妙用數(shù)學思想，提升不等式教學有效性

袁龍

高中本來跟以前學習的知識有所差別，在以前的基礎(chǔ)上跨了很大的一個臺階，這尤其體現(xiàn)在高中數(shù)學上，其中不等式更是成了數(shù)學中的難題。好多學生遇到不等式就會放棄，因為他們覺得花了時間也不會做對，尤其是帶有絕對值的不等式問題，也不知道怎么記才能夠分清不等號方向的問題。這時，有必要采取一種方法，讓學生對不等式學習產(chǎn)生興趣，只要巧用一些數(shù)學思想，學習不等式就會變得簡單些。

一、數(shù)形結(jié)合，平移找解

一直以來，數(shù)形結(jié)合的方法就備受老師和學生喜愛，因為數(shù)形結(jié)合能巧妙的繁瑣的數(shù)學知識通過圖形表示出來。學生通過這種方法，可以靈活的決解數(shù)學中的偏題，怪題，這種方法在高中數(shù)學中更是體現(xiàn)的淋漓盡致。教師應(yīng)該采取適當?shù)姆椒ㄔO(shè)計課程，寓數(shù)于形，以形于數(shù)來幫助學生解決抽象的數(shù)學問題，從而提高學生學習興趣，將高中數(shù)學學習到極致。

為讓學生更好的理解數(shù)形結(jié)合這種思想我給學生設(shè)計了這樣一道例題讓學生做。那個題是這樣說的，線段PQ中P（-1，1），Q（2，2）的坐標已知，此時直線l：x+my+m=0與PQ的延長線相交于一點，求m的取值范圍。剛開始做的時候，學生解題的花樣很多，但不得不說有些方法太過繁瑣了。比較簡潔的解題步驟是這樣的，首先可將x+my+ m=0化解一下，點斜式的形式：y+1= -1/m（x-0），從而得出l經(jīng)過一個定點M（0，-1），且k=-1/m。然后進一步分析利用數(shù)形結(jié)合知識可以得到：當過M且與PQ平行時，此時可以看出l的斜率是最小的；當過M、Q時，l的斜率近似于最大。

從上面的解題過程可以看出，有時候綜合使用“數(shù)形轉(zhuǎn)換”，理解數(shù)形轉(zhuǎn)換的實質(zhì)，遇到實際問題從數(shù)形轉(zhuǎn)換著手，就一定會在有限的時間解出問題。根據(jù)數(shù)形結(jié)合所特有的適用條件，解題時首先考慮數(shù)形結(jié)合，那么我想，任何難題都將會迎刃而解。

二、分類討論，篩選條件

我分析了近幾年的高考試題，然后對每年高考試題中涉及不等式分類討論的題型、分值、依據(jù)分類的因素，和解決它所用的知識做了一些簡單的統(tǒng)計。發(fā)現(xiàn)在高考題中，好多題目都需要分類討論，其中有涉及有帶參數(shù)的分類討論，以及排列組合的分類討論還有考慮直線斜率存不存在、不等式的運算性質(zhì)等等。由此可見，分類討論是非常重要的一種數(shù)學思想，掌握好它學好數(shù)學就非常簡單了。

將分類討論應(yīng)用于課堂上，從而然學生體會到數(shù)學有時候還很有趣。于是我是這樣設(shè)計我的教學課程的：如案例二所示：設(shè)m∈R，解關(guān)于x的不等式m2x2+2mx-3<0。首先分析：進行分類討論求解。感覺這種分類有點難把握，學生需要把所有的種類都考慮進去，先分為兩種情況，在m=0的條件下，-3<0恒成立，從而得出原不等式的取值范圍為R。當m≠0時，原不等式化為（mx+3）（mx-1）<0；接著分析時m不等于0又可分兩類即m>0時，解得 ；當m<0時，解得 。通過以上的解題過程可以得出一些結(jié)論，在遇到不等式的解題中，因為m∈R，所以，以前的不等式解法不太適用。當m=0，我們可以把式子化解為-3<0，因為它的解集為R，大家要在實際操作時候分為兩種情況，即m=0，m≠0經(jīng)過計算得出m2x2+2mx-3=0 它的兩個解為 ，

，好多學生這時就會犯一個錯誤即 。然而這時也應(yīng)該分情況來討論：當m>0時， ；當m<0時， 這兩種情況。我通過引導(dǎo)學生步步分類討論，指導(dǎo)著學生在條件中篩選條件，進而使學生輕松的做出這道題。

從上面的證明可以看出：教師引導(dǎo)學生進行分類討論，拓展課本知識。在課下，學生可以修改一下課本中的例題或者課后題，將它們用分類討論的形式解出來。而且學生要重視知識的質(zhì)變和量變過程，將分類討論方法加強應(yīng)用。

三、化歸轉(zhuǎn)化，確定范圍

在新課改下，轉(zhuǎn)化與規(guī)劃在高中數(shù)學中顯得異常重要，所以教師在授課時要積極的把這種方法引入教學中，讓學生可以很好的掌握這種方法?；瘹w轉(zhuǎn)化的教學方式是，利用轉(zhuǎn)化關(guān)系，把需要解決的問題或者不知道的問題轉(zhuǎn)化到學生能力范圍之內(nèi)，用所知道的知識解決不知道的知識，或者難的知識轉(zhuǎn)化成簡單的。

學生做題時遇到一些比較難的問題時常常會感到無從下手，于是就放棄的了。其實，這時只要學生轉(zhuǎn)化一下思想，把這個題目與所學的簡單的知識相互轉(zhuǎn)化一下，難題就迎刃而解了。我給學生舉了這樣一道例題：已知△ABC中，若A= ，求證：c-a< 首先我?guī)ьI(lǐng)學生進行分析題目，題是這樣說的；題中告訴的是關(guān)于角跟角之間的關(guān)系，但要求的確實邊跟邊的關(guān)系。這時，學生不要慌感覺沒聯(lián)系的東西怎么會出現(xiàn)在一道題上，此時應(yīng)該分析，題目應(yīng)該是考察轉(zhuǎn)化知識，將角設(shè)法轉(zhuǎn)化到邊上，所以使用正弦定理：a/sinA= b/sinB=c/sinC=2R進行等價轉(zhuǎn)化。首先由A= 即C=2A，得出B=π-（A+C）=π-3A。

這一步是大家都熟悉的，接著可以寫出sinB=sin（π-3A）=sin3A，此時，sinB，sinC都用sinA表示了，進而寫出sinC-sinA- sinB=sin2A-sinA- sin3A對這個式子化解一下得到- sinA（2cosA-1）2<0即sinC-SinA< sinB。最后使用正弦定理得：c-a< ，如此一來，也就將角的問題完美的轉(zhuǎn)化到邊的問題上了

通過上邊的例題可以看出，當遇到已知條件跟需要求的問題不一致時，學生不要感到無從下手，此時應(yīng)該轉(zhuǎn)化一個思想，將已知條件轉(zhuǎn)化為解題所需要的，從中尋找到解決問題的突破口。

總之，將數(shù)學一些數(shù)學思想巧妙地用于解題過程中，會使高中數(shù)學不像想象中的那么難。高中數(shù)學中的不等式也是這樣，學生掌握了解題技巧后不僅看到書本不發(fā)愁，還使得解題速度及解題的準確性得到很大的提高。

（作者單位：江蘇省海門市第一中學）