具有非負(fù)位勢(shì)的Schr?dinger算子在Lp(·)(n)上的有界性①

呂 青 趙 凱

(青島大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,山東青島266071)

具有非負(fù)位勢(shì)的Schr?dinger算子在Lp(·)(n)上的有界性①

呂 青 趙 凱

(青島大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,山東青島266071)

基于具有確定位勢(shì)的Schr?dinger算子在經(jīng)典Lebesgue空間上的有界性,利用其被Hardy-Littlewood極大算子控制以及Hardy-Littlewood極大算子在變指數(shù)Lebesgue空間上有界的結(jié)果,得到了具有非負(fù)位勢(shì)的Schr?dinger算子在變指數(shù)Lebesgue空間上的有界性.

Schr?dinger算子,非負(fù)位勢(shì),變指數(shù)Lebesgue空間,Hardy-Littlewood極大算子,有界性

0 引言

設(shè)P=-Δ+V(x)是n(n≥3)上的Schr?dinger微分算子,其中V(x)是非負(fù)但不等于零的位勢(shì),且屬于反向H?lder類Bq,對(duì)于某個(gè)記T1=m(·,V)2(-Δ+V)-1,T2=V(-Δ+V)-1是具有非負(fù)位勢(shì)的Schr?dinger算子. 在文獻(xiàn)[1]中ShenZhongwei已經(jīng)研究了T1=m(·,V)2(-Δ+V)-1,T2=V(-Δ+V)-1,T3=(-Δ+V)iγ,T4=▽(-Δ+V)-1/2,T5=▽(-Δ+V)-1▽,T6=▽2(-Δ+V)-1等許多具有非負(fù)位勢(shì)的Schr?dinger算子在經(jīng)典的Lebesgue空間上的有界性.Sugano在文獻(xiàn)[2]中用二階一致橢圓算子L0代替Δ,令L=L0+V,V屬于反向H?lder類,對(duì)具有非負(fù)位勢(shì)的算子Vα(-Δ+V)-β,Vα▽(-Δ+V)-β進(jìn)行估算,得到了算子VL-1,V1/2▽L-1在加權(quán)Lp空間和Morrey空間上有界. 2004年,朱月萍[3]給出了與Schr?dinger算子相關(guān)的Riesz變換的Lp估計(jì).即算子▽L-1/2，V1/2L-1/2在Lebesgue空間上有界,其中是可測(cè)函數(shù)且滿足一定條件.眾所周知,函數(shù)空間理論是調(diào)和分析的重要內(nèi)容.變指數(shù)函數(shù)空間最早源自于Orlicz的工作,尤其是1991年Ková和Rákosník的研究使得變指數(shù)函數(shù)空間有了突破性進(jìn)展,他們給出了n上的變指數(shù)Lebesgue空間和Sobolev空間的許多性質(zhì),之后引起了眾多學(xué)者的研究興趣(參見文獻(xiàn)[6-10]及其參考文獻(xiàn)等). 例如,在文獻(xiàn)[8]中Diening在假設(shè)p+<∞,p(·)∈LH0以及p(·)在一個(gè)足夠大的球外是一個(gè)常數(shù)的條件下證明了Hardy-Littlewood極大算子是有界的.此時(shí),我們感興趣的是與具有非負(fù)位勢(shì)的Schr?dinger算子相關(guān)的算子Tj(j=1,2)在變指數(shù)Lp空間上的有界性.

1 基本概念和引理

(1)

反向H?lder類Bq的一個(gè)顯然性質(zhì)是,如果V(x)∈Bq,對(duì)于某個(gè)q>1,則存在ε>0使得V(x)∈Bq+ε,其中ε僅依賴與n和(1)式中的常數(shù)C.

變指數(shù)Lebesgue空間Lp(·)(B)定義如下.

給定B?n,對(duì)一個(gè)可測(cè)函數(shù)p(·):B→[1,∞),若存在某個(gè)λ>0,使得

則稱f∈Lp(·)(B).在范數(shù)

下,Lp(·)(B)是一個(gè)Banach函數(shù)空間,并稱其為變指數(shù)Lebesgue空間或變指數(shù)Lp空間.顯然,如果p(·)=p,則Lp(·)(B)就是Lp(B),即Lp(·)(B)是經(jīng)典的Lebesgue空間Lp(B)的一種自然推廣.變指數(shù)Lp空間也是Musielak-Orlicz空間的一種特殊情況.

稱指數(shù)p(·)滿足局部log-H?lder連續(xù)條件,是指存在一個(gè)常數(shù)C>0使得下式

(2)

成立,并記作p(·)∈LH0.

稱p(·)滿足一致連續(xù)條件,是指存在一個(gè)常數(shù)c>0使得下式

(3)

成立.

設(shè)f是n上的局部可積函數(shù),Hardy-Littlewood極大算子M定義為

其中B=B(x,r)={y∈n:|x-y|

用P(n)表示n上滿足以下條件的所有p(·)構(gòu)成的集合

(4)

并用p′(·)表示p(·)的共軛指標(biāo),即1/p′(x)+1/p(x)=1.

用B(n)表示P(n)中所有使Hardy-Littlewood極大算子M在Lp(·)(n)上有界的函數(shù)p(·)構(gòu)成的集合.

注1 顯然對(duì)于每個(gè)x∈n有0

其中Γ(x,y)是算子-Δ+V(x)在n上的基本解,C僅依賴于n和(1)式中的常數(shù).

引理2 如果p(·)滿足(2) , (3)和(4)式,則Hardy-Littlewood極大算子M在Lp(·)(n)上是有界的.

2 主要結(jié)論

‖m(x,V)2(-Δ+V)-1f‖p(·)≤C‖f‖p(·),

其中C僅依賴與n和(1)式中的常數(shù).

證明 設(shè)Γ(x,y)是算子-Δ+V(x)在n上的基本解,則對(duì)于f∈Lp(·)(n),有

因此,只要證明以下不等式即可,

‖m(x,V)2u‖p(·)≤C‖f‖p(·).

而u(x)又可以寫成以下兩部分的和

‖m(x,V)2uj‖p(·)≤C‖f‖p(·),

對(duì)于j=1, 2都成立.

因?yàn)?

故可得|m(x,V)2u1(x)|≤CnMf(x).

設(shè)k>2,則|u2(x)|≤Cn,kr2Mf(x), 進(jìn)一步得到|m(x,V)2u2(x)|≤Cn,kMf(x).

再由引理2可得

‖m(x,V)2(-Δ+V)-1f‖p(·)≤C‖f‖p(·),

其中C僅依賴于n和(1)式中的常數(shù).證畢.

‖V(-Δ+V)-1f‖p(·)≤C‖f‖p(·).

則有

|V(-Δ+V)-1f|≤C0|m(·,V)2(-Δ+V)-1f|.

故由定理1直接得到

‖V(-Δ+V)-1f‖p(·)≤C‖f‖p(·),

其中C>0僅依賴于n,C0以及(1)式中的常數(shù).

[1]ShenZhongwei.LpestimatesforSchr?dingeroperatorswithcertainpotentials[J].AnnInstFourier,1995, 45(2)：513-546.

[2]SuganoS.EstimatesfortheoperatorsVα(-Δ+V)-βandVα▽(-Δ+V)-βwithcertainnonnegativepotentialsV[J].TokyoJMath, 1998,21(2)：441-452.

[3]ZhuYueping.LpestimatesforRiesztransformassociatedtoSchr?dingeroperator[J].JMathematicalResearch&Exposition, 2004, 24(2)：231-238.

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[7]SamkoS.OnaprogressinthetheoryofLebesguespaceswithvariableexponent:maximalandsingularoperators[J].IntegralTransSpecFunct, 2005, 16(5-6)：461-482.

[8]DieningL.MaximalfunctionongeneralizedLebesguespacesLp(·)[J].MathInequalAppl, 2004, 7(2)：245-253.

[9]Cruz-UribeD,FiorenzaA,NeugebauerCJ.ThemaximalfunctiononvariableLpspaces[J].AnnAcadSciFennMath, 2003, 28(1)：223-238.

[10]NekvindaA.Hardy-LittlewoodmaximaloperatoronLp(·)(n)[J].MathInequalAppl, 2004, 7(2)：255-265.

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[12]MuckenhouptB.WeightednorminequalityfortheHardymaximalfunction[J].TransAmerMathSoc, 1972, 165(1)： 207-226.

[13]MusielakJ.Orliczspacesandmodularspaces[M].Berlin：SpringVerlag, 1983.

[14]KokilashviliV,SamkoS.OnSobolevtheoremforRiesz-typepotentialsinLebesguespaceswithvariableexponent[J].ZeitAnalAnwend, 2003, 22(4)：899-910．

Boundedness of Schr?dinger Operators with Nonnegative Potential on Variable Lebesgue Spaces

LV Qing ZHAO Kai

(School of Mathematics and Statistics,Qingdao University, Qingdao 266071, China)

Based on the boundedness of the Schr?dinger operators with certain potential on classical Lebesgue spaces, by using the Schr?dinger operators are controlled by the Hardy-Littlewood maximal operatorM, andMis bounded on the variable Lebesgue spaces, the boundedness of the Schr?dinger operators with nonnegative potential on variable Lebesgue spaces is obtained.

Schr?dinger operator, nonnegative potential, variable Lebesgue space, Hardy-Littlewood maximal operator, boundedness

2017-02-15

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11471176)資助

趙凱，E-mail：zhkzhc@aliyun.com.

O174.2

A

1672-6634(2017)02-0007-04