由一道超幾何分布題目引發(fā)的思考

王運(yùn)行

超幾何分布是人教A版選修2-3中的內(nèi)容，也是概率統(tǒng)計(jì)中學(xué)生理解起來(lái)比較困難的一部分內(nèi)容。教材中對(duì)于超幾何分布是以數(shù)學(xué)模型的定義形式給出，定義形式與二項(xiàng)式分布極為近似，很容易混淆。那么超幾何分布與二項(xiàng)式分布之間到底有沒(méi)有聯(lián)系呢？接下來(lái)筆者將引用2017年甘肅省第二次診斷考試18題對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行探究。

這道題的內(nèi)容是：甘肅省瓜州縣自古就以盛產(chǎn)“美瓜”而名揚(yáng)中外，生產(chǎn)的“瓜州蜜瓜”有4個(gè)系列30多個(gè)品種，質(zhì)脆汁多，香甜可口，清爽宜人，糖含量達(dá)14%～19%，是消暑止渴的佳品，有詩(shī)贊曰：冰泉浸玉露，霸刀破黃金：涼冷消晚暑，清甘洗渴心。調(diào)查表明，蜜瓜的甜度與海拔高度、日照時(shí)長(zhǎng)、溫差有極強(qiáng)的相關(guān)性，分別用x，y，z表示蜜瓜甜度與海拔高度、日照時(shí)長(zhǎng)、溫差的相關(guān)程度，并對(duì)它們進(jìn)行量化：0表示一般，1表示良，2表示優(yōu)。再用綜合指標(biāo)W=x+y+z的值評(píng)定蜜瓜的等級(jí)，若W≥4，則為一級(jí)；若2≤W≤3，則為二級(jí)；若0≤W≤1，則為三級(jí)。近年來(lái)，周邊各省也開(kāi)始發(fā)展蜜瓜種植，為了了解目前蜜瓜在周邊各省的種植情況，研究人員從不同省份抽取了10塊蜜瓜種植地，得到如下結(jié)果：

■

（1）若有蜜瓜種植地110塊，試估計(jì)等級(jí)為一級(jí)的蜜瓜種植地的數(shù)量；

（2）在所取樣本的二級(jí)和三級(jí)蜜瓜種植地中任取兩塊，X表示取到三級(jí)蜜瓜種植地的數(shù)量，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望。

這道題的第（2）問(wèn)考查內(nèi)容很簡(jiǎn)單，分析題目條件就可以發(fā)現(xiàn)，這道題是“無(wú)放回”抽取，是超幾何分布，分布如下：

■

可得E（X）=1×■+2×■=■

但是很多學(xué)生沒(méi)有讀懂題意，將“無(wú)放回”抽取當(dāng)做了“有放回”抽取，于是把這道題當(dāng)做一道二項(xiàng)分布去做，分布列如下式：

■

得到此時(shí)。E（X）=1×■+2×■=■

觀察結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)兩種方法的計(jì)算結(jié)果竟然是相同的。這到底是偶然，還是超幾何分布與二項(xiàng)式分布的期望真的存在某種必然性的聯(lián)系，這個(gè)問(wèn)題引發(fā)了筆者的思考，并就此進(jìn)行了一系列的探究。

我們首先猜想將不放回的“超幾何分布”題目改變?yōu)橛蟹呕氐摹岸?xiàng)分布”時(shí)，兩種情況所得到的期望相同。

由此產(chǎn)生如下證明：有N件產(chǎn)品，其中M件是次品，有放回地任意抽取n件，則其中恰好抽到的次品件數(shù)X是服從二項(xiàng)分布，即X～B（n，p），其中P=■，其中n≤M≤N

■

那么由二項(xiàng)分布的性質(zhì)可知E（X）=np=n■

若將上述問(wèn)題中“有放回”改為“無(wú)放回”：有N件產(chǎn)品，其中M件次品，無(wú)放回地任意抽取n件，則其中恰好抽到的次品件數(shù)X是服從超幾何分布的，其中n≤M≤N，其分布列

■

那么E（X）=■k■，由組合數(shù)的性質(zhì)：KCkm=

MCk-1M-1，nCnN=NCn-1N-1

E（X）=■k■=■■=■■

=■■Cn-kN-M·Ck-1M-1

注意到：（1+x）N-M·（1+x）M-1=（1+x）N-1

由兩邊xn-1系數(shù)相等，得

Cn-1N-M·C0M-1+Cn-2N-M·C1M-1+…+Cn-kN-M·CkM-1+…+C0N-M·Cn-1M-1=Cn-1N-1即

■Cn-kN-M·Ck-1M-1=Cn-1N-1

所以E（X）=■k·■=n·■

由以上證明可得猜想正確。

結(jié)論：將不放回的“超幾何分布”題目改變?yōu)橛蟹呕氐摹岸?xiàng)分布”時(shí)，兩種情況所得到的期望相同，這個(gè)結(jié)論在解決有關(guān)超幾何分布期望的選擇題以及填空題的過(guò)程中可以快速地判斷結(jié)果，為學(xué)生在考試過(guò)程中節(jié)省時(shí)間。