用三角代換妙解幾道征解題

華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 蔣寶童 (郵編:200241)

安徽省和縣第一中學(xué)(郵編:238200)

用三角代換妙解幾道征解題

華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 蔣寶童 (郵編:200241)

安徽省和縣第一中學(xué)(郵編:238200)

1 問題的提出

《數(shù)學(xué)通訊》問題征解第278題:

2 解法再探究

下面我們將從另一個視角對問題進行分析并解答.

首先,根據(jù)式子特征,要使S最小,易知a、b應(yīng)異號.現(xiàn)不妨將原題等價轉(zhuǎn)化為:

已知a＞0,b＞0,求S＝a2＋b2＋的最小值.

解法1 設(shè)A、B、C為銳角三角形ABC的三個內(nèi)角,a＝cotA,b＝cotB,則－cot(A＋B)＝cotC.令f(x)＝cot2x,x∈,則f″(x)＝2csc2x(csc2x＋2cot2x)＞