史密斯圓圖的原理分析及應(yīng)用

戢予 徐慶思 陳園園 蔣媚秋 何錦龍 重慶郵電大學(xué)光電工程學(xué)院重慶國(guó)際半導(dǎo)體學(xué)院

史密斯圓圖的原理分析及應(yīng)用

戢予 徐慶思 陳園園 蔣媚秋 何錦龍 重慶郵電大學(xué)光電工程學(xué)院重慶國(guó)際半導(dǎo)體學(xué)院

本文以傳輸線理論為基礎(chǔ)，由電壓反射系數(shù)的推導(dǎo)分析出反射系數(shù)相位與位置d呈負(fù)相關(guān)，由此畫(huà)出單位圓的反射系數(shù)圖。通過(guò)用阻抗平面及反射系數(shù)平面之間的保角變換，推導(dǎo)出歸一化阻抗。然后用復(fù)數(shù)平面直角坐標(biāo)系得出電阻圓，電抗圓的公式。之后通過(guò)電阻圓和電抗圓在反射系數(shù)平面畫(huà)出完整的史密斯圓圖，最終完成了史密斯圓圖的推導(dǎo)。最后闡述了史密斯圓圖在阻抗匹配方面關(guān)于集總參數(shù)元件L節(jié)匹配、λ/4阻抗變換器、支節(jié)匹配器的應(yīng)用。

傳輸線理論 反射系數(shù) 史密斯圓圖 阻抗匹配

1 概述

2 理論分析

2.1 傳輸線理論

（1）在l/λ>0.05時(shí)，傳輸線上的電壓和電流是入射波及反射波的疊加，不能直接測(cè)得電壓電流，但我們可以畫(huà)出傳輸線的集總參數(shù)等效電路后，通過(guò)基爾霍夫定律得到傳輸線方程：

再由此可以得到電壓、電流：

（2）傳輸線上任意一點(diǎn)的阻抗值都是該點(diǎn)處的電壓與電流之比，假設(shè)在無(wú)耗傳輸線上傳輸，綜合上面兩個(gè)式子即可得到輸入阻抗：

由該式子我們可以得出結(jié)論：傳輸線具有阻抗變換的作用，且在每隔λ/2時(shí)阻抗不變，在每隔λ/4時(shí)，變換為性質(zhì)完全相反的阻抗值。

（3）電壓反射系數(shù)是反射波電壓與入射波電壓的比值，在無(wú)耗情況下即為：

ΓL是負(fù)載端的反射系數(shù)，ΦL是終端反射系數(shù)的本身的相位，反射系數(shù)相位隨位置d的變化而變化，且因相位大小與d的大小呈負(fù)相關(guān)，所以順時(shí)針是向信號(hào)源方向，如圖1所示。這一點(diǎn)很重要，是使用史密斯圓圖的基礎(chǔ)。

圖1 單位圓內(nèi)表示的反射系數(shù)

圖2 史密斯圓圖

2.2 史密斯圓圖

（1）由上述推導(dǎo)可知傳輸線方程的解的過(guò)程過(guò)于復(fù)雜，為了簡(jiǎn)化傳輸線理論的計(jì)算，我們選擇史密斯圓圖這種圖解法將微分方程的求解簡(jiǎn)化。首先，在阻抗平面及反射系數(shù)平面之間進(jìn)行保角變換，則歸一化阻抗可以表示為：

再把該式子用復(fù)平面直角坐標(biāo)Γ=Γr+jΓi和z=r+jx表示出來(lái)后整理可得到：

由此，我們可根據(jù)電阻圓和電抗圓在反射系數(shù)平面內(nèi)畫(huà)出完整的史密斯圓圖（此處只考慮史密斯圓圖的阻抗圓圖），如圖2。

（2）由2.2中公式可以推導(dǎo)出史密斯圓圖的基本性質(zhì)：

①史密斯圓圖的實(shí)軸表示純電阻，處在最外面的大圓表示純電抗；

②處于圓圖上半部分的位置意味著元件呈感性，處于下半圓的位置呈容性；

③史密斯圓圖的圓心表示與特性阻抗值相等的純電阻；

④當(dāng)需要計(jì)算一段傳輸線在某個(gè)位置的等效阻抗時(shí)，需要圍繞史密斯圓圖的圓心沿等反射系數(shù)圓，根據(jù)向電源還是向負(fù)載決定是順時(shí)針還是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直到達(dá)到我們需要的位置，那該點(diǎn)的阻抗即為等效阻抗；

⑤假設(shè)電路負(fù)載接純電阻，當(dāng)負(fù)載值大于特性阻抗時(shí)，在史密斯圓圖上則位于圓心的右半實(shí)軸上，反之亦然；

⑥史密斯圓圖的開(kāi)路點(diǎn)為最右端的點(diǎn)，短路點(diǎn)是最左端的點(diǎn)；

⑦一個(gè)已知的阻抗值在史密斯圓圖上表現(xiàn)為等電阻圓和等電抗圓的交點(diǎn)；

⑧史密斯圓圖的重復(fù)周期為λ/2；

⑨已知阻抗，導(dǎo)納則是阻抗關(guān)于圓心中心對(duì)稱的點(diǎn)（即圍繞圓心旋轉(zhuǎn)180度）。

3 主要應(yīng)用——阻抗匹配

阻抗匹配是一種讓電路系統(tǒng)無(wú)反射傳輸，達(dá)到傳輸功率最大的一種手段，即Zin=Z0*，結(jié)合史密斯圓圖的主要實(shí)現(xiàn)方法有：

（1）集總參數(shù)元件L節(jié)匹配：若串聯(lián)電感或電容，則沿著等電抗圓旋轉(zhuǎn)；若并聯(lián)電感或電容，則沿等電納圓旋轉(zhuǎn)；若串聯(lián)電阻，則沿等電阻圓旋轉(zhuǎn)；若并聯(lián)電阻，則沿著等電導(dǎo)圓旋轉(zhuǎn)。

（2）λ/4阻抗變換器：該變換器的阻抗變換特性可表示為Zin=Z02/ZL，也就意味著在史密斯圓圖上是沿著等反射系數(shù)圓旋轉(zhuǎn)半圈，得到一個(gè)性質(zhì)與原來(lái)完全相反的阻抗值。

（3）支節(jié)匹配器：在傳輸線上合適的位置串聯(lián)或者并聯(lián)一段終端短路或者開(kāi)路的傳輸線段以實(shí)現(xiàn)匹配。在史密斯圓圖上的實(shí)現(xiàn)步驟是，首先把負(fù)載等效到R=1的等電阻圓上或者G=1的等電導(dǎo)圓上，在這樣一個(gè)合適的位置上，再通過(guò)接上那一段終端短路或開(kāi)路的支節(jié)傳輸線段消除虛部，完成共軛匹配。

4 總結(jié)

史密斯圓圖是一種常用的簡(jiǎn)化傳輸線理論的圖解法。本文對(duì)它的原理進(jìn)行了簡(jiǎn)單分析及推導(dǎo)，總結(jié)出了它的九點(diǎn)基本特性，簡(jiǎn)要介紹了史密斯圓圖在射頻微波電路中最主要的應(yīng)用——阻抗匹配，以及如何使用史密斯圓圖進(jìn)行阻抗匹配。

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