數(shù)形結(jié)合，提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力

王燕楠

在高中數(shù)學(xué)中，有好多種解題方法被大家廣泛應(yīng)用，其中數(shù)形結(jié)合思想更是一種非常基礎(chǔ)但又很重的數(shù)學(xué)解題方法。數(shù)形結(jié)合就是是將抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，從而將代數(shù)與幾何結(jié)合起來(lái)。數(shù)形結(jié)合包括兩個(gè)方面：“以數(shù)化形”，和“以行變數(shù)”，學(xué)生只有掌握了這兩種方法，并能靈活的應(yīng)用，那么學(xué)好高中數(shù)學(xué)也就指日可待了。

一、以數(shù)化形，理解內(nèi)容

以數(shù)化形是數(shù)學(xué)解題中最常用的一種方法，學(xué)生在理解那些抽象性比較高的數(shù)量關(guān)系時(shí)可能有一定的難度，無(wú)法形成深刻地理解和認(rèn)識(shí)，學(xué)習(xí)效果不理想。此時(shí)若引入“形”這一解題思路，通過(guò)直觀的圖形將數(shù)學(xué)難題展現(xiàn)出來(lái)，那么學(xué)生學(xué)習(xí)就不再感到有壓力了。

比如在學(xué)習(xí)了解方程讓求方程的不同解時(shí)，我設(shè)計(jì)了這樣的教學(xué)。我設(shè)計(jì)了這樣一道題讓學(xué)生學(xué)習(xí)，題是這樣設(shè)計(jì)的：

方程|x2-1|=a+1，討論a取不同值時(shí)x的值即此方程的解的個(gè)數(shù)。學(xué)生沒(méi)有一定的技巧做的話就會(huì)使問(wèn)題難度加大。但此時(shí)如果結(jié)合圖形來(lái)做，將數(shù)據(jù)理論形象化就會(huì)降低問(wèn)題的難度。首先分析這道題，可以看出這是一道一元二次方程加絕對(duì)值后求解，然后將這一個(gè)等式拆分成倆個(gè)式子即y=|x2-1|和y=a+ 1，如此一來(lái)解決這道題就可以利用圖形關(guān)系，也就是最終這道題的解法是求y=|x2-1|與y=a+1的交點(diǎn)。其實(shí)這時(shí)候?qū)W生再觀察這道題可以發(fā)現(xiàn)y=a+1，因?yàn)閍不是未知數(shù)，所以它的圖形就平行于x軸，且是一條直線。而y=|x2-1|就是一個(gè)簡(jiǎn)單的一元二次方程，它們?cè)趫D形中就如下面的圖形所示。通過(guò)圖形轉(zhuǎn)換，難題立馬變簡(jiǎn)單題。

在數(shù)學(xué)解題中，遇到難的數(shù)字化太強(qiáng)的題目，無(wú)從下手時(shí)，不妨試著換個(gè)思路，將數(shù)字轉(zhuǎn)化為圖形，說(shuō)不定就柳岸花明了。

二、以形變數(shù)，定量分析

在數(shù)學(xué)這門科學(xué)中，數(shù)學(xué)理論形式可以通過(guò)一定的圖形將數(shù)學(xué)理論展現(xiàn)出來(lái)，從而將有些數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化。同樣的，有時(shí)將圖形數(shù)字化也會(huì)起到簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)的作用，將圖形從形象化到數(shù)據(jù)的定量分析，會(huì)在解決實(shí)際問(wèn)題起到事半功倍的效果。

高中數(shù)學(xué)，無(wú)疑在以前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上上了一個(gè)階梯，這使許多學(xué)生立馬感到學(xué)習(xí)的難度遇到圖形題時(shí)更是無(wú)從下手。這時(shí)，以形變數(shù)，將圖形問(wèn)題定量化分析，會(huì)使學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不那么困難。比如我就此觀點(diǎn)設(shè)計(jì)了這樣的一道例題供學(xué)生深深的體會(huì)到以形變數(shù)的重要性。f（m）=m2-2nm+2，條件當(dāng)m在 [-1，+∞]，f（m）>n恒成立，求n的取值范圍。通過(guò)分析可以發(fā)現(xiàn)f（m）>n恒成立，即可以寫成m2-2nm+2-n>0恒成立。接著引入g（m），使g（m）=m2-2nm+2-n，這時(shí)它的圖像在自變量范圍內(nèi)都是大于0所以就位于x軸的上方。此時(shí)，應(yīng)用圖形顯然不能解決這道題，于是換個(gè)角度講，如此時(shí)利用判別式這個(gè)數(shù)學(xué)方法來(lái)做。問(wèn)題就迎刃而解了。分析題可以得出當(dāng)△=4n2-4（2-n）<0，可以得到n∈（-2，1），當(dāng)△=4n2-4（2-n）≥0時(shí)，可得到n<-1，且g（-1）>0，此時(shí)n∈（-3，-1）。如此一來(lái)，學(xué)生利用數(shù)學(xué)公式會(huì)又快又準(zhǔn)確的把題解出來(lái)。

是啊，從以上的解題過(guò)程中可以看出，雖然圖形可以直觀的展示出來(lái)，讓我們直觀的看出來(lái)，但對(duì)于一些涉及量化的知識(shí)圖形就做不到了，此時(shí)借助一些特有的數(shù)字公式或結(jié)論，會(huì)使問(wèn)題變得無(wú)比簡(jiǎn)單。

三、數(shù)形互變，靈活應(yīng)用

一直以來(lái)，數(shù)形互變就是所有老師最為提倡的一種解題方法，這種方法在高中數(shù)學(xué)中更是體現(xiàn)的淋漓盡致。教師應(yīng)該采取適當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)計(jì)課程，寓數(shù)于形，以形于數(shù)來(lái)幫助學(xué)生解決抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，將高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)到極致。

好多學(xué)生不能感受到這種解題方法的思想，所以為了讓學(xué)生能深刻的體會(huì)與掌握數(shù)形結(jié)合這種數(shù)學(xué)思路，我設(shè)計(jì)了這樣的課程。我給學(xué)生設(shè)計(jì)了這樣一道例題讓學(xué)生做。那個(gè)題是這樣說(shuō)的，線段PQ中P（-1，1），Q（2，2）的坐標(biāo)已知，此時(shí)直線l：x+my+m=0與PQ的延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)，求m的取值范圍。剛開始做的時(shí)候，學(xué)生解題的花樣很多，但不得不說(shuō)有些方法太過(guò)繁瑣了。比較簡(jiǎn)潔的解題步驟是這樣的，首先可將x+my+m=0化解一下，點(diǎn)斜式的形式：y+1=-1/m（x-0），從而得出l經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)M（0，-1），且k=-1/m。然后進(jìn)一步分析利用數(shù)形結(jié)合知識(shí)可以得到：當(dāng)過(guò)M且與PQ平行時(shí)，此時(shí)可以看出l的斜率是最小的；當(dāng)過(guò)M、Q時(shí)，l的斜率近似于最大。就得出kPQ=1/3，且kMQ=3/2。寫到這步答案就快出來(lái)了，因?yàn)榇酥本€的斜率大于kPQ且小于kMQ可以得出1/3<-1/m<3/2，最后得出m的取值范圍為-3

從上面的解題過(guò)程可以看出，有時(shí)候綜合使用“數(shù)形轉(zhuǎn)換”，理解數(shù)形轉(zhuǎn)換的實(shí)質(zhì)，遇到實(shí)際問(wèn)題從數(shù)形轉(zhuǎn)換著手，就一定會(huì)在有限的時(shí)間解出問(wèn)題，從而更好的應(yīng)用在數(shù)學(xué)解題中的一種方法。根據(jù)數(shù)形結(jié)合所特有的適用條件，解題時(shí)首先考慮數(shù)形結(jié)合，那么我想，任何難題都將會(huì)迎刃而解。

總之，將數(shù)學(xué)一些數(shù)學(xué)思想巧妙地用于解題過(guò)程中，會(huì)使高中數(shù)學(xué)不像想象中的那么難。高中數(shù)形結(jié)合更是這樣一種方法，學(xué)生掌握了解題技巧后不僅看到書本不發(fā)愁，還使得解題速度及解題的準(zhǔn)確性得到很大的提高。

（作者單位：江蘇省海門市第一中學(xué)）