例析“恒成立”問題的解題策略

福建省三明市寧化第一中學(xué) 涂海濱

例析“恒成立”問題的解題策略

福建省三明市寧化第一中學(xué) 涂海濱

不等式中恒成立問題是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和考試中最常見的題型之一。對于這類問題,學(xué)生經(jīng)常是束手無策,不知道從哪里下手,找不到問題的突破口,因而感覺十分困難。解決這類問題主要是運用化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、數(shù)形結(jié)合思想，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)在最值中的應(yīng)用予以求解。以下是筆者在平時的教學(xué)中的一些經(jīng)驗總結(jié)，著力在問題的類型特點和解答策略方面給大家一些思考和借鑒。

一、分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值法

這是解決含參數(shù)不等式恒成立問題的常見方法，即將參數(shù)與變量分離于不等式的兩邊，轉(zhuǎn)化為參數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系，然后根據(jù)題設(shè)中變量的取值范圍求出變量一側(cè)函數(shù)的最值，最終確定參數(shù)的范圍。這種方法可避免分類討論的麻煩，使問題得到簡單明快的解決，從而縮短解題的時間。這種方法適合于分離變量過程中，不等式的移項等步驟簡單明了，移項后變量一側(cè)函數(shù)的最值易求。具體示例如下：

二、數(shù)形結(jié)合，直觀求解法

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離?！薄皵?shù)”與“形”反映了事物兩個方面的特性，數(shù)形結(jié)合就是把抽象難懂的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀、形象的幾何圖形結(jié)合起來，通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，使復(fù)雜的問題簡單化、抽象的問題具體化，從而達(dá)到優(yōu)化解題過程的目的。許多不等式都可以通過移項，將一條含參數(shù)的動直線分離到不等式的一邊（筆者稱該法為分離動直線），或者通過移項，將兩個在同一處取到極值的函數(shù)分兩邊（筆者稱該法為分離同極值點函數(shù)），這類題型均可采用數(shù)形結(jié)合法求解，所以數(shù)形結(jié)合策略在不等式恒成立問題的解決過程中也扮演著重要的角色。

三、分類討論，直接求最值法

對于某些含參不等式恒成立問題，不易分離參數(shù)，也不易采取數(shù)形結(jié)合法，則可選擇討論含參函數(shù)的最值策略。具體示例如下：

四、端點效應(yīng)，求出參數(shù)范圍的必要性，再證明所求范圍的充分性

“分類討論，直接求最值法”是解決恒成立問題的基本方法，但分類討論是大部分學(xué)生懼怕的過程，對于某些不等式的恒成立問題中，變量范圍的端點會使得該不等式的左右兩邊式子恒相等，則可使用端點效應(yīng)法，此法可使問題得到簡單明快的解決，從而縮短解題的時間。示例如下：

五、函數(shù)比較，單調(diào)性法

在雙變量恒成立問題中，若兩變量分兩邊后，左右兩邊的函數(shù)形式一致，即可利用函數(shù)單調(diào)性來解決。示例如下：

六、整合變量，變更主元

在雙變量恒成立問題中，若兩變量可整合成一個變量，即可轉(zhuǎn)換為單變量的恒成立問題來解決，示例如下：

“恒成立”問題能夠把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來，而且此類問題滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等重要數(shù)學(xué)思想方法，因此也成為歷年高考的一個熱點。本文著力歸納了常見的“恒成立”問題的題型與解題策略，希望能給備考中的老師和同學(xué)帶來些許幫助。