創(chuàng)新教材題目使用有效激活數(shù)學教學

黃穎

【內容摘要】教材中的題目都是精心挑選和設計的，是課堂教學的重點，教師需要根據(jù)學情，對書本中的題目進行深入挖掘、引申、進行創(chuàng)造性的設計，發(fā)揮課程教材應有的功能。文章闡述了如何創(chuàng)新教材題目使用，有效激活數(shù)學教學，從而培養(yǎng)學生的思維能力的問題。

【關鍵詞】教材開發(fā) 題目資源 思維能力

人教版數(shù)學課程教材中所安排的例題、習題、復習題普通較少。其目的就是給教師有充分的自由度，以便教師根據(jù)本地的社情和自己的生情適當補充例題。但當前數(shù)學教學中往往存在著部分教師對教材題目挖掘不深，解決了一個數(shù)學問題后，就此止步。這樣容易造成教學中的疏漏和失誤。一方面，使教材固有的資源和課堂教學時間白白浪費。另一方面，使學生起碼的知識遷移能力得不到有效的訓練，創(chuàng)新思維和實踐能力得不到應有的培養(yǎng)。卻盲目補充大量的例題、練習題等，使部分學生陷入了新題海戰(zhàn)術的泥潭。致使新課標下培養(yǎng)的大多數(shù)學生還停留在模仿的層面上，學生只會解決教師講過，平時練過的數(shù)學問題，碰到新型的數(shù)學問題如入霧里，無所適從。這與新課標的要求大相徑庭。數(shù)學課標明確指出：學生經(jīng)過義務教育階段的數(shù)學學習，能夠適應未來社會生活和進一步發(fā)展所必須的數(shù)學知識，學會用數(shù)學的思維方式，去觀察、分析現(xiàn)實社會，去解決生活中的問題，具有一定的創(chuàng)新精神和實踐能力，在情感態(tài)度和價值觀等方面有進一步的發(fā)展。所以，教師進一步領會課程教材實質，充分挖掘教材題目的內涵，努力發(fā)揮課程教材固有的功能，來培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和思維能力。因此，數(shù)學教師應著力研究如何挖掘與創(chuàng)新運用教材中的題目資源，有效激活數(shù)學教學，從而培養(yǎng)學生的思維能力。

一、發(fā)散式引發(fā)教材題目

發(fā)散式思維又稱輻射思維、擴散思維和求異思維。它是一種創(chuàng)新思維。教師在授課時要誘發(fā)學生從一個數(shù)學問題出發(fā)，多方面、深層次地去思考、探索。縱橫聯(lián)想所學的知識，融合不同部分的數(shù)學知識和思想方法，對培養(yǎng)學生思維的多向性大有幫助。

如問題1：設計一本長為27cm，寬為21cm的書的封面，要求正中央是一個與整個封面長、寬比例相同的矩形。如果使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的1/4，上下邊襯等寬，左右邊襯等寬，應當如何設計四周邊襯的寬度？

分析并解決了例題的問題后，教師應引導學生繼續(xù)思考，將上個問題變成問題2：四周的邊襯等寬時，且使彩邊占總面積的1/2時，求四周邊襯寬度（作為練習）。教師繼續(xù)引導學生思考，書的封面變成一張2倍尺寸的硬紙片，在四角上各裁去一個小正方形制成一個無蓋鞋盒，當此小正方形的邊長為多少時，使制成鞋盒的底面積是原矩形面積的一半？若要制成的鞋盒是有蓋的呢？

教師還應該繼續(xù)引發(fā)問題。假如以上矩形是某鎮(zhèn)中心花園，長為27m，寬為21m，現(xiàn)要在這塊園地上開辟一個花圃。使花圃的面積等于原矩形面積的一半。應如何設計？設計得越多越好。（可延伸到課外）

以上就是通過將書本的一個例題進行拓展，延伸，引導學生去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題。這樣充分發(fā)揮了學生的主體作用，張揚了個性，披露了靈性，有利于學生思維的拓展。

又如：求證等腰三角形底邊上的任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高，引導學生將文字翻譯成幾何語言，即已知，在△ABC中，AB=AC，點D為BC上的任意一點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，CG⊥AB于G。求證：DF+DE= CG。

數(shù)學教育家G·波利亞提倡主動性學習，基本原則是“學習任何東西，最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)。”因此，教師利用△BDE或△CDF的模型進行翻折，使學生悟出兩種基本的解題方法（延接法，截割法）。在此基礎上教師還應引導他們，由于DE、DF、CG都垂直于AB或AC，且AB=AC，所以嘗試用三角形的面積法，師生共同完成后，教師告訴學生還有其他證明的方法，希望學生課外繼續(xù)探究。

條條大路通羅馬。解題和走路一樣，數(shù)學問題的解法往往大多不是單一的。每解完一道題，教師要善于引導學生進行周密地思考分析：是否有規(guī)律可尋找，能否從特殊問題的解法中引伸出一般數(shù)學問題的通用性解法。這個問題解法有沒有與其他問題的解法相似或相同，通過比較、歸納，從而找出解答這一類問題的技巧和方法。這樣強化數(shù)學知識的運用，提高學生的知識遷移能力?？朔糠謱W生只會模仿的缺點，有利于創(chuàng)新思維的發(fā)展。

二、聯(lián)想式引發(fā)教材題目

聯(lián)想是一個數(shù)學問題想到另一個（類）數(shù)學問題的心理活動。因為創(chuàng)造離不開想象，想象離不開聯(lián)想。想象和聯(lián)想是創(chuàng)新思維的兩大支柱。所以，怎樣培養(yǎng)學生勇于發(fā)現(xiàn)問題、善于提出問題，這就要求教師能夠深入分析并把握知識之間的聯(lián)系，從學生的實際出發(fā)，依據(jù)學生的認知規(guī)律和思維特點，提出富有啟發(fā)性或趣味性的問題。教師可以針對課本題目設計一些開放性的教學內容，讓學生展開充分的聯(lián)想和想象。

如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高。根據(jù)上述條件，結合圖形寫出結論并加以證明。

問題一出，課堂頓時沸騰了。教師適時組織大家討論。

有的學生回答∠1=∠B，∠2=∠A；有的學生提出，既然∠1=∠B，∠2= ∠A，便可得出△ACD∽△CBD，進一步討論后得出：△ABC∽△ACD∽△CBD；又有學生認為，有相似就有對應線段成比例……教師都一一給予肯定，并要求學生通過對應線段正比例找出等積式，這樣大多數(shù)同學都能得出：CD2=AD·BD，BC2=BD·AB，AC2= AD·AB。如果見到有兩條直角邊AC、BC的平方，教師就提醒：將兩直角邊的平方加起來試試。于是學生迅速得出AC2+BC2=AB2。學生興趣高漲。繼續(xù)探究，根據(jù)面積法可得出AB·CD=BC·AC。如果知道兩直角邊，就可求出斜邊上的高CD= ，這比用其他方法求解容易多了。

這道例題充分激發(fā)學生探求問題結論的興趣，實現(xiàn)了靈活運用數(shù)學知識、開發(fā)智力、提高能力的教學目標。在數(shù)學解題中，教師指導學生進行大膽而合理的聯(lián)想和猜想，往往有利于學生發(fā)現(xiàn)問題的結論，找到解決問題的途徑，有利于培養(yǎng)創(chuàng)新思維。

三、改變式引發(fā)教材題目

改變會產(chǎn)生創(chuàng)造。教師要善于引導學生的原材料上進行“改組、顛倒、迭加”等。將新的數(shù)學問題展現(xiàn)在學生的面前，使學生感到好奇，進而用新視角去觀察，發(fā)現(xiàn)問題，并尋找解決問題的途徑和方法。

例如：九年級教材中：有塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高線AD=80mm。

如圖（1），要把它加工成正方形零件，使正方形的邊在BC邊上，問加工成的正方形零件的邊長是多少mm？

在分析并解決原題的基礎上，教師應引導學生將問題不斷展開：

（1）當其他條件不變，而截去的是矩形時，能否求出該矩形的最大面積？帶著這個問題，讓共桌學生展開討論、交流。經(jīng)過合作交流后，多數(shù)學生會利用二次函數(shù)的最值求得矩形的面積。

（2）去掉使正方形的邊在BC邊上的條件時，這個正方形與△ABC的位置關系有哪些情況？①正方形的一邊FG在△ABC的外部，能否求出該正方形的邊長？（師生共同分析探索，說明不能求出正方形的邊長）。然后引導學生編擬出函數(shù)問題，設正方形EFGH與△ABC 的重疊部分的面積為y，正方形的邊長為x，求y與x之間的函數(shù)關系式，并求出自變量x的取值范圍。②正方形的一邊FG在△ABC的內部，其他同上。

（3）教師深入引導學生開展探究活動：把以上的正方形改為等腰直角三角形EFG的EG平行于BC，點F與點A在EG的兩側，設此等腰直角三角形與△ABC的公共部分的面積為y，斜邊EG為x，求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍。

布魯納指出，“教學過程是一種提出問題和解決問題的持續(xù)不斷的活動?！睂W生的思維往往是遇到問題時，才凸顯出格外活躍的狀態(tài)，問題或問題的發(fā)現(xiàn)是創(chuàng)新思維的“啟動器”，正是說明了這個道理。由此可見，教師在教學中能夠引領學生充分挖掘課程教材三題的潛在功能，對其進行合理的改變。不僅開闊了學生思路，提高了學習的效率，還使學生領略了探索、嘗試的全過程。使他們學會了觀察、分析、綜合、概括等方法。鍛煉了歸納、演繹等推理能力，提高了學生的思維品質，促進了創(chuàng)新思維的發(fā)展。

四、歸納式引發(fā)教材題目

歸納是一種由特殊的和具體的認識推導出一般性結論的認識方法。歸納式引發(fā)要求學生分析特殊的事例，找出隱含在其背后的一般規(guī)律，然后又借助進一步的特殊化去檢驗一般規(guī)律的正確性，以訓練學生綜合分析能力和綜合概括能力等。

如：（1）三角形ABC中，CB=a，D1、E1是AB、AC的中點，D2、E2是AD1、AE1的中點，則D2E2=_____；……

DnEn是ADn-1、AEn-1的中點，則DnEn=____

（2）若D2、E2是BD1、CE1的中點，D3、E3是BD2、CE2的中點，則D3E3=____；……

Dn、En分別是Dn-1B、En-1C的中點，則DnEn=____（n≥1的正整數(shù)）

再如：觀察下列等式32-12=8；72-52=24；92-72=32……

經(jīng)過以上系統(tǒng)性的特殊化，學生可以獲得以下的一般規(guī)律，即任何兩個相鄰奇數(shù)的平方差都是8的倍數(shù)：（2n+ 1）2-（2n-1）2=4n×2=8n，反過來，以可用特殊化對一般性結論進行檢驗。當n=20時，側412-392=20×8。教師還可以引導學生對相鄰偶數(shù)的平方差作出猜想，并加以證明。

科學上的創(chuàng)新，總是在總結前人成果的基礎上發(fā)展得來的。學生每解決一個數(shù)學問題后，教師都應該引導學生對該問題進行分析、概括、總結、反思、使學生從特殊的、具體的問題中領悟出一般的、普遍的規(guī)律，不斷培養(yǎng)學生的總結、歸納、反思的能力。

著名數(shù)學家笛卡兒說：“世界上最有價值的知識是關于方法的知識?！笔谥隰~，不如授之漁的寓意也就在此。教師立足教材并且創(chuàng)造性地使用教材，巧妙引發(fā)數(shù)學問題，又防止學生“一葉障目，不見泰山”。學生學會多角度、多領域地審視數(shù)學問題，不斷發(fā)現(xiàn)新問題，提出新見解，揭示新規(guī)律，解決新問題。這樣學生才能逐步從模仿走向創(chuàng)新。

【參考文獻】

[1] 耿飛飛. 數(shù)學習題教學中知識促進能力的發(fā)展[J]. 課程·教材·教法，2014 （2）.

[2] 何金明、楊柳. 數(shù)學例題教學研究[J]. 教學與管理，2016（1）.

（作者單位：浙江省臺州市黃巖區(qū)院橋初級中學）