關(guān)于數(shù)列極限定義教學(xué)的一點(diǎn)思考

趙亮

【摘 要】數(shù)列極限定義是高等數(shù)學(xué)中的一重要概念， 也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，是后面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，但是數(shù)列ε-N定義的抽象性使很多學(xué)生難以理解，普遍感到“不知所云”，怎樣教好數(shù)列極限，使學(xué)生真正理解極限的本質(zhì)，掌握其精髓，以至熟練地去運(yùn)用它呢？是一個(gè)值得探討的問(wèn)題。下面根據(jù)實(shí)際教學(xué)經(jīng)歷， 談?wù)剶?shù)列極限定義教學(xué)的一點(diǎn)心得體會(huì)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)列極限，ε-N定義

一、設(shè)置情境，導(dǎo)入新知

首先通過(guò)兩個(gè)具體的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生初步認(rèn)識(shí)數(shù)列的極限：

（1）我國(guó)古代著名的哲學(xué)家莊周所著的《莊子·天下篇》引用過(guò)一句話(huà)：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，其含義是：一根一尺的木棒，每天截下一半，這樣的過(guò)程可以無(wú)限制地進(jìn)行下去，那么把每天截下的長(zhǎng)度列出來(lái)就可以得到一個(gè)數(shù)列

讓學(xué)生思考當(dāng)天數(shù)無(wú)限增加時(shí)，截下木棒的長(zhǎng)度如何變化？通過(guò)思考、觀察不難看出，當(dāng)天數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)無(wú)限地接近于0。

（2）劉徽“割圓術(shù)”，早在公元3世紀(jì)，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽就利用圓內(nèi)接正多邊形來(lái)推算圓的面積—割圓術(shù)，我們知道，當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)逐漸增大時(shí)，它與圓的差別就越小，其面積就越接近于圓的面積。在這里，不妨設(shè)圓的面積為S，圓的內(nèi)接正六邊形的面積為A1，圓的內(nèi)接正十二邊形的面積A2，…… 圓的內(nèi)接正6×2n-1邊形的面積為An……于是得到一個(gè)數(shù)列：讓學(xué)生思考，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列{An}的通項(xiàng)An如何變化？不難發(fā)現(xiàn)，An無(wú)限地接近于圓的面積S。

除了上面兩個(gè)實(shí)例外，再讓學(xué)生看兩個(gè)具體的數(shù)列：①；②1，4，9，16，25，…，n2，…；讓學(xué)生仔細(xì)觀察實(shí)例中抽象出來(lái)的兩個(gè)數(shù)列和數(shù)列①②，它們有什么共同特征呢？在這里可以提示學(xué)生當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，這4個(gè)數(shù)列有什么變化趨勢(shì)？突出學(xué)生課堂的主體地位，讓學(xué)生通過(guò)思考發(fā)現(xiàn)：當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)都無(wú)限地接近于某一個(gè)確定的數(shù)，我們就稱(chēng)這個(gè)確定的數(shù)為數(shù)列的極限。因此，我們可以抽象出數(shù)列極限的初步定義：對(duì)于一個(gè)一般的數(shù)列{an}，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，若an無(wú)限接近于一個(gè)確定的數(shù)a，則稱(chēng)為數(shù)a為數(shù)列{an}的極限。 若不存在這樣一個(gè)確定的數(shù)a，就說(shuō)數(shù)列沒(méi)有極限，如數(shù)列②。

二、由直觀描述性定義過(guò)渡到精確定義

數(shù)列極限的描述性定義只是一種形象的描述，并不嚴(yán)謹(jǐn)， 尤其對(duì)于“無(wú)限趨近”的描述不精確、不嚴(yán)密， 無(wú)法進(jìn)行測(cè)量。因此， 需要引進(jìn)較為精確的定義。在這里關(guān)鍵要讓學(xué)生理解“n無(wú)限增大時(shí)，an無(wú)限接近于一個(gè)確定的數(shù)a”這句話(huà)的含義，可以引導(dǎo)學(xué)生作如下分析：當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)， an無(wú)限接近于a。 也就是當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)， |an-a|無(wú)限接近于0。進(jìn)一步可以理解為當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，|an-a|可以任意小， 要多小就能有多小。換句話(huà)說(shuō)就是當(dāng)n增大到一定程度以后，|an-a|能小于事先給定的任意小的正數(shù)。因此， 如果 n 增大到一定程度以后，|an-a|能小于事先給定的任意小的正數(shù)， 則當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)， an限接近于常數(shù)a。

所以，我們就可以比較自然的給出數(shù)列極限的精確定義：設(shè){an}為數(shù)列，a為定數(shù)，若對(duì)任意給定的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)，有|an-a|<ε，則稱(chēng)數(shù)列收斂于a，定數(shù)a稱(chēng)為數(shù)列的極限，并記作或。

對(duì)定義中的語(yǔ)言需要向?qū)W生作進(jìn)一步的解釋?zhuān)赋靓?gt;0；ε的任意性和確定性，其中任意是說(shuō)ε要多小就有多小，這樣就可以用|an-a|<ε很好的表達(dá)an無(wú)限接近a的意思；確定性的意思就是ε要給定，從定義中，不難發(fā)現(xiàn)，N是依賴(lài)于ε的，只有先確定下來(lái)ε，才能更好的去尋找正整數(shù)N，并且一般來(lái)說(shuō)N是隨著ε的減小而增大的。如數(shù)列， 易知，如果給定，則由知n>100時(shí)，，N=100即可；如果給定，則由知n>1000時(shí)，，N=1000即可。

在這里要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)N并不是由ε唯一確定的，定義中只強(qiáng)調(diào)N的存在性，并不在意它的大小。

三、例題講解，鞏固新知

結(jié)合具體例題，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)論證法步驟：①計(jì)算；②對(duì)任意給定的ε>0，由開(kāi)始分析倒推，推出；③取自然數(shù)，則當(dāng)時(shí)，恒有；④由極限定義得。

四、課堂小結(jié)，加深反思

在課堂總結(jié)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生思考本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？用定義證明數(shù)列極限的步驟是什么？通過(guò)提問(wèn)，加深學(xué)生對(duì)數(shù)列極限的理解，掌握從特殊到一般、從具體到抽象的數(shù)學(xué)思維方法。極限理論是經(jīng)過(guò)了近200 多年才建立起來(lái)的，教和學(xué)都不容易是可以理解的。 但只要我們?cè)诮虒W(xué)上由淺入深，分層次逐步引入定義，就會(huì)使學(xué)生學(xué)習(xí)的困難減少一些。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）[M] .北京：高等教育出版社，2007.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]桂紹輝.基于數(shù)學(xué)語(yǔ)言數(shù)列極限定義的教學(xué).贛南師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2013（3）：95-98.

教改課題：

（1）廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院學(xué)位與研究生教改及學(xué)科建設(shè)課題：“應(yīng)用型背景下”數(shù)學(xué)建模對(duì)創(chuàng)新型研究生人才培養(yǎng)模式的研究（XKYJ201613）.

（2） 2016年教師創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育能力研究專(zhuān)項(xiàng)課題：“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代數(shù)學(xué)建模對(duì)創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)型人才培養(yǎng)模式的探索與研究--以廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院為例（2016JSZXC14）

（3）《基于數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式研究與實(shí)踐》（2017A15）