等發(fā)現(xiàn)其不同特征.

1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

1.1 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

為了得到更好的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，本文設(shè)計(jì)了如圖1的簡(jiǎn)化懸臂梁碰撞系統(tǒng)，選用質(zhì)量60g的輕質(zhì)均勻彈性不銹鋼梁，楊氏模量209Gpa，幾何尺寸通過(guò)實(shí)際測(cè)量得長(zhǎng)280mm，寬30mm，厚度1mm.實(shí)驗(yàn)開(kāi)始前將梁的上端由夾具螺栓固定在豎板上部，豎板底部與基礎(chǔ)通過(guò)螺栓相連，懸臂梁可以在水平基礎(chǔ)激勵(lì)方向自由運(yùn)動(dòng)，為記錄其運(yùn)動(dòng)情況，在其末端處左右對(duì)稱(chēng)位置分別附有質(zhì)量為0.95g的加速度傳感器，同時(shí)作為懸臂梁末端的集中質(zhì)量考慮.

圖1 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ虵ig.1 Experimentalmodel

實(shí)驗(yàn)中通過(guò)激振器對(duì)模型整體施加水平正弦定頻激勵(lì)y＝Asin（ωt），其中A為基礎(chǔ)位移幅值，ω為激勵(lì)頻率．模型可以通過(guò)限位器裝置調(diào)整改變懸臂梁碰撞點(diǎn)位置η和限位器與碰撞點(diǎn)水平間隙δ的大?。呡迹?8］通過(guò)對(duì)雙邊限位懸臂梁進(jìn)行動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)，分析了碰撞點(diǎn)位置，激勵(lì)頻率，限位器間隙寬度等對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的影響．為重點(diǎn)研究不同外激勵(lì)頻率下系統(tǒng)響應(yīng)的特征，實(shí)驗(yàn)中選擇將圖1中限位器與懸臂梁碰撞點(diǎn)的間隙δ取為零的臨界情況.這樣在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中懸臂梁每次運(yùn)動(dòng)到平衡位置處都會(huì)與限位器發(fā)生碰撞，從而使簡(jiǎn)單的線性懸臂梁系統(tǒng)成為本構(gòu)非線性模型.另外實(shí)驗(yàn)借鑒了Thompson［11］做法，在限位器端部通過(guò)安裝Kistler力傳感器與懸臂梁發(fā)生碰撞，為了加強(qiáng)碰撞作用，實(shí)驗(yàn)選用鋼制頭，用力傳感器測(cè)量記錄了每次碰撞發(fā)生限位器與柔性梁之間的碰撞力，通過(guò)對(duì)碰撞力時(shí)域和頻域的分析可以更好地認(rèn)識(shí)理解碰撞發(fā)生的運(yùn)動(dòng)過(guò)程和規(guī)律.

1.2 實(shí)驗(yàn)方案及步驟

為了更準(zhǔn)確地測(cè)量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，我們?cè)O(shè)計(jì)了如圖2的實(shí)驗(yàn)流程，本次實(shí)驗(yàn)測(cè)試設(shè)備主要有電磁式振動(dòng)臺(tái)（Labworks Model ET-139）、功率放大器（Labworks Model PA-141）、振動(dòng)控制器（M+P振動(dòng)控制（VXICT-100C））、加速度傳感器（上海標(biāo)智14026型IEPE傳感器）和力傳感器（Kistler 9712B500）.

圖2 實(shí)驗(yàn)流程Fig.2 Experiment flowchart

在實(shí)驗(yàn)中選擇使用M+P振動(dòng)控制設(shè)備給激振器提供正弦激勵(lì)信號(hào).M+P振動(dòng)控制器通過(guò)實(shí)時(shí)采集在水平滑臺(tái)側(cè)方安裝的加速度傳感器信號(hào)，并將其與激勵(lì)信號(hào)比較進(jìn)行反饋從而實(shí)現(xiàn)加速度恒幅控制.具體實(shí)驗(yàn)操作包括以下兩部分:

（1）通過(guò)錘擊法對(duì)無(wú)碰撞發(fā)生的帶有集中質(zhì)量的懸臂梁模型進(jìn)行模態(tài)實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)中保證懸臂梁上端與豎板通過(guò)夾具緊密固定邊界條件不變，同時(shí)選擇之后正弦激勵(lì)實(shí)驗(yàn)中懸臂梁發(fā)生碰撞的位置處作為錘擊位置，得到系統(tǒng)前4階模態(tài)參數(shù)；

（2）在距離懸臂梁末端η＝6cm高度處固定安裝限位器，對(duì)模型整體進(jìn)行定頻正弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)中控制振動(dòng)臺(tái)激勵(lì)的幅值為2m／s2，激勵(lì)頻率從3Hz到150Hz變化，頻率間隔為1Hz，總共有148個(gè)單次實(shí)驗(yàn)，這其中包括了無(wú)碰撞懸臂梁模型的前三階固有頻率:6Hz，46Hz，140Hz.另外，為保證得到每個(gè)激勵(lì)頻率作用時(shí)模型穩(wěn)態(tài)時(shí)的非線性響應(yīng)，排除掉瞬態(tài)響應(yīng)的影響，每個(gè)單次實(shí)驗(yàn)記錄120s.由于本次實(shí)驗(yàn)中碰撞時(shí)間非常短且發(fā)生密集，為了充分捕捉到完整的碰撞信號(hào)，采集過(guò)程中將采樣頻率取為2048Hz.

同時(shí)要注意的是實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭械膽冶哿荷喜颗c夾具用兩排螺栓固定，以減小實(shí)驗(yàn)過(guò)程中強(qiáng)烈碰撞造成的位移誤差［16］，并保證全部實(shí)驗(yàn)過(guò)程中邊界條件不變.

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

2.1 無(wú)碰撞發(fā)生的懸臂梁模態(tài)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在無(wú)碰撞發(fā)生時(shí)，懸臂梁模型為線性系統(tǒng)，通過(guò)模態(tài)實(shí)驗(yàn)得到的前4階固有頻率和阻尼比如表1所示，同時(shí)表1中我們也列出將實(shí)際物理參數(shù)代入等截面梁橫向彎曲自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程得到的懸臂梁固有頻率理論值，對(duì)比發(fā)現(xiàn)理論值和實(shí)驗(yàn)值在前3階有非常好的對(duì)應(yīng)，第4階固有頻率的誤差雖然相較前3階的誤差較大，但總體說(shuō)來(lái)其相對(duì)誤差（約2%）比較小，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可靠.

表1 帶集中質(zhì)量懸臂梁系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)Table 1 Modal parameters of the cantilever beam system with lumped mass

2.2 碰撞發(fā)生懸臂梁系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為分析

受篇幅限制，這里僅選取幾個(gè)實(shí)驗(yàn)振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果中比較有代表性的幾組列出，并將記錄加速度時(shí)域信號(hào)進(jìn)行積分計(jì)算得到位移和速度響應(yīng)，從而通過(guò)龐加萊映射、譜分析等時(shí)域頻域分析處理，觀察總結(jié)到一些現(xiàn)象和規(guī)律.

首先發(fā)現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)碰撞結(jié)果中出現(xiàn)了多種周期運(yùn)動(dòng)形式，區(qū)別于非碰撞懸臂梁系統(tǒng)的第一階固有頻率6Hz，發(fā)現(xiàn)在11Hz及其倍頻上響應(yīng)均為周期形式.為了方便識(shí)別周期特征，對(duì)時(shí)間軸作歸一化處理，即 t／Tf，其中 Tf為外激勵(lì)周期．用 k＝p／n 定義周期運(yùn)動(dòng)特征，p表示限位器與懸臂梁發(fā)生碰撞的次數(shù)，n表示外激勵(lì)周期數(shù).首先觀察到在外激勵(lì)頻率為11Hz時(shí)，如圖3（a）中分別用紅色和藍(lán)色曲線代表懸臂梁末端和振動(dòng)臺(tái)的位移時(shí)域響應(yīng)，圖（b）記錄了每次碰撞發(fā)生時(shí)力傳感器的測(cè)量時(shí)域數(shù)據(jù)，由此觀察到在每個(gè)外激勵(lì)周期發(fā)生一次碰撞，取時(shí)間歷程60s到120s穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，繪制相圖（c），同時(shí)按每相鄰整數(shù)倍個(gè)外激勵(lì)周期Tf（Tf＝2π／ω）觀察時(shí)程曲線得到龐加萊截面，如圖（d）所示，系統(tǒng)作單周期運(yùn)動(dòng)，可記為1／1.同理發(fā)現(xiàn)在11Hz倍頻附近22Hz，34Hz，45Hz處有不同形式的周期運(yùn)動(dòng)，如圖4，5，6所示，各自運(yùn)動(dòng)響應(yīng)形式分別記為 1／2，1／3，1／4.除此之外，實(shí)驗(yàn)中也發(fā)現(xiàn)了在懸臂梁末端一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)中碰撞兩次的形式，如圖7，8，9 所示，分別為外激勵(lì)頻率在 12Hz，33Hz，48Hz 的結(jié)果，可分別記為 2／2，2／6，2／8.另外在11Hz及其倍頻處，懸臂梁集中質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)位移和速度響應(yīng)相比各自附近其他頻率下的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)明顯增大，這類(lèi)似于線性系統(tǒng)中在外激勵(lì)頻率等于系統(tǒng)模態(tài)頻率出現(xiàn)的“共振”現(xiàn)象.可以理解11Hz為該非線性系統(tǒng)本身具有的一個(gè)特殊規(guī)律頻率.然而另一方面隨著基礎(chǔ)頻率的增大，這一規(guī)律變得不再明顯，猜想這可能是混入了系統(tǒng)的更高階響應(yīng).

圖3 11Hz實(shí)驗(yàn)結(jié)果（a）懸臂梁末端位移時(shí)域響應(yīng)；（b）碰撞力；（c）相圖；（d）龐加萊截面Fig.3 Experimental results for 11Hz（a） Time-domain displacement response of the free end of the beam；（b） Impact force； （c） Phase figure； （d） Poincare section

圖4 22Hz實(shí)驗(yàn)結(jié)果（a）懸臂梁末端位移時(shí)域響應(yīng)；（b）碰撞力；（c）相圖；（d）龐加萊截面Fig.4 Experimental results for 22Hz（a）Time-domain displacement response of the free end of the beam；（b）Impact force； （c） Phase figure； （d） Poincare section

我們也發(fā)現(xiàn)該非線性系統(tǒng)隨激勵(lì)頻率變化出現(xiàn)的不同運(yùn)動(dòng)響應(yīng)之間存在突變，如圖10所示分別為 19Hz，20Hz，21Hz，23Hz 激勵(lì)下響應(yīng)的相圖，對(duì)比圖4（c）中22Hz的相圖，可以發(fā)現(xiàn)這期間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生了突變，且有通往混沌的可能.這證明非線性系統(tǒng)中對(duì)于基礎(chǔ)激勵(lì)頻率的參數(shù)變化十分敏感，但遺憾的是實(shí)驗(yàn)中基礎(chǔ)激勵(lì)頻率變化的分辨率為1Hz，未能觀察到關(guān)于突變更為細(xì)致的變化形式.

圖5 34Hz實(shí)驗(yàn)結(jié)果（a）懸臂梁末端位移時(shí)域響應(yīng)；（b）碰撞力Fig.5 34Hz Experimental results（a）Displacement time response of the free end of the beam；（b）Impacting force

圖6 45Hz實(shí)驗(yàn)結(jié)果（a）懸臂梁末端位移時(shí)域響應(yīng)；（b）碰撞力Fig.6 Experimental results for 45Hz（a） Time-domain displacement response of the free end of the beam；（b） Impact force

圖7 12Hz實(shí)驗(yàn)結(jié)果（a）懸臂梁末端位移時(shí)域響應(yīng)；（b）碰撞力Fig.7 Experimental results for 12Hz（a）Time-domain displacement response of the free end of the beam；（b）Impact force

圖8 33Hz實(shí)驗(yàn)結(jié)果（a）懸臂梁末端位移時(shí)域響應(yīng)；（b）碰撞力Fig.8 Experimental results for 33Hz（a）Time-domain displacement response of the free end of the beam；（b）Impact force

圖9 48Hz實(shí)驗(yàn)結(jié)果（a）懸臂梁末端位移時(shí)域響應(yīng) （b）碰撞力Fig.9 Experimental results for 48Hz（a） Time-domain displacement response of the free end of the beam；（b） Impact force

圖10 不同外激勵(lì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較（a）19Hz實(shí)驗(yàn)結(jié)果相圖；（b）20Hz實(shí)驗(yàn)結(jié)果相圖；（c）21Hz實(shí)驗(yàn)結(jié)果相圖；（d）23Hz實(shí)驗(yàn)結(jié)果相圖Fig.10 Comparison of different experimental results（a） Phase figure for 19Hz；（b） Phase figure for 20Hz；（c） Phase figure for 21Hz；（d） Phase figure for 23Hz

另外我們?cè)趯?shí)驗(yàn)結(jié)果中也發(fā)現(xiàn)了在一些外激勵(lì)頻率下出現(xiàn)的概周期響應(yīng)形式，如圖11，12所示，外激勵(lì)分別為100Hz，111Hz的懸臂梁末端位移和相圖，可以發(fā)現(xiàn)在時(shí)間位移歷程圖中有明顯的包絡(luò)線.

圖11 懸臂梁末端位移時(shí)域響應(yīng)（a） 100Hz； （b） 111HzFig.11 Time-domain displacement response of the free end of the beam（a） 100Hz；（b） 111Hz

圖12 相圖 （a）100Hz；（b） 111HzFig.12 Phase figure for（a） 100Hz and （b） 111Hz

此外，我們選取外激勵(lì)頻率等于無(wú)限位器懸臂梁第一階模態(tài)固有頻率6Hz和74Hz的情況，圖3-13（a），3-14（a）分別為兩種情況下懸臂梁末端加速度、碰撞力以及控制振動(dòng)臺(tái)的正弦激勵(lì)幅值時(shí)間歷程圖，這里僅取2s時(shí)段，觀察到在周期正弦激勵(lì)下系統(tǒng)響應(yīng)呈現(xiàn)非周期性.隨著碰撞的發(fā)生，測(cè)到碰撞力的同時(shí)發(fā)現(xiàn)懸臂梁末端加速度系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)生突變，進(jìn)一步繪制相圖，如圖 3-13（b），3-14（b），龐加萊截面如圖 3-13（c），3-14（c），形成了一些成片的密集點(diǎn)，可以初步驗(yàn)證混沌的存在.

之后我們考察不同響應(yīng)形式在頻域中的能量分布情況，首先對(duì)周期運(yùn)動(dòng)的懸臂梁末端加速度響應(yīng)和碰撞力時(shí)域數(shù)據(jù)做功率譜密度分析，以11Hz，22Hz為例結(jié)果如圖15，每個(gè)激勵(lì)倍頻上都有豎直的細(xì)高峰，使得整體功率譜譜線成梳狀形狀.圖中豎直的紅色虛線同樣標(biāo)注了無(wú)限位器懸臂梁的高階模態(tài)所在頻率，在這些相應(yīng)頻率對(duì)應(yīng)處加速度功率譜中沒(méi)有出現(xiàn)明顯的峰值，力功率譜中也沒(méi)有相應(yīng)谷值.

圖13 6Hz實(shí)驗(yàn)結(jié)果（a）懸臂梁末端加速度，碰撞力，激勵(lì)時(shí)域數(shù)據(jù)；（b）相圖； （c）龐加萊截面Fig.13 Experimental results for 6Hz（a）Time-domain acceleration response of the free end of the beam，impact force and base excitation； （b）Phase figure； （c）Poincare section

進(jìn)一步分別對(duì)圖13，14中混沌響應(yīng)的末端加速度和碰撞力作功率譜分析，發(fā)現(xiàn)功率譜密度曲線有寬譜特征.如圖 16所示，圖（a），（b）分別為外激勵(lì)頻率6Hz和74Hz的結(jié)果，從圖中發(fā)現(xiàn)由于碰撞的發(fā)生在低頻激勵(lì)的響應(yīng)中出現(xiàn)了高頻成分，更多頻率成分開(kāi)始參與到運(yùn)動(dòng)中，圖中豎向虛線部分標(biāo)注的 ω2，ω3，ω4分別為無(wú)限位器懸臂梁的第二、三、四階固有頻率，可以看出兩組加速度功率譜譜線在這些地方有類(lèi)似頻響曲線特征出現(xiàn)的峰值，而在力的功率譜圖中這些地方則出現(xiàn)谷值.另外二者在激勵(lì)頻率的倍頻和分?jǐn)?shù)頻上幅值明顯較大，證明在這些頻率上能量分布較多，但第二階模態(tài)頻率之后這種特征不再明顯.

圖14 74Hz實(shí)驗(yàn)結(jié)果（a）懸臂梁末端加速度，碰撞力，激勵(lì)時(shí)域數(shù)據(jù)；（b）相圖； （c）龐加萊截面Fig.14 Experimental results for 74Hz（a）Time-domain acceleration response of the free end of the beam，impact force and base excitation；（b）Phase figure；（c）Poincare section

圖15 功率譜結(jié)果11Hz加速度功率譜（上）力功率譜（下）Fig.15 Power spectrum results（top） Acceleration power spectrum for 11Hz；（bottom） Impact force power spectrum

圖16 功率譜結(jié)果（a）6Hz加速度功率譜（上）力功率譜（下）；（b）74Hz加速度功率譜（上）力功率譜（下）Fig.16 Power spectrum results（a） （top） acceleration power spectrum for 6Hz，（bottom） impact force power spectrum；（b）（top） acceleration power spectrum for 74Hz，（bottom） impact force power spectrum

2.3 碰撞實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)李雅普諾夫指數(shù)計(jì)算

在非線性動(dòng)力系統(tǒng)的研究中，目前判定其運(yùn)動(dòng)特性最精確的一種工具是Lyapunov指數(shù)譜，它是判斷混沌系統(tǒng)最可靠的一種定量方法.它給出了系統(tǒng)任意相鄰相軌線平均發(fā)散程度或平均收斂程度的一種度量［19］.為了進(jìn)一步驗(yàn)證本實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的混沌響應(yīng)，本文也對(duì)這一指數(shù)作了簡(jiǎn)單的考量.

對(duì)于非線性系統(tǒng)是否存在動(dòng)力學(xué)混沌，往往不需要計(jì)算出所有的Lyapunov指數(shù)，可以從最大Lyapunov指數(shù)是否大于零而非常直觀地判斷出來(lái):一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，意味著在系統(tǒng)相空間中，無(wú)論初始兩條軌線的間距多么小，其差別都會(huì)隨著時(shí)間的演化而成指數(shù)率的增加以致達(dá)到無(wú)法預(yù)測(cè)，這就是混沌現(xiàn)象［20］.目前常用的計(jì)算混沌序列最大Lyapunov指數(shù)的方法以Wolf方法和小數(shù)據(jù)量方法應(yīng)用最為廣泛，也最為實(shí)用.通過(guò)對(duì)時(shí)間序列重構(gòu)相空間，本文分別采用以上兩種方法對(duì)實(shí)驗(yàn)中部分周期運(yùn)動(dòng)（11，33Hz）和混沌運(yùn)動(dòng)（6，74Hz）時(shí)間序列分別計(jì)算了最大Lyapunov指數(shù)，考慮到混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)初始條件的敏感度，本文保證每次實(shí)驗(yàn)在懸臂梁豎直靜止于平衡位置處開(kāi)始施加外激勵(lì)，之后對(duì)比由相同零初始條件實(shí)驗(yàn)下的計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 李雅普諾夫指數(shù)計(jì)算結(jié)果Table 2 Results of Lyapunov exponent

可以發(fā)現(xiàn)兩種方法雖然在計(jì)算結(jié)果上有所不同，但對(duì)于周期和混沌運(yùn)動(dòng)形式上定性的判定是一致的，即在6Hz和74Hz下出現(xiàn)的響應(yīng)形式具有混沌特征.

2.4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)傳遞函數(shù)和相干函數(shù)比較

通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的末端加速度響應(yīng)與碰撞力響應(yīng)做傳遞函數(shù)，結(jié)果如圖17所示，圖中用紅色曲線標(biāo)注了模態(tài)實(shí)驗(yàn)得到的前4階固有頻率對(duì)應(yīng)頻率.可以發(fā)現(xiàn)在周期響應(yīng)下11Hz得到的傳遞函數(shù)毛刺十分多，而且激勵(lì)倍頻特征十分明顯，而混沌響應(yīng)6Hz的傳遞函數(shù)則十分光滑，而且包含準(zhǔn)確的模態(tài)頻率信息，具有模態(tài)實(shí)驗(yàn)中頻響函數(shù)的特征，這為從混沌響應(yīng)中辨識(shí)原始模態(tài)參數(shù)提供可能.

圖17 實(shí)驗(yàn)傳遞函數(shù)（a） 11Hz傳遞函數(shù)； （b） 6Hz傳遞函數(shù)Fig.17 Coherence function（a） Transfer function for11Hz； （b） Transfer function for 6 Hz

在模態(tài)分析中，可以采用相干函數(shù)來(lái)檢驗(yàn)傳遞函數(shù)的有效性.相干函數(shù)是一個(gè)在頻域上描述兩過(guò)程相關(guān)特性的函數(shù)，表示系統(tǒng)輸入與輸出的因果程度，其表達(dá)式為:

式中，GFY表示輸入與輸出的互功率譜密度函數(shù)，GFF表示輸入的自功率譜密度函數(shù)，GYY表示輸出的自功率譜密度函數(shù)．若在某個(gè)頻率上相干函數(shù)為0，說(shuō)明響應(yīng)與激勵(lì)在此頻率上不相關(guān)．相反，如果相干函數(shù)為1，說(shuō)明完全相關(guān)．

由于本實(shí)驗(yàn)中測(cè)量到了每次碰撞發(fā)生時(shí)碰撞力的大小，可以將碰撞力視為對(duì)懸臂梁系統(tǒng)的輸入，將懸臂梁末端加速度作為輸出，這樣通過(guò)計(jì)算得到不同響應(yīng)形式下的相干函數(shù)來(lái)考量碰撞力與懸臂梁末端響應(yīng)的因果程度.我們對(duì)比之前周期（激勵(lì)為11Hz）和混沌（激勵(lì)為6Hz）響應(yīng)下的相干函數(shù)結(jié)果分別如下圖18所示.可以看到圖18（b）中的大部分頻率上，相干函數(shù)趨近于1，說(shuō)明碰撞力信號(hào)與響應(yīng)信號(hào)因果性較好.相干函數(shù)接近于0的頻率，除去在激勵(lì)頻率位置，主要分布在傳遞函數(shù)的峰值上（無(wú)碰撞系統(tǒng)的固有頻率）、谷值上（傳遞函數(shù)的反共振點(diǎn)），這分別是由于傅里葉變換過(guò)程中的泄露現(xiàn)象和系統(tǒng)在反共振點(diǎn)上信噪比較低，而相比于圖18（a）中的周期運(yùn)動(dòng)的相干函數(shù)并不理想.

圖18 相干函數(shù)（a）11Hz相干函數(shù)；（b）6Hz相干函數(shù)Fig.18 Coherence function（a） Coherence function for 11Hz（b） Coherence function for 6 Hz

3 結(jié)論

通過(guò)對(duì)單側(cè)限位器懸臂梁碰撞模型進(jìn)行了一系列固定幅值、不同頻率下的基礎(chǔ)正弦激勵(lì)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含了豐富的碰撞響應(yīng)特征，具有復(fù)雜的非線性行為.

（1） 在激勵(lì)頻率為 11Hz，12Hz，22Hz，33Hz，34Hz，45Hz，48Hz等11倍頻及其附近的實(shí)驗(yàn)結(jié)果中發(fā)現(xiàn)多種周期運(yùn)動(dòng)形式和碰撞規(guī)律，包括1／1，2／2，1／2，2／6，1／3，1／4，2／8 等，且在 11Hz 倍頻激勵(lì)下的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)結(jié)果較其他情況下響應(yīng)較大，從而認(rèn)為11Hz在本文非線性模型中為一個(gè)特殊規(guī)律特征頻率.

（2）在激勵(lì)頻率100Hz，111Hz等情況下出現(xiàn)概周期運(yùn)動(dòng)形式，而且在實(shí)驗(yàn)條件下發(fā)現(xiàn)周期、概周期、混沌等形式之間隨激勵(lì)頻率變化發(fā)生突變.

（3）對(duì)于6Hz，74Hz等激勵(lì)頻響下會(huì)出現(xiàn)的混沌響應(yīng)，通過(guò)計(jì)算最大李雅普指數(shù)作為判據(jù)，并與周期運(yùn)動(dòng)下最大李雅普指數(shù)結(jié)果對(duì)比，定性上得到很好的一致性結(jié)論.

（4）利用實(shí)驗(yàn)所測(cè)的懸臂梁末端加速度響應(yīng)與碰撞力做傳遞函數(shù)，分別繪制比較實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)下碰撞力信號(hào)與懸臂梁末端加速度響應(yīng)的相干函數(shù)，發(fā)現(xiàn)混沌響應(yīng)下的傳遞函數(shù)與模態(tài)試驗(yàn)的頻響函數(shù)有相似特征，為分析利用混沌響應(yīng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提供了新角度.

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DYNAMIC EXPERIMENTAL INVESTIGATION OF AN UNILATERAL IMPACTING CANTILEVER BEAM?

Zhu Yuan Zhang Lei Song Hanwen?
（School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics， Tongji University， Shanghai 200092， China）

Based on a simple model of a cantilever beam with unilateral collision，the nonlinear dynamics of the beam under different frequencies of sinusoidal excitation is studied.The acceleration response of the free end of the cantilever beam and the impact force are measured by accelerometers and forcing transducer，respectively.Periodic，chaotic motions are also observed through the analysis of experimental results in time and frequency domain by Matlab software.It is also found of the mutation between different kinds of motions under different frequencies excitation.The largest Lyapunov exponent is also calculated by the time data of chaotic motions response.Furthermore，the transfer function between the the acceleration of the end of the cantilever beam and the impact force in the chaotic responses are found to be similar with the frequency response function in the modal test.The observation and results of this paper demonstrate the nonlinear dynamics motions，and provide a new horizon for the understanding of chaotic experimental results.

nonlinear vibration， cantilever beam， unilateral impact， periodic motions， chaotic motions

24 June 2016，revised 13 October 2016.

10.6052／1672-6553-2017-061

2016-06-24收到第1稿，2016-10-13收到修改稿.

?國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11272235）

?通訊作者 E-mail:hwsong＠#edu.cn

?The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11272235）

? Corresponding author E-mail:hwsong＠#edu.cn