去偽存真 再談《弧度制》教學(xué)

華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院 王 樂 熊惠民 (郵編:430079)

去偽存真 再談《弧度制》教學(xué)

華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院 王 樂 熊惠民 (郵編:430079)

弧度制,一直以來都被認(rèn)為是高中數(shù)學(xué)的一個教學(xué)難點.其主要原因是對弧度制引入的必要性缺乏正確的理解.不少人認(rèn)為弧度制的引入使得角的集合與實數(shù)集合建立一一對應(yīng)的關(guān)系,從而將三角函數(shù)可以定義在實數(shù)集上.事實上,無論是弧度制還是角度制,都能在角的集合與實數(shù)集合之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系(例如30°30′的角對應(yīng)實數(shù)30.5);也有人認(rèn)為角度制是60進(jìn)位制,弧度制是10進(jìn)位制,我們一般用的都是10進(jìn)制,所以要學(xué)弧度制.進(jìn)制是人們規(guī)定的一種進(jìn)位方法,對于任何一種n進(jìn)制,就表示某一位置上的數(shù)運算時是逢n進(jìn)一位,對于角度制有1度等于60分,1分等于60秒,可以說它是60進(jìn)位制,但弧度制只有弧度這一種單位,說它是10進(jìn)位制是欠妥的.實際上,弧度制與角度制都是度量角的單位制,本質(zhì)上兩者是一樣的.正如度量長度不僅有米、千米還有厘米、毫米甚至尺、公里等不同單位制;度量重量不僅有克、千克也有斤、公斤、噸、磅等.但是,在微積分創(chuàng)立之后弧度制的引入使得三角函數(shù)的微分公式、積分公式、泰勒公式等相比于普通角度制得到了極大的簡化[1],這使得弧度制成為了高等數(shù)學(xué)的一個必然選擇,這也是弧度制引入的真正意義.然而對于高中生而言,弧度制的學(xué)習(xí)所帶來的便利又是顯而易見的.因此,明確弧度制引入的意義,理清角度制與弧度制的轉(zhuǎn)化關(guān)系,掌握弧度制下弧長與扇形面積的計算公式是本節(jié)課的重中之重.下面提供一個課例以期與讀者共同探討,在中學(xué)數(shù)學(xué)中怎樣教弧度制.

1 教學(xué)實錄

1.1 提出問題

師:同學(xué)們,前面我們學(xué)習(xí)了哪些度量長度的單位?

生:學(xué)習(xí)了千米、米、厘米、毫米、里、公里……

師:那我們還學(xué)習(xí)了哪些度量重量的單位呢?

生:有千克、克、噸、斤、公斤……

師:很好!我們看到度量長度或重量有很多種單位,那么不同的度量單位之間有關(guān)系嗎?

生:有關(guān)系.它們之間可以互相換算.例如,1千米＝1000米＝1公里;1噸＝1000千克.

師:說的很不錯!正是因為這樣,在生活中我們會選擇不同的單位來度量同一事物.

1.2 探究新知

師:對于一個角,我們學(xué)過哪些度量單位呢?

生1:度(°)、分(′)、秒(″).

師:你還記得我們是如何用“度”來度量角的嗎?

生1:把一個周角規(guī)定為360度,它的1/360為1度的角,記做1°,1°＝60′,1′＝60″.

師:說的很好!初中時候我們把用“度、分、秒”作為單位來度量角的制度叫做角度制.同樣的,角的度量也有不同的單位制.今天我們就來學(xué)習(xí)一種新的度量角的單位制——弧度制,即把一個周角規(guī)定為2π弧度(記作2πrad),把用“弧度”作為單位來度量角的制度叫做弧度制.

師:請大家思考一下,角度制和弧度制之間有什么區(qū)別呢?

生:角度制是把一個周角規(guī)定為360°,弧度制是把一個周角規(guī)定為2πrad.

師:很好,這就是它們的差別,也就是說360°可以用2πrad來表示,那么平角等于180°等于多少rad呢?

生2:180°＝πrad.

師:不錯,是πrad,那你是怎么得到的呢?

生2:因為周角就是平角的兩倍,而周角是2πrad,所以180°＝πrad.

師:你們都同意他的看法嗎?

生3:我覺得角度制下周角是平角的兩倍,弧度制下不一定吧.

生4:角度換成弧度只是單位的換算,周角和平角之間的倍數(shù)關(guān)系應(yīng)該是不變的.

師:生3能發(fā)現(xiàn)問題很不錯.實際上這是由于角的可加性,兩個平角構(gòu)成一個周角.單位制的不同并不改變角的可加性,因此180°＝πrad是正確的.

生:根據(jù)上面的分析,兩個直角構(gòu)成一個平角,所以90°＝πrad.

2

師:完全正確.可以看到“度”與“弧度”可以進(jìn)行換算.但這些角都是特殊角,你會計算1°＝rad嗎?你是怎么算的呢?

生5:因為周角是360°＝2πrad,左右兩邊同時除以360就得到rad,將右邊化簡就得到rad.

師:非常好!我現(xiàn)在給你一個任意度的角,你知道它是多少弧度嗎?即若一個角為n°, αrad,那么n與α之間有什么樣的關(guān)系呢?

師:很好!根據(jù)上述公式,我們就可以對任意角進(jìn)行弧度與角度的換算.大家要注意,今后用弧度制表示角時,“弧度”二字或者“rad”通常略去不寫,只寫該角對應(yīng)的弧度數(shù).

例1 將下列角度制與弧度制互化:(略)

(1)75° (2)60°30′ (3)480°

例2 計算下列各式的值:(略)

1.3 拓展創(chuàng)新

師:初中的時候我們學(xué)習(xí)了弧長公式和扇形的面積公式,大家還記得嗎?

生:半徑為r,圓心角為n°的弧長公式和扇形的面積公式分別是:

師:這是建立在角度制上的公式,現(xiàn)在你學(xué)習(xí)了弧度制,你能用弧度表示它們嗎?你準(zhǔn)備怎么做?

生8:上面的公式是角度制公式,現(xiàn)在要轉(zhuǎn)換成弧度制公式,只需要將角度n用弧度來表示就可以.

師:很好.這里的n表示的是角度,現(xiàn)在我們假設(shè)n°＝αrad,那公式變成什么了呢?

師:說的很好!大家還有其它想法嗎?

生10:不用換算也可以,弧度制中的周角是2πrad.αrad的角占了周角的那么它所對的弧長就是,其扇形的面積就是

師:很好!學(xué)以致用,學(xué)了弧度制就要用它,這樣不是更簡單嘛.

師:之前我們將角推廣到了任意角,我們知道角有正角、負(fù)角和零角,通過角度與弧度的互化,我們也看到了弧度數(shù)也有正負(fù)之分,但是弧長與扇形面積都是非負(fù)的,那我們是不是需要把原來的公式稍加改動呢?

師:很好,這樣我們算弧長和扇形面積就不會受到正負(fù)角的影響了.

生11:說明弧度α就是弧長l和半徑r之比.師:能不能說的更通俗一點呢?

生12:說明弧長l等于半徑r的α倍.

師:很好!也就是說弧長l等于α個半徑r.由此我們可以看出弧度α就是用半徑r來度量弧長l.例如,弧長l等于2個半徑r,就說弧度數(shù)為2,即這個角為2rad.那么α＝1說明什么呢?有什么意義呢?

生13:弧度數(shù)α＝1,即弧長等于一個半徑,也就是說此時弧長等于半徑.

師:很好!也就是說1 rad的角就是長度等于半徑長的弧所對的圓心角.如圖,圓O的半徑是r,弧AB的長等于半徑r,那么∠AOB就是1rad的角,這就是1rad的意義.

下面請大家看這道例題:

例3 分別用角度制、弧度制下的弧長公式計算半徑為1m的圓中,60°的圓心角所對的弧的長度.(略)

師:到這里,本節(jié)課的主要內(nèi)容已經(jīng)說完了.請大家思考一下,已經(jīng)有了角度制為什么還需要弧度制呢?

生14:弧度制不用寫單位,更加簡單.

生15:采用弧度制,弧長公式和扇形面積公式簡單多了,計算起來很方便.

師:說得很好,這也正是引入弧度制的原因之一.當(dāng)然,弧度制的引入還有更大的作用,在以后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的時候大家就清楚了.

1.4 課堂小結(jié)

師:通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲、體會和問題?

學(xué)生積極參與討論,主要觀點如下:

(1)我知道了一種新的度量角的制度——弧度制,它和角度制都是度量角的單位制.

(2)我知道了角度制是把一個周角規(guī)定為360°,弧度制是把一個周角規(guī)定為2πrad.

(5)我還知道了1rad的意義(1rad的角就是長度等于半徑長的弧所對的圓心角).

師:大家總結(jié)的都很好,這節(jié)課要掌握的主要內(nèi)容有三個:一是學(xué)習(xí)一種新的角的度量制度,即弧度制;二是會把任意角的角度與弧度進(jìn)行互化;三是掌握弧度制下弧長與扇形面積的公式.至于弧度制在高等數(shù)學(xué)中究竟有哪些好處,大家課下可以查閱資料了解一下.

1.5 布置作業(yè)

書面作業(yè)(A類、B類):略.

思考題:略.

2 課例解析[2]

弧度制引入的主要原因是為了適應(yīng)微積分創(chuàng)立后科學(xué)計算上的需要,這是高等數(shù)學(xué)中的問題.而在中學(xué)數(shù)學(xué)中,學(xué)生更多的是要體驗弧度制帶來的便利.正是對弧度制引入的理解偏差,大部分教師將弧度的概念定位為本節(jié)課的難點,花大部分的時間苦苦尋求1弧度的定義,忽視了對于高中生而言弧度制學(xué)習(xí)的意義,使得一個不被學(xué)生認(rèn)為是難點的知識反而成為了教師公認(rèn)的難點,弧度制成了“糊涂制”.

與教材的做法和一般教學(xué)設(shè)計不同,課例不是先學(xué)習(xí)1弧度的角后再定義弧度,而是先讓學(xué)生體會不同單位制的好處,順勢在復(fù)習(xí)角度制后直接提出弧度制的定義,有了弧度制的定義,學(xué)生自然會比較這兩種定義.從而過渡到探究弧度與角度的關(guān)系,然后再讓學(xué)生運用弧度制,得到弧度制下的兩個新的計算弧長公式和扇形面積公式,最后再借助已得到的弧長公式說明了1弧度的意義.整個過程是建立在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”,學(xué)生的思考是按照需要解決的問題一步步進(jìn)行的,這對于學(xué)生而言是容易接受的.另外,需要學(xué)生掌握的知識也很自然的生成,教師只是穿針引線者.從學(xué)生對于本節(jié)課的收獲中可以看到,學(xué)生抓住了本節(jié)課的重點(一種新的角的度量制度即弧度制;角度與弧度進(jìn)行互化;弧度制下弧長與扇形面積的公式),并沒有受一些細(xì)枝末節(jié)知識的干擾,這也恰好說明了教學(xué)設(shè)計的成功.當(dāng)然,教無定法,在實際授課當(dāng)中難免遇到意想不到的情況,這也需要教師能夠居高臨下,在具體實施的時候,合理把控.

1 李忠.為什么要使用弧度制[J].數(shù)學(xué)通報,2009,48 (11):1-4

2 熊惠民.平面向量基本定理的教學(xué)設(shè)計[J].數(shù)學(xué)通訊, 2012(7):15-18

2017-05-13)