基于半解析法的鋼絲繩股多態(tài)接觸性能研究

周美娟，馬志飛，孟凡明?，陳原培

基于半解析法的鋼絲繩股多態(tài)接觸性能研究

周美娟1，馬志飛2，3，孟凡明1?，陳原培1

（1．重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400044；2．上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海201109；3．上海市空間飛行器機(jī)構(gòu)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海201109）

針對(duì)鋼絲繩在服役過(guò)程中因絲間接觸導(dǎo)致的失效問(wèn)題，基于半解析法、彈性接觸理論和曲桿理論，研究了軸向拉伸、扭轉(zhuǎn)載荷作用下的鋼絲繩股絲間多態(tài)接觸性能。建立了能反映繩股接觸狀態(tài)隨載荷演變規(guī)律的絲間接觸模型及繩股力學(xué)模型，并采用共軛梯度法及快速傅里葉變換進(jìn)行求解，驗(yàn)證了模型有效性。結(jié)果表明：在一定軸向拉伸與扭轉(zhuǎn)載荷作用下，部分繩股處于多態(tài)接觸狀態(tài)。隨著拉伸載荷的增加，芯絲?側(cè)絲趨于接近而相鄰側(cè)絲趨于分離，接觸狀態(tài)的變化使小捻角繩股剛度趨于減小而使大捻角繩股剛度趨于增大。隨著扭轉(zhuǎn)載荷的增大，使相鄰側(cè)絲趨于接近而使芯絲?側(cè)絲趨于分離，接觸狀態(tài)的變化使小捻角繩股剛度增大，大捻角時(shí)剛度先增大后減小。

鋼絲繩股；多態(tài)接觸性能；半解析法；捻角；剛度

1 引言

截至目前，學(xué)者們對(duì)鋼絲繩的力學(xué)性能進(jìn)行了大量的理論研究，早期模型大多基于線彈性假設(shè)進(jìn)行。例如，Argatov［1］采用一種漸近方法，對(duì)鋼絲繩絲間接觸行為的研究表明：減小鋼絲繩的捻角有助于減小鋼絲繩的局部接觸變形。Ghore?ishi等［2］的研究結(jié)果表明：增大繩股捻角，其扭轉(zhuǎn)剛度也相應(yīng)增大。根據(jù)Betti互易定理，表征鋼絲繩軸向拉伸、扭轉(zhuǎn)應(yīng)變與其所受載荷關(guān)系的剛度矩陣應(yīng)滿足對(duì)稱性［3］。Kumar和Botsis［4］基于Hertz理論，計(jì)算了具有金屬股芯的鋼絲繩在拉伸和扭轉(zhuǎn)載荷下所產(chǎn)生的最大接觸應(yīng)力，并發(fā)現(xiàn)鋼絲彈性模量對(duì)接觸應(yīng)力影響顯著。Gnanavel等［5］基于鋼絲繩股受力平衡方程和Hertz彈性接觸理論，對(duì)鋼絲繩股的固定接觸狀態(tài)（即側(cè)絲同時(shí)與芯絲及側(cè)絲接觸）性能的研究表明：鋼絲繩股的剛度受絲間接觸狀態(tài)的影響。此外，亦有其他學(xué)者［6?9］采用有限元方法（FEM），考慮絲間接觸及鋼絲材料彈塑性等非線性因素，對(duì)鋼絲繩進(jìn)行了仿真分析，指出鋼絲繩橫向載荷下的絲間應(yīng)力分布不均勻，絲間接觸對(duì)鋼絲繩的塑性變形影響顯著。但有限元仿真對(duì)計(jì)算機(jī)性能有較高的要求，且對(duì)于絲間接觸等非線性問(wèn)題，其求解亦可能不收斂。

然而上述研究均在固定接觸狀態(tài)下進(jìn)行的。實(shí)際工況下，隨著鋼絲繩所受載荷的逐步增大，其鋼絲的螺旋角、徑向收縮和接觸變形等參數(shù)均隨之變化，進(jìn)而載荷變化將對(duì)其絲間接觸狀態(tài)有影響。

綜上可知，外載荷對(duì)鋼絲繩絲間接觸狀態(tài)研究主要有兩大難點(diǎn)。首先是絲間接觸行為的精確求解。對(duì)于接觸問(wèn)題，多采用共軛梯度法（CGM）和快速傅里葉變換（FFT），實(shí)現(xiàn)接觸體接觸壓力和接觸變形的同步求解，CGM和FFT因其快速精確的優(yōu)點(diǎn)，在點(diǎn)接觸、直線接觸、表面接觸等情況的接觸求解問(wèn)題中均有所應(yīng)用［10?11］。對(duì)于鋼絲繩，其接觸線為螺旋線，然而目前尚未發(fā)現(xiàn)上述方法在螺旋接觸問(wèn)題中的應(yīng)用。第二個(gè)難點(diǎn)在于逐步加載過(guò)程中對(duì)鋼絲繩絲間多態(tài)接觸性能的準(zhǔn)確分析。針對(duì)過(guò)去單一接觸狀態(tài)下的鋼絲繩接觸研究，有必要研究不同的絲間接觸狀態(tài)下的鋼絲繩接觸行為。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文從鋼絲繩股在動(dòng)載荷作用下的接觸問(wèn)題切入，提出一種基于半解析法的鋼絲繩股多態(tài)接觸求解模型，以實(shí)現(xiàn)鋼絲繩的接觸行為在載荷變化過(guò)程中的多態(tài)接觸性能分析。

2 多態(tài)接觸模型

2? 1 側(cè)絲軸向應(yīng)變及螺旋角

根據(jù)Costello理論［12］，建立鋼絲繩股（圖1），簡(jiǎn)單直股由1根直芯絲和6根螺旋纏繞其上的側(cè)絲構(gòu)成，R1和R2分別為芯絲與側(cè)絲半徑，rh2為初始側(cè)絲螺旋半徑。

假設(shè)lp和?lp分別為加載前后的繩股捻距，ls和?ls分別為加載前后的側(cè)絲軸線長(zhǎng)度，α2和α－2分別為加載前后的側(cè)絲螺旋角，l和?l分別為加載前后側(cè)絲軸線在芯絲軸線上的投影弧長(zhǎng)。因而繩股側(cè)絲在軸向載荷作用下的總拉伸應(yīng)變?chǔ)舤和扭轉(zhuǎn)應(yīng)變?chǔ)觮可表示為式（1）、（2）：

式中：Δφ為繩股兩端圍繞繩股軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)角度。

軸向載荷下的芯絲、側(cè)絲軸向拉伸應(yīng)變可分別表示為式（3）、（4）：

考慮泊松比效應(yīng)和接觸變形引起的扁平效應(yīng)，并假設(shè)芯絲、側(cè)絲材料的力學(xué)性能相同，即二者接觸變形相同，其中A＝?rh2／rh2，B＝cotα2＋rh2τt。則軸向載荷下的側(cè)絲軸線的螺旋半徑?rh2為式（5）：

可見(jiàn)泊松比效應(yīng)和接觸變形對(duì)側(cè)絲軸向拉伸應(yīng)變及螺旋角均有影響。變形前的側(cè)絲軸線螺旋半徑由初始接觸狀態(tài)而定。

2? 2 側(cè)絲軸線曲率、撓率變化量

考慮接觸變形對(duì)側(cè)絲螺旋角及螺旋半徑的影響，曲率和撓率的變化量可表示為式（7）～（9）：

式中：κ2和κ′2分別為變形前側(cè)絲軸線上任一點(diǎn)處主、副法向的曲率，τ2為該點(diǎn)處的撓率。上述變量變形后的值分別為κ－2，κ－′2和τ－

2。

2? 3 側(cè)絲受力平衡方程

根據(jù)Love的曲桿理論［13］，沿側(cè)絲軸線方向（如圖2所示）取微弧長(zhǎng)段ds進(jìn)行受力分析。

在外載荷作用下，繩股側(cè)絲受力平衡方程組可表示為式（10）、（11）：

式中：N′為側(cè)絲截面處所受的沿y方向的剪切力，T為側(cè)絲截面所受的沿z方向的拉力，G′為截面處所受的關(guān)于y軸的彎矩，H為截面扭矩，X為單位長(zhǎng)度側(cè)絲軸線所受的沿側(cè)絲主法向的線載荷。

2? 4 絲間接觸模型

本研究?jī)H針對(duì)股芯為鋼絲的繩股，由于芯絲?側(cè)絲及側(cè)絲?側(cè)絲的接觸狀態(tài)決定了絲間接觸載荷的分配情況，因而應(yīng)根據(jù)接觸情況而定。

由于側(cè)絲與芯絲間實(shí)際接觸區(qū)域沿接觸線方向的尺寸遠(yuǎn)大于接觸區(qū)寬度方向，故可沿接觸線方向取無(wú)窮小長(zhǎng)度ds0的芯絲、側(cè)絲段進(jìn)行研究，接觸線法向軸上任意點(diǎn)（yc，zc）的接觸間隙hc為式（12）：

式中：hi為接觸變形前的芯絲?側(cè)絲初始間隙，u為芯絲和側(cè)絲總彈性變形，ur為芯絲與側(cè)絲的相對(duì)剛體位移。此外，側(cè)絲?側(cè)絲間的接觸間隙與芯絲?側(cè)絲間隙類似，只需替換相應(yīng)的曲率半徑。

如前所述，由于所取的鋼絲段長(zhǎng)度ds0為無(wú)窮小，可認(rèn)為芯絲?側(cè)絲和側(cè)絲?側(cè)絲實(shí)際接觸區(qū)域?yàn)榫匦危頿（yc，zc）為點(diǎn)（yc，zc）處的接觸壓力，則有載荷平衡方程式（13）：

在接觸區(qū)，滿足條件式（14）：

式中：Ac為接觸區(qū)域，非接觸區(qū)則滿足式（15）：

式（13）～（15）為絲間接觸求解模型，其中變形可利用格林函數(shù)和接觸壓力求得，由于接觸壓力、彈性變形和接觸間隙間存在相互影響關(guān)系，可見(jiàn)該模型是耦合的。

由于鋼絲間接觸屬于非協(xié)調(diào)性接觸，接觸壓力引起的彈性變形可采用式（16）計(jì)算：

式中S＝Gp(yc－y′c，zc－z′c)p(y′c，z′c)，Gp(yc，zc)為接觸壓力對(duì)表面彈性變形的格林函數(shù)。

3 接觸模型求解

對(duì)上述所建立的考慮泊松比效應(yīng)及接觸因素的鋼絲繩股數(shù)學(xué)模型，由于繩股絲間接觸狀態(tài)決定了其載荷的分配，因而該模型求解的難點(diǎn)在于加載后繩股絲間接觸狀態(tài)的確定。對(duì)此，本文提出一種繩股多態(tài)接觸求解算法，以實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)加載過(guò)程中鋼絲繩股絲間實(shí)時(shí)接觸狀態(tài)的準(zhǔn)確判定與求解。具體求解步驟如圖3所示：

芯絲?側(cè)絲接觸及側(cè)絲?側(cè)絲接觸行為的準(zhǔn)確計(jì)算是上述數(shù)值求解流程的關(guān)鍵。由于接觸壓力、彈性變形和接觸間隙間存在相互影響，因而各變量間呈相互影響的關(guān)系。對(duì)此，可采用共軛梯度法（CGM）的迭代方法進(jìn)行求解，計(jì)算出接觸壓力和接觸變形。本文首先利用半解析方法（SAM）實(shí)現(xiàn)快速變形的快速計(jì)算，即首先計(jì)算得到接觸壓力對(duì)彈性變形的影響系數(shù)，進(jìn)而采用基于快速傅里葉變換（FFT）的混合算法實(shí)現(xiàn)變形的快速計(jì)算。彈性變形計(jì)算公式為式（17）：

式中：運(yùn)算符“＾＾”表示二維離散傅里葉變換（DFT），其逆變換則用“IDFT”表示，I1為接觸壓力對(duì)鋼絲彈性變形的影響系數(shù)，滿足式（18）：

式中：格林函數(shù)Gpu積分的解析表達(dá)式已由Love推導(dǎo)出［14］。

4 接觸模型驗(yàn)證

多態(tài)接觸狀態(tài)下，本模型求解結(jié)果與Jiang等［15］的有限元（FEM）結(jié)果比較如圖4（a）所示。為分析側(cè)絲－側(cè)絲接觸對(duì)繩股性能的影響，圖中給出了僅考慮芯絲?側(cè)絲接觸以及采用Costello理論［12］計(jì)算所得結(jié)果（如圖4（b）所示）。結(jié)果表明，若僅考慮芯絲?側(cè)絲接觸，接觸壓力和螺旋半徑變化量的絕對(duì)值均大于多態(tài)接觸模型的結(jié)果，這是因?yàn)閷?shí)際存在的側(cè)絲?側(cè)絲接觸具有減小芯絲?側(cè)絲接觸的作用，進(jìn)而使絲間載荷分配更加均勻。由于Costello理論未考慮絲間接觸變形，其計(jì)算所得螺旋半徑變化量的絕對(duì)值小于其他所有結(jié)果。此外，多態(tài)接觸模型計(jì)算所得的繩股芯絲?側(cè)絲、側(cè)絲?側(cè)絲最大接觸壓力以及側(cè)絲軸線螺旋半徑變化量均與FEM結(jié)果很好地吻合，可見(jiàn)本模型能夠?qū)K股絲間接觸行為進(jìn)行精確求解。

5 結(jié)果與討論

5? 1 軸向拉伸載荷下的接觸性能

基于所建立的鋼絲繩股多態(tài)接觸模型，研究繩股在動(dòng)態(tài)拉伸中接觸特性的演變過(guò)程。圖5給出了捻角β分別為13°、15°和17°的繩股接觸壓力和接觸變形隨拉伸應(yīng)變?chǔ)舤的變化曲線，其中下標(biāo)“cw”和“ww”分別表示芯絲?側(cè)絲接觸（core?wire contact）和側(cè)絲?側(cè)絲接觸（wire?wire con?tact）。由圖可知，捻角對(duì)繩股接觸性能變化規(guī)律有著重要影響。捻角為13°的繩股僅發(fā)生芯絲?側(cè)絲接觸（δww＝0），而其余繩股的接觸狀態(tài)由起始的側(cè)絲?側(cè)絲接觸變?yōu)榧虞d后的多態(tài)接觸（multi?contact）即δww＞0且δcw＞0。此外，對(duì)比捻角15°和17°時(shí)的結(jié)果還可看出，捻角為15°的繩股先發(fā)生接觸狀態(tài)的轉(zhuǎn)變，且轉(zhuǎn)變?yōu)槎鄳B(tài)接觸狀態(tài)后，繩股中芯絲?側(cè)絲接觸占主導(dǎo)地位（δcw＞δww）；而捻角為17°的繩股則以側(cè)絲?側(cè)絲接觸更為顯著（δww＞δcw），其容易發(fā)生失效的位置亦與捻角為15°繩股有所不同。

由圖6（a）可知，鋼絲繩股拉伸剛度?kεε隨繩股捻角β增大而減?。淮送?，20°繩股的?kεε隨εt增大而基本保持穩(wěn)定，捻角小于20°的繩股結(jié)果呈略微減小趨勢(shì)，而大于20°的繩股結(jié)果則略微增大。圖6（b）表明，繩股的?kθε隨捻角的增大而先增大后減小，25°繩股的結(jié)果最大；拉伸應(yīng)變對(duì)不同捻角繩股?kθε的影響亦有所不同，隨著拉伸應(yīng)變的增大，小捻角（β＝5°～25°）繩股的?kθε逐漸減小，而大捻角（β＝30°～40°）繩股的?kθε逐漸增大。由此可見(jiàn)，拉伸過(guò)程中，繩股剛度值并非恒定不變，還應(yīng)充分考慮拉伸應(yīng)變對(duì)繩股剛度的影響。

5? 2 軸向扭轉(zhuǎn)載荷下的接觸性能

圖7表示在扭轉(zhuǎn)載荷下繩股的接觸特性，由圖可知，接觸壓力和接觸變形隨扭轉(zhuǎn)應(yīng)變的變化規(guī)律相似。隨著扭轉(zhuǎn)的進(jìn)行，捻角為13°的繩股接觸狀態(tài)由芯絲?側(cè)絲接觸轉(zhuǎn)變?yōu)槎鄳B(tài)接觸，而17°繩股則一直處于側(cè)絲?側(cè)絲接觸狀態(tài)。

圖8 給出了該繩股接觸狀態(tài)對(duì)接觸壓力的影響。由圖可知，扭轉(zhuǎn)過(guò)程中，繩股經(jīng)歷了三種接觸狀態(tài)：加載初期僅發(fā)生芯絲?側(cè)絲接觸，各接觸性能參數(shù)均隨扭轉(zhuǎn)應(yīng)變?chǔ)觮增大而增大；當(dāng)τt達(dá)到1? 8 rad／m時(shí)，其相鄰側(cè)絲間亦發(fā)生接觸（σww＞0），即處于多態(tài)接觸狀態(tài)，此時(shí)繩股仍以芯絲?側(cè)絲接觸占主導(dǎo)；隨著τt的繼續(xù)增大，繩股側(cè)絲?側(cè)絲接觸逐漸超過(guò)芯絲?側(cè)絲接觸，當(dāng)τt增大至6? 4 rad／m時(shí)，芯絲與側(cè)絲分離（σcw＝0），進(jìn)而繩股轉(zhuǎn)變?yōu)閭?cè)絲?側(cè)絲接觸狀態(tài)，隨后側(cè)絲?側(cè)絲接觸性能參數(shù)繼續(xù)隨τt增大而增大。

與拉伸工況計(jì)算類似，鋼絲繩股在扭轉(zhuǎn)加載過(guò)程中的瞬時(shí)扭轉(zhuǎn)剛度和耦合剛度為?kθθ和?kεθ，剛度隨扭轉(zhuǎn)應(yīng)變?chǔ)觮的變化情況如圖9所示。?kθθ和?kεθ均隨捻角的增大而先增大后減小，可見(jiàn)存在使繩股抗扭性能最佳的臨界捻角。此外，不同捻角繩股在扭轉(zhuǎn)中的剛度值變化規(guī)律不同：隨著τt的增大，小捻角（β＝5°～25°）的?kθθ及捻角不大于20°時(shí)的?kεθ均持續(xù)增大，而大于上述捻角時(shí)的?kθθ和?kεθ則呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢(shì)，進(jìn)而繩股的抗扭轉(zhuǎn)性能有所下降。因此，對(duì)承受扭轉(zhuǎn)載荷的大捻角（β＝30°～40°）鋼絲繩股的選用時(shí)，應(yīng)當(dāng)考慮其受載后的剛度衰減（約1%）情況，避免大載荷時(shí)出現(xiàn)剛度不足的危險(xiǎn)。

6 結(jié)論

1）提出的半解析法能夠用于絲間多種狀態(tài)接觸性能的分析，同時(shí)其有效性被驗(yàn)證。

2）在較大拉伸載荷下，小捻角繩股以芯絲?側(cè)絲接觸為主，大捻角繩股則以側(cè)絲?側(cè)絲接觸為主；具有某些捻角的繩股在一定載荷下處于多態(tài)接觸狀態(tài)。

3）根據(jù)鋼絲繩股變形特點(diǎn)，拉伸載荷使芯絲?側(cè)絲趨于接近而使側(cè)絲?側(cè)絲趨于分離；在拉伸及扭轉(zhuǎn)載荷作用下，繩股剛度與捻角大小密切相關(guān)。

4）本文鋼絲繩股多態(tài)接觸性能與繩股力學(xué)性能的多態(tài)求解過(guò)程及結(jié)果，可為動(dòng)載荷下的鋼絲繩的設(shè)計(jì)與選用提供有益參考。

（References）

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（責(zé)任編輯：龍晉偉）

Study on Multi?contact Performances of Steel Wire Rope Strand Based on Semi?analytical Method

ZHOU Meijuan1，MA Zhifei2，3，MENG Fanming1?，CHEN Yuanpei1
（1．The State Key Laboratory of Mechanical Transmission，Chongqing University，Chongqing 400044，China；2．Aerospace System Engineering Shanghai，Shanghai 201109，China；3．Shanghai Key Laboratory of Spacecraft Mechanism，Shanghai 201109，China）

For the failure problem of steel wire ropes caused by inter?wire contact in the service process，an inter?wire multi?contact model considering different contact statuses was established based on associated theories and was further solved with the semi?analytical method．Meanwhile，its validity was demonstrated．For the method，the conjugate gradient method and the Fast Fourier transform were employed to solve the contact pressure and the deformation，respectively．The results showed that the multi?contact status happened for ropes subjected to axial tensile and torsion loads．As the tensile load increased，the central and outer wires approached to each other and the outer wires separated from each other，in which case the stiffness at a small lay angle decreased，while the stiffness at the large angle increased．With the increase of the torsional load，the outer wires ap?proached to each other and the central and outer wires separated from each other，in which case the stiffness at a small lay angle increased，while the stiffness at the large angle increased first and then decayed．

steel wire rope strand；multi contact performances；semi analytical method；lay angle；stiffness

TH123；TD532

A

1674?5825（2017）04?0522?07

2016?12?04；

2017?06?29

重慶大學(xué)中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)重大項(xiàng)目基金（106112016CDJZR288805）；上海市空間飛行器機(jī)構(gòu)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放課題（SM2014D102）

周美娟，女，博士研究生，研究方向?yàn)殇摻z繩及摩擦學(xué)。E?mail：hx＿zhoumeijuan＠163．com

?通訊作者：孟凡明，男，教授，研究方向?yàn)殇摻z繩、內(nèi)燃機(jī)動(dòng)力學(xué)及摩擦學(xué)等。E?mail：fmmeng＠cqu．edu．cn