繩系拖曳中柔繩動(dòng)力學(xué)及其控制方法

羅 焜，趙國(guó)偉，陽(yáng)光烈

繩系拖曳中柔繩動(dòng)力學(xué)及其控制方法

羅 焜，趙國(guó)偉，陽(yáng)光烈

（北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京100083）

針對(duì)繩系拖曳離軌系統(tǒng)中對(duì)目標(biāo)星的控制問(wèn)題，提出一種利用拖曳裝置控制系繩張力的方法。采用有限元法建立了系繩偽梁模型，通過(guò)仿真分析了系繩參數(shù)、端部擾動(dòng)對(duì)其傳力特性的影響以及所造成的系繩兩端張力區(qū)別的原因。建立了系繩收放與張力控制裝置機(jī)電一體的動(dòng)力學(xué)模型，基于PD控制方法，實(shí)現(xiàn)了通過(guò)系繩收放對(duì)系繩末端張力的跟蹤控制。通過(guò)算例仿真分析了系繩末端位置擾動(dòng)頻率對(duì)末端張力跟蹤控制效果的影響，結(jié)果表明：對(duì)于確定的末端張力跟蹤控制要求，末端位置擾動(dòng)頻率較低時(shí)，末端張力跟蹤誤差??；隨著擾動(dòng)頻率的增大，末端張力誤差和時(shí)滯增大；嚴(yán)重時(shí)出現(xiàn)系繩間歇式松緊現(xiàn)象，末端張力無(wú)法正常跟蹤，被動(dòng)產(chǎn)生張力沖擊。

繩索；系繩偽梁模型；傳力特性；張力控制

1 引言

隨著空間技術(shù)的發(fā)展，空間任務(wù)日趨多樣化和復(fù)雜化，對(duì)于故障衛(wèi)星維修軌道垃圾清理等在軌服務(wù)技術(shù)的需求越來(lái)越迫切。采用“平臺(tái)／收放裝置＋空間繩系＋抓捕裝置”組成空間繩系抓捕平臺(tái)，不僅可以將傳統(tǒng)機(jī)器人的操作半徑延伸至百米量級(jí)，避免空間平臺(tái)的近距離逼近和?？繖C(jī)動(dòng)，減少平臺(tái)相關(guān)操作的燃料消耗，而且由于繩系系統(tǒng)本身柔性特性的存在，能夠有效防止末端碰撞力向平臺(tái)傳遞，大幅度提高空間平臺(tái)在任務(wù)過(guò)程中的安全性［1］。

盡管對(duì)于目標(biāo)星抓捕方式有很多種，但一旦抓捕，即構(gòu)成繩系拖曳控制系統(tǒng)，此時(shí)即需要通過(guò)任務(wù)星上系繩收放及張力控制機(jī)構(gòu)對(duì)任務(wù)星進(jìn)行消旋、擺動(dòng)抑制、張力保持等相關(guān)操作。而在此過(guò)程中，由于系繩質(zhì)量等因素的存在，需要考慮張力控制機(jī)構(gòu)張力產(chǎn)生端與被目標(biāo)星牽掛點(diǎn)端張力的區(qū)別。故對(duì)系繩的動(dòng)力學(xué)以及傳力特性的研究在繩系系統(tǒng)控制中也是非常有必要的。

系繩柔性特性給繩系系統(tǒng)控制帶來(lái)了困難。國(guó)內(nèi)相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者對(duì)其展開(kāi)了研究，徐秀棟等采用無(wú)質(zhì)量的輕質(zhì)桿對(duì)柔性系繩進(jìn)行近似，研究與空間繩系系統(tǒng)相關(guān)的控制問(wèn)題［2?4］；劉壯壯、寶音賀西研究了在考慮系繩單元非線性特性條件下系繩的動(dòng)力學(xué)建模問(wèn)題［5］；黃攀峰等針對(duì)經(jīng)典“珠子”模型在計(jì)算精度和求解速度方面的不足，提出一種基于有限單元法的高精度建模與快速求解方法［1］；孫亮等利用彈性桿模型研究了繩系拖拽離軌過(guò)程動(dòng)力學(xué)及其控制方法［6?7］；金棟平等針對(duì)繩索系統(tǒng)的建模、動(dòng)力學(xué)和控制進(jìn)行研究［8］。而在國(guó)外，關(guān)于系繩收放裝置以及張力控制機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)也是熱門(mén)研究問(wèn)題，Mankala等分別利用微元法和Hamilton力學(xué)變分原理建立了柔性系繩與絞盤(pán)式釋放機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，并采用Ritz法對(duì)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行離散求解，從而對(duì)短距離空間繩系系統(tǒng)的展開(kāi)過(guò)程進(jìn)行了仿真分析［9］。然而在以往繩系控制中大多將系繩簡(jiǎn)化為彈性桿，并沒(méi)有考慮系繩運(yùn)動(dòng)對(duì)張力控制實(shí)現(xiàn)的影響。

本文將在以往研究者的基礎(chǔ)上考慮系繩傳力特性，將系繩運(yùn)動(dòng)考慮到繩系系統(tǒng)控制模型中，并基于繩系拖曳收放裝置進(jìn)行系統(tǒng)建模，根據(jù)張力差值反饋設(shè)計(jì)控制方法，實(shí)現(xiàn)張力控制機(jī)構(gòu)對(duì)系繩張力的實(shí)時(shí)跟蹤控制，從而為空間穩(wěn)定拖曳離軌提出一種可實(shí)現(xiàn)的途徑。

2 系統(tǒng)描述

空間繩系拖曳離軌系統(tǒng)由任務(wù)星、目標(biāo)星（廢星）和連接兩星體的系繩三部分組成，連接關(guān)系如圖1所示。屬于三軸穩(wěn)定的任務(wù)星配有系繩收放及張力控制機(jī)構(gòu)，通過(guò)對(duì)系繩長(zhǎng)度的調(diào)節(jié)，始終保證系繩的張緊狀態(tài)以及目標(biāo)控制張力從而使目標(biāo)星達(dá)到穩(wěn)定的狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)空間穩(wěn)定拖曳離軌。本文將在考慮系繩力傳遞的基礎(chǔ)上，對(duì)柔性拖曳裝置進(jìn)行系統(tǒng)建模并選取合適的跟蹤算法實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)控制率的實(shí)時(shí)跟蹤，為空間穩(wěn)定拖曳離軌提出一種可實(shí)現(xiàn)的方案。

3 系繩柔性動(dòng)力學(xué)以及力傳遞特性分析

3? 1 柔繩松弛模型

系繩一般由多根復(fù)合材料纖維編制而成，當(dāng)它受壓時(shí)，表現(xiàn)出很小的剛度，當(dāng)它受微小的拉力作用時(shí)，纖維間形成的螺紋升角發(fā)生變化，系繩間的松弛余量減小，系繩整體表現(xiàn)的剛度依然非常?。恢挥挟?dāng)拉力比較大時(shí)，系繩中的纖維才會(huì)被拉緊，從而體現(xiàn)較強(qiáng)的剛度性質(zhì)［5］。

在空間繩系系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)與控制系統(tǒng)中，大多數(shù)研究者均將系繩單元的基本變形考慮為滿(mǎn)足胡克定律的線彈性變形，沒(méi)有考慮在繩系系統(tǒng)中系繩剛度非線性以及系繩的傳力特性的特點(diǎn)，并不能反映系繩真實(shí)受力情況。故引入松弛模型［10］來(lái)表現(xiàn)出系繩的非線性性質(zhì)（圖2），如式（1）：

其中，σ表示系繩中的應(yīng)力，E表示系繩線性段的彈性模量，ε表示系繩中的應(yīng)變，ε0表示系繩中的初始應(yīng)變，EA表示軸向剛度，T0表示系繩中初始軸向力。于是在非線性條件下的彈性力Nc將滿(mǎn)足式（2）：

通過(guò)系繩彈性力非線性模型的表達(dá)式得到系統(tǒng)在發(fā)生應(yīng)變過(guò)程中等效彈性模量Eequal的值如式（3）。

3? 2 柔繩動(dòng)力學(xué)求解及其傳遞特性分析

3? 2? 1 基于有限元的偽梁模型

對(duì)系繩動(dòng)力學(xué)求解問(wèn)題，傳統(tǒng)方法無(wú)法考慮系繩運(yùn)動(dòng)中彎矩扭矩等對(duì)其的影響以及系繩結(jié)構(gòu)各向異性的特點(diǎn)，而基于有限元的偽梁模型，則可以很好的反應(yīng)系繩結(jié)構(gòu)各向異性的性質(zhì)以及復(fù)雜受力的情況。

通過(guò)有限元模型［11］對(duì)系繩進(jìn)行單元?jiǎng)澐郑ㄈ鐖D3），并引入松弛模型以考慮系繩非線性特性：

1）結(jié)構(gòu)單元的離散

單元采取基于空間梁?jiǎn)卧▓D4）的偽梁模型，其每個(gè)節(jié)點(diǎn)有6個(gè)位移自由度，在局部坐標(biāo)系中它們分別是沿坐標(biāo)軸方向的線位移ui，vi，wi；繞x軸的扭角θxi，繞y軸的轉(zhuǎn)角θyi，繞z軸的轉(zhuǎn)角θzi。相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力也有6個(gè)分量，即軸力Ui、橫向剪力Vi、豎向剪力Wi、扭矩Mxi、縱向彎矩Myi、橫向彎矩Mzi，從而單元節(jié)點(diǎn)位移向量為式（4）：

單元節(jié)點(diǎn)力向量為：

空間梁?jiǎn)卧墓?jié)點(diǎn)位移共有12個(gè)，位移函數(shù)中包含12個(gè)待定系數(shù)。根據(jù)工程梁理論可以得到中性軸位移假設(shè)為式（6）：

從而可以得到中性軸位移函數(shù)為式（7）：

根據(jù)位移假設(shè)可以求得式（8）：

故單元位移場(chǎng)為式（10）：

其中，N為形函數(shù)矩陣，滿(mǎn)足N＝[N1N2]，N1、N2滿(mǎn)足式（11）：

將單元位移帶入空間幾何方程，只有εx、γxy、γxz不為零，其表達(dá)式為式（12）：

其中B為彈性矩陣，滿(mǎn)足式（13）：

根據(jù)廣義Hooke定律得式（14）：

其中D為彈性矩陣，Eequal為系繩各段單元等效的彈性模量，滿(mǎn)足式（15）：

其中εi為各段有限元微元的應(yīng)變值，其可以通過(guò)之前所述的松弛模型實(shí)時(shí)解算出相應(yīng)微元段的彈性模量的值。

由初等彎曲理論梁的應(yīng)變能，可以得到式（16）所示單元?jiǎng)偠染仃嚕?/p>

由彎曲理論可以知道梁的動(dòng)能如式（17）：

從而得到單元的質(zhì)量矩陣如式（18）：

考慮梁上的分布載荷粘性阻力如式（19）：

2）單剛的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換以及總剛合成

而在單剛整合到總剛的過(guò)程中，需要如圖5所示，將有限元單元從單元坐標(biāo)系中轉(zhuǎn)到整體坐標(biāo)系下。

整體坐標(biāo)系記為oxyz，梁?jiǎn)卧植孔鴺?biāo)系記為o′x′y′z′，其中ox軸正方向由i端指向j端面形心，y軸和z軸是梁截面的兩個(gè)相互垂直的形心主軸，坐標(biāo)變換公式如式（20）、（21）：

矩陣中各項(xiàng)表示局部坐標(biāo)系在整體坐標(biāo)系下的方向余弦。再由坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以得到整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?ke如式（22）：

在單剛的基礎(chǔ)下，利用能量的可加性，全結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能、動(dòng)能可以寫(xiě)成式（23）：

在完成單個(gè)單元相關(guān)矩陣推導(dǎo)后，按照傳統(tǒng)有限元單元法裝配過(guò)程的要求，構(gòu)造總體位置矢量如式（24）：將節(jié)點(diǎn)向量qe轉(zhuǎn)化到整體坐標(biāo)中Qe，其中轉(zhuǎn)換矩陣為Ae，滿(mǎn)足：

其中，Ae＝[…I12…]，I12表示12×12的單位陣，對(duì)應(yīng)單元所在的位置，Ae其它位置上值取為零。

從而可以得到總體坐標(biāo)系下單元質(zhì)量矩陣Me、剛度矩陣Ke、阻尼矩陣Ce如式（25）：

從而得到系繩總體的剛度矩陣K、質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣C如式（26）：

3）運(yùn)動(dòng)微分方程以及位移邊界條件的建立

通過(guò)最小瞬時(shí)勢(shì)能原理可得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程如式（27）：

其中，R表示各節(jié)點(diǎn)外力的值，將已知節(jié)點(diǎn)位移以及節(jié)點(diǎn)力帶入方程，得到相應(yīng)的微分方程組，利用顯示Runge—Kutta對(duì)方程組進(jìn)行求解，從而得到未知節(jié)點(diǎn)的力和位移。

3? 2? 2 傳遞特性分析與仿真算例

在繩系系統(tǒng)控制中，由于系繩本身質(zhì)量以及系繩阻尼特性的原因，使得系繩控制端的節(jié)點(diǎn)力與收放裝置處產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力不同，下面將從以下兩個(gè)方面來(lái)對(duì)系繩力傳遞進(jìn)行仿真以及相關(guān)的驗(yàn)證，研究系繩在繩系拖曳系統(tǒng)中的傳力特性。

如圖6所示，繩系拖曳離軌系統(tǒng)進(jìn)行離軌操作時(shí)，由目標(biāo)星上系繩收放裝置產(chǎn)生初始端張力，而被控目標(biāo)是目標(biāo)星（被拖曳星）端的系繩張力，而由于系繩本身質(zhì)量、阻尼特性以及系繩縱向非線性的力學(xué)特性可能會(huì)造成系繩兩端張力的區(qū)別以及沖擊的現(xiàn)象。故從系繩參數(shù)、收放端端部擾動(dòng)來(lái)研究系繩力傳遞的相關(guān)特性。

1）縱向力傳遞特性分析與其仿真驗(yàn)證

在實(shí)際拖拽中，在進(jìn)行系繩張力分布分析時(shí)，可假設(shè)目標(biāo)星固定，然后在系繩上施加反向的慣性載荷，利用有限元的思想進(jìn)行節(jié)點(diǎn)外力等效，但是繩系系統(tǒng)本身在離軌方向系統(tǒng)質(zhì)心的加速度非常小，其施加的反向慣性載荷針對(duì)系繩張力而言可忽略不計(jì)，故研究系繩傳力特性時(shí)，可將目標(biāo)星一端認(rèn)為固定約束。

針對(duì)軸向階躍響應(yīng)以及阻尼系數(shù)對(duì)其的抑制影響，利用有限元梁?jiǎn)卧Ｐ蛯?duì)系繩動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行仿真驗(yàn)證。其中仿真條件為：系繩直徑為3 mm，系繩彎曲模量為1．66·108N／m，系繩線密度為8 g／m，繩長(zhǎng)為20 m，分為20段有限元微元，系繩張緊后的縱向彈性模量為7? 97×1010N／m，系繩一端被固定，另一端為大小為10 N的階躍響應(yīng)（圖7），得到不同阻尼系數(shù)c下固定端處張力響應(yīng)的對(duì)比（圖8）。

系繩一端受到一個(gè)階躍響應(yīng)的外界驅(qū)動(dòng)力時(shí)會(huì)激起其本身的振動(dòng)。而且當(dāng)系繩阻尼系數(shù)不同時(shí)，對(duì)振動(dòng)的抑制作用也不同。在無(wú)控作用下，對(duì)于系繩而言，其階躍力會(huì)引起其振動(dòng)現(xiàn)象，并且當(dāng)系繩本身阻尼滿(mǎn)足一定條件時(shí)，其振動(dòng)現(xiàn)象會(huì)很快由于阻尼的存在而很快消失。

為對(duì)比驗(yàn)證不同剛度下系繩縱向傳力特性，針對(duì)系繩張緊狀態(tài)下，研究不同系繩剛度下，系繩末端對(duì)驅(qū)動(dòng)力的響應(yīng)情況。以驅(qū)動(dòng)力F＝為例，此時(shí)系繩剛度不取實(shí)際拖拽系統(tǒng)中采取的KEVLAR系繩所對(duì)應(yīng)的剛度，此主要研究不同系繩剛度K下，其傳力特性的表現(xiàn)，結(jié)果如圖9所示：

通過(guò)不同剛度下系繩軸向力傳遞的仿真可以說(shuō)明：在不同剛度下，系繩力傳遞特性的表現(xiàn)也是不同的。當(dāng)系繩彈性模量較小時(shí)，其體現(xiàn)的是一種延時(shí)效應(yīng)，并且當(dāng)驅(qū)動(dòng)力頻率較快時(shí)，響應(yīng)力會(huì)發(fā)生響應(yīng)不及時(shí)的現(xiàn)象。而當(dāng)系繩彈性模量很大時(shí)，對(duì)于連續(xù)可導(dǎo)的力變化而言，其傳遞是非常迅速的，響應(yīng)力和驅(qū)動(dòng)力基本保持一致。

2）任務(wù)星存在位移擾動(dòng)下縱向力傳遞特性分析

系繩會(huì)因?yàn)槿蝿?wù)星的擾動(dòng)而造成擺動(dòng)，此時(shí)系繩本身會(huì)產(chǎn)生彎矩，這也是采取偽梁模型對(duì)系繩進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模的原因之一。

仿真條件：系繩直徑為3 mm，系繩彎曲模量為1? 66×108N／m，系繩張緊后的縱向彈性模量為7? 97×1010N／m，系繩線密度為8 g／m，繩長(zhǎng)為20 m，利用有限元分為20段微元。系繩一端端部受到沿系繩縱向的力F，其大小為F＝且受力端點(diǎn)在做沿橫向的端部擾動(dòng)，其值為uy＝0．1sin（t），另一端為固定（如圖10）。仿真結(jié)果如圖11、13所示。

仿真可以發(fā)現(xiàn)端點(diǎn)的擾動(dòng)會(huì)激起系繩的橫向運(yùn)動(dòng)，系繩節(jié)點(diǎn)標(biāo)注如圖12，解算結(jié)果如圖13，圖11中的節(jié)點(diǎn)即為其中的節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)20。

從仿真可以看出對(duì)于KEVLAR系繩，任務(wù)星的端部擾動(dòng)會(huì)引起系繩的橫向運(yùn)動(dòng)，但是當(dāng)系繩處于張緊狀態(tài)時(shí)系繩整體表現(xiàn)出弦振動(dòng)的特點(diǎn)，縱向力的傳遞依然非常迅速，響應(yīng)力和驅(qū)動(dòng)力基本保持一致。

4 柔性裝置系統(tǒng)建模

4? 1 柔性裝置各模塊聯(lián)系

在系繩傳力特性的基礎(chǔ)上，提出一種利用拖曳裝置控制系繩張力的方法，通過(guò)電機(jī)的收放改變系繩的張緊狀態(tài)從而實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)星的張力控制，以達(dá)到對(duì)目標(biāo)星穩(wěn)定拖曳離軌的目的。

分析柔性裝置各組成模塊及其相關(guān)聯(lián)系，收放裝置平臺(tái)主要由5個(gè)模塊組成，分別為電機(jī)模塊、機(jī)械裝置傳遞模塊、負(fù)載力解算模塊、繩系柔性體的傳遞模塊以及自適應(yīng)控制模塊，其工作原理是通過(guò)控制電機(jī)模塊電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)控制繩子張緊的狀態(tài)從而達(dá)到需要的繩子張力。將之前考慮的系繩傳遞特性加入到整體模型中，考慮系繩對(duì)控制力傳遞的影響，在考慮測(cè)量誤差的影響下將系繩端點(diǎn)控制張力與目標(biāo)張力的差值利用相關(guān)自適應(yīng)算法進(jìn)行解算，并將其作為電壓信號(hào)傳遞給電機(jī)模塊，另一部分，負(fù)載力通過(guò)裝置傳遞模塊作為負(fù)載力矩傳遞給電機(jī)模塊，從而使電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)改變系繩張緊狀態(tài)從而達(dá)到目標(biāo)控制張力的要求。具體模塊之間的傳遞聯(lián)系以及裝置如圖14、15所示。

4? 2 電機(jī)模型

通過(guò)對(duì)裝置分析以及相關(guān)調(diào)研，直流電機(jī)調(diào)速性能優(yōu)越且易實(shí)現(xiàn)平滑調(diào)速，故在裝置平臺(tái)中選取直流有刷電機(jī)。建立其電機(jī)數(shù)學(xué)模型如式（28）：

其中，E為額定勵(lì)磁電動(dòng)機(jī)的反電動(dòng)勢(shì)，Te為額定勵(lì)磁下的電磁轉(zhuǎn)矩，Id表示電機(jī)電流，TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩，其值為系繩張力在電機(jī)轉(zhuǎn)子處造成的等效負(fù)載，GD2為電力拖動(dòng)系統(tǒng)部分折算到電動(dòng)機(jī)軸上的飛輪慣量，Cm為電機(jī)額定勵(lì)磁下的轉(zhuǎn)矩電流比。

利用原始電機(jī)參數(shù)對(duì)相關(guān)電機(jī)參數(shù)如式（29）所示進(jìn)行解算：

其中，Ce表示直流電機(jī)電勢(shì)常數(shù)，Ra表示電樞電阻。

4? 3 轉(zhuǎn)子動(dòng)載荷模型以及靜摩擦負(fù)載模型

收放裝置在收放功能的實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，由于轉(zhuǎn)子以及相關(guān)排線機(jī)構(gòu)的存在，會(huì)對(duì)系繩張力傳遞有一定損耗，具體模型如下：

對(duì)于滾動(dòng)轉(zhuǎn)子而言，其力學(xué)模型如式（30）：

其中，Ri表示該轉(zhuǎn)子處轉(zhuǎn)輪半徑的大小，Ji表示該轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小，Mfi表示該轉(zhuǎn)子的摩阻力矩，ui表示該摩擦處的摩擦系數(shù)，R0表示電機(jī)的等效半徑，β0表示電機(jī)的角加速度，F(xiàn)i1、Fi2表示該轉(zhuǎn)子兩端系繩張力，其中F11表示電機(jī)負(fù)載力矩對(duì)應(yīng)的系繩張力。

而對(duì)于固定轉(zhuǎn)子而言，其轉(zhuǎn)子處系繩與轉(zhuǎn)子的摩擦力達(dá)到最大，其力學(xué)模型如式（31）：

其中，e表示自然常數(shù)，f表示該轉(zhuǎn)子的摩擦因素，α表示該轉(zhuǎn)子與系繩接觸弧所對(duì)圓心角。

4? 4 系繩張力模型

通過(guò)有限元模型將系繩劃分為多個(gè)單元，通過(guò)收放裝置電機(jī)模塊的工作，使系繩第一個(gè)單元體發(fā)生形變（如式32）從而產(chǎn)生系繩張力，并且通過(guò)系繩傳遞將控制力傳遞到目標(biāo)衛(wèi)星的懸掛點(diǎn)處。

其中，L為系繩松弛時(shí)的第一段微元的原長(zhǎng)，即零應(yīng)變長(zhǎng)度，Ltm表示系繩第一段發(fā)生形變后的長(zhǎng)度矢量，其大小如式（33）所示，為繩長(zhǎng)在電機(jī)收放、系繩兩端衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)下形成的實(shí)際系繩長(zhǎng)度。

其中，Ldevice表示電機(jī)收放的長(zhǎng)度，回收取正，釋放為取負(fù)，Ldistance為目標(biāo)星任務(wù)星相對(duì)距離的變化，遠(yuǎn)離為正，靠近為負(fù)。

系繩張緊方向?yàn)橄道K張力方向，則系繩第一段有限元單元張力為式（34）：

其中，d為系繩直徑，E為系繩彈性模量，F(xiàn)head為系繩初始張力。

由上述模型對(duì)系繩張力進(jìn)行解算來(lái)替代裝置中測(cè)力傳感器的測(cè)量，作為繩系控制系繩輸入端的節(jié)點(diǎn)張力，目標(biāo)星控制端的目標(biāo)控制量的實(shí)際量由有限元方法進(jìn)行動(dòng)力學(xué)解算得到。

4? 5 裝置跟蹤控制模型

采取PD反饋控制，將實(shí)際系繩控制張力與目標(biāo)控制率的差值通過(guò)PD反饋給電機(jī)模塊，采用PWM占空比的方法，調(diào)節(jié)電機(jī)的電壓信號(hào)改變電機(jī)轉(zhuǎn)速?gòu)亩淖兝K系控制系統(tǒng)中系繩張緊程度，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)張力的實(shí)時(shí)控制，其電壓控制如式（35）、（36）：

其中：freal表示系繩末端張力，ftarget表示目標(biāo)控制張力，kP、kD為反饋增益，u為控制信號(hào)，U表示電機(jī)電壓信號(hào)輸出，Umax表示電機(jī)額定工作電壓值。

5 基于柔性拖曳裝置張力跟蹤驗(yàn)證

在考慮目標(biāo)星的擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)下，針對(duì)目標(biāo)星不同的擺動(dòng)頻率以及擺動(dòng)振幅，對(duì)裝置系繩張力的跟蹤能力進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

其中仿真條件如下：電機(jī)額定功率為150 W，額定電壓24 V，額定電流6 A，額定轉(zhuǎn)速為6 940 r／min，最大扭矩為170 mN·m，減速器減速比為3? 5，系繩張緊后的彈性模量為7? 97×1010N／m，系繩阻尼因子為0? 8，目標(biāo)跟蹤張力設(shè)為F＝35＋15sin（2 t）的正弦變化?？紤]對(duì)于牽掛點(diǎn)距離變化振幅為0? 5 m，不同變化頻率下對(duì)目標(biāo)力的跟蹤仿真結(jié)果如圖16所示：

同時(shí)針對(duì)目標(biāo)星任務(wù)星相對(duì)距離不同擺幅情況下目標(biāo)力的跟蹤情況，如圖17所示：

從上述仿真可以看出：

1）目標(biāo)星相對(duì)目標(biāo)星在一定頻率、擺動(dòng)幅值范圍內(nèi)的擺動(dòng)時(shí)，柔性拖曳收放裝置具有很好的力學(xué)跟蹤性能，可以很快地對(duì)目標(biāo)張力進(jìn)行跟蹤實(shí)現(xiàn)；

2）KEVLAR系繩處于張緊狀態(tài)時(shí)，系繩力傳遞特性對(duì)目標(biāo)張力的實(shí)現(xiàn)影響不大；

3）當(dāng)目標(biāo)星擺動(dòng)頻率或者幅值過(guò)大時(shí)，裝置力學(xué)跟蹤會(huì)出現(xiàn)滯后現(xiàn)象，甚至出現(xiàn)系繩張力沖擊即系繩發(fā)生松緊切換的現(xiàn)象，這也是合理的，因?yàn)檠b置電機(jī)的功率是有限的，無(wú)法保證在一定負(fù)載下高轉(zhuǎn)速的需求。也同時(shí)可以說(shuō)明電機(jī)功率對(duì)收放裝置張力跟蹤的限制作用。

5 結(jié)論

1）在考慮系繩非線性特性的基礎(chǔ)上采用有限元模型可以較好地反應(yīng)系繩在相關(guān)位移約束、力約束條件下運(yùn)動(dòng)情況。系繩參數(shù)對(duì)系繩力傳遞起到不同影響，系繩阻尼可以對(duì)系繩一端受到階躍信號(hào)產(chǎn)生的振動(dòng)起到抑制作用，當(dāng)阻尼大于某一值，其階躍響應(yīng)能夠迅速收斂。其次，系繩剛度對(duì)于系繩縱向力傳遞起到關(guān)鍵影響，當(dāng)系繩剛度較小時(shí)，其力傳遞體現(xiàn)出的是一種延時(shí)效應(yīng)，并且當(dāng)驅(qū)動(dòng)力頻率較快時(shí)，響應(yīng)力會(huì)發(fā)生響應(yīng)不及時(shí)的現(xiàn)象。而當(dāng)系繩張緊時(shí)體現(xiàn)較大剛度特點(diǎn)時(shí)，系繩中力傳遞是迅速的，響應(yīng)端與驅(qū)動(dòng)端基本保持一致。

2）KEVLAR系繩張緊時(shí)，任務(wù)星存在橫向位移擾動(dòng)會(huì)激起系繩的橫向運(yùn)動(dòng)，且該運(yùn)動(dòng)體現(xiàn)為一種弦振動(dòng)，對(duì)系繩縱向力傳遞影響不大。

3）當(dāng)目標(biāo)星在一定頻率、擺動(dòng)幅值范圍內(nèi)擺動(dòng)時(shí)，柔性拖曳收放裝置具有很好的力學(xué)跟蹤性能，能準(zhǔn)確迅速地實(shí)現(xiàn)張力跟蹤；而當(dāng)目標(biāo)星擺動(dòng)頻率或者幅值過(guò)大時(shí)，裝置力學(xué)跟蹤會(huì)出現(xiàn)滯后的現(xiàn)象，甚至出現(xiàn)間歇式系繩松緊現(xiàn)象，這也是裝置各模塊自身限制所導(dǎo)致的必然結(jié)果，可以提高裝置系統(tǒng)的響應(yīng)能力或者減小系繩剛度來(lái)減緩張力沖擊的現(xiàn)象。

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（責(zé)任編輯：龍晉偉）

Dynamics and Control Method of Tether in Tether Tugging System

LUO Kun，ZHAO Guowei，YANG Guanglie
（School of Astronautics，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100083，China）

Targeting the control problem of the tethered satellite in a tether?tugging de?orbit system，a tether tension adjustment method with the towing device was proposed in this paper．A novel tether pseudo?beam model was established with the finite element method．The influence of the tether pa?rameters and the end disturbance on the force transmission characteristics as well as the tension difference at both ends were analyzed through simulations．An integrated mechanical and electrical model combining the deployment and retrieval device and tension control device was built．Based on the PD control method，the tracking control of the tension at the end of the tether could be realized by controlling the deployment and retrieval of the tether．The influence of the terminal position dis?turbance frequency on the terminal tension tracking performance was investigated by simulations．The results showed that for a given requirement on the terminal tension tracking control，the terminal tension tracking error was small when the terminal position disturbance frequency was low，then the error and delay increased with the increase of the disturbance frequency，and if this goes on，the se?rious phenomena of intermittently tight or loose tether，tracking failure of the end tension，and pas?sive tension impact may occur．

tether；tether pseudo beam model；force transmission characteristics；tension control

V19

A

1674?5825（2017）04?0512?10

2017?03?02；

2017?06?26

國(guó)家自然科學(xué)基金（11572016，11602008）

羅焜，男，碩士研究生，研究方向?yàn)閯?dòng)力學(xué)與控制。E?mail：zhaoguowei＠buaa．edu