基于模型預測控制的無人駕駛汽車的軌跡跟蹤*

李金良 郝亮 曹植

（遼寧工業(yè)大學）

隨著計算機信息處理技術(shù)、傳感器技術(shù)和汽車控制技術(shù)的進步，基于高效環(huán)境感知的輔助駕駛技術(shù)或全自動駕駛技術(shù)迅速發(fā)展，以主動控制為核心的先進汽車安全技術(shù)必將是現(xiàn)代交通系統(tǒng)和未來高度智能化交通系統(tǒng)的核心技術(shù)之一[1-2]。實現(xiàn)對全自主無人駕駛汽車在高速和冰雪等復雜路面安全穩(wěn)定的軌跡跟蹤控制具有十分重要的意義。由于線性時變模型預測控制算法相比于非線性模型預測控制算法具有計算簡單和實時性好等優(yōu)點[3]，因此，文章通過MATLAB/Simulink軟件搭建基于運動學模型的線性時變模型預測控制算法，研究在給定工況下的軌跡跟蹤特性。

1 線性時變模型預測控制原理

以線性狀態(tài)控制模型為基礎，依次推導模型預測控制的預測方程、優(yōu)化求解及反饋機制[4]。

1.1 預測方程

首先考慮離散線性化模型：

式中：x（k）——n維狀態(tài)變量；

u（k）——m維控制輸入變量；

Ak,t——狀態(tài)變量系數(shù)矩陣；

Bk,t——控制變量系數(shù)矩陣。

為了使整個離散化模型的關(guān)系更加明確，將系統(tǒng)未來時刻的輸出以矩陣的形式表達：

式中：η（t）——預測時域Np內(nèi)的變形后系統(tǒng)輸出變量；

ξ（t）——預測時域Np內(nèi)的變形后系統(tǒng)狀態(tài)變量；

Ct——輸出系數(shù)矩陣；

ΔU（t）——控制時域Nc內(nèi)的系統(tǒng)輸入增量；

ψt——變形后的系統(tǒng)輸入變量狀態(tài)矩陣；

θt——變形后的系統(tǒng)輸入增量狀態(tài)矩陣。

通過觀察式（2），可以看到，在預測時域內(nèi)的狀態(tài)量和輸出量都可以通過系統(tǒng)當前的狀態(tài)量（ξ（t｜t））和控制時域內(nèi)的控制增量（ΔU（t））計算得到。這也就是模型預測控制算法中“預測”功能的實現(xiàn)。

1.2 QP（二次規(guī)劃）問題的轉(zhuǎn)化

系統(tǒng)控制時域（Nc）內(nèi)的 ΔU（t）是未知的，通過設定合理的優(yōu)化目標函數(shù)并使其最小化，可求得在Nc內(nèi)滿足約束條件的最優(yōu)控制序列。

考慮目標函數(shù)如下：

式中：η（t+i｜t）——參考輸出量，i=1,…,Np；

ηref（t+i｜t）——理想?yún)⒖驾敵隽?，i=1,…,Np；

Δu（t+i｜t）——輸入增量，i=1,…,Nc-1；

Q，R——權(quán)重矩陣。

其中，第1項（Q的2范數(shù)）用于懲罰系統(tǒng)在Np內(nèi)，輸出量與參考輸出量之間的偏差，即反映了系統(tǒng)對參考軌跡的快速跟蹤能力；第2項（R的2范數(shù)）用于懲罰系統(tǒng)在Nc內(nèi)的控制增量大小，即反映了系統(tǒng)對控制量平穩(wěn)變化的要求；同時，在實際的控制系統(tǒng)中，往往需要滿足系統(tǒng)狀態(tài)量及控制量的一些約束條件，一般如下：

控制量約束：

控制增量約束：

輸出約束：

1.3 反饋控制

在每個控制周期內(nèi)完成對式（5）求解后，得到了控制時域內(nèi)的一系列控制輸入增量：

根據(jù)模型預測控制的基本原理，將該控制序列中第1個元素作為實際的控制輸入增量作用于系統(tǒng)，即：

式中：u（t）——系統(tǒng)的實際控制量。

系統(tǒng)執(zhí)行這一控制量直到下一時刻。在新的時刻，系統(tǒng)根據(jù)狀態(tài)信息重新預測下一階段時域的輸出，通過優(yōu)化過程得到一個新的控制增量序列。如此循環(huán)往復，直至系統(tǒng)完成控制過程。

2 線性時變模型預測控制仿真

2.1MATLAB仿真條件

無人駕駛汽車從坐標原點出發(fā)，以期望縱向速度（v=1m/s）跟蹤一條直線軌跡（y=3m），采樣時間為50ms，仿真總時間設定為20 s。

2.2 低速運動學模型線性化處理

由于控制目標是無人駕駛汽車在低速情況下的跟蹤控制，因此考慮以汽車運動學方程作為預測模型，低速情況下的汽車運動學方程形式如下[5]：

式中：xr，yr——汽車后軸軸心處的橫縱坐標；

φ——汽車航向角，（°）；

δf——前輪轉(zhuǎn)角，（°）；

l——汽車軸距，m；

vr——汽車后軸中心的速度，m/s。

對其進行線性化，得到線性時變模型為：

式中：T——采樣時間，s；

δf,r——汽車在r點的前輪轉(zhuǎn)角，（°）。

2.3 汽車運動學模型的驗證

為驗證所建立的汽車運動學模型，在MATLAB/Simulink環(huán)境中搭建該運動學模型，對無人駕駛汽車的直線軌跡跟蹤過程進行仿真驗證，其仿真結(jié)果，如圖1～圖4所示。

圖1 跟蹤理想軌跡的實際運行結(jié)果

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)量隨時間的變化曲線

圖3 狀態(tài)量偏差隨時間的變化曲線

圖4 控制量隨時間的變化曲線

由圖1可以看出，實際軌跡從原點出發(fā)能夠跟蹤上真實直線軌跡（y=3 m）；由圖2和圖3可知，汽車的橫向、縱向位移和前輪轉(zhuǎn)角均能很好地跟蹤理想軌跡，最終達到穩(wěn)定狀態(tài)；由圖4可知，無人駕駛的控制量縱向速度和角加速度均能最終達到穩(wěn)定的狀態(tài)。

3 結(jié)論

文章通過線性時變模型預測控制仿真得出，無人駕駛的狀態(tài)量和控制量均能很好地反映出汽車在跟蹤過程中，實際狀態(tài)量均能實時跟蹤理想的狀態(tài)量實時狀態(tài)變化，最終達到穩(wěn)定狀態(tài)，控制量也經(jīng)過一定變化達到最終的穩(wěn)定狀態(tài)，這說明在低速跟蹤過程中，線性時變模型預測控制算法能夠?qū)崟r跟蹤汽車的行駛軌跡，并且保證汽車行駛過程中的實時性和穩(wěn)定性。