X形超阻尼局域共振聲子晶體梁彎曲振動(dòng)帶隙特性?

杜春陽 郁殿龍劉江偉 溫激鴻

(國防科學(xué)技術(shù)大學(xué),裝備綜合保障技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長沙 410073)

X形超阻尼局域共振聲子晶體梁彎曲振動(dòng)帶隙特性?

杜春陽 郁殿龍?劉江偉 溫激鴻

(國防科學(xué)技術(shù)大學(xué),裝備綜合保障技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長沙 410073)

(2017年3月7日收到;2017年4月19日收到修改稿)

以聲子晶體理論為基礎(chǔ),設(shè)計(jì)了一種具有超阻尼特性的X形局域共振結(jié)構(gòu),分析了周期性附加X形局域共振的梁彎曲振動(dòng)傳播特性.利用拉格朗日方程分析了X形局域共振結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等效特性,揭示了該結(jié)構(gòu)的阻尼放大的機(jī)理,分析了幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)于帶隙特性的影響,并利用有限元法驗(yàn)證了X形局域共振結(jié)構(gòu)的超阻尼特性.研究結(jié)果表明,周期性附加X形局域結(jié)構(gòu)能夠有效地抑制低頻彎曲振動(dòng)在梁中的傳播,產(chǎn)生超阻尼特性,實(shí)現(xiàn)低頻、寬帶的減振效果,為結(jié)構(gòu)的低頻減振提供了一個(gè)新的設(shè)計(jì)方案.

聲子晶體,帶隙,超阻尼,幾何非線性

1 引 言

振動(dòng)是一種普遍的物理現(xiàn)象,由于振動(dòng)或沖擊而產(chǎn)生的共振、疲勞破壞等危害到國民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)領(lǐng)域,如航空航天、儀器儀表、機(jī)械動(dòng)力、交通運(yùn)輸以及軍事國防工業(yè)等[1].而且隨著科學(xué)技術(shù)和國民經(jīng)濟(jì)的日益發(fā)展,對(duì)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)抗振性能提出了越來越高的要求[2].

近年來凝聚態(tài)物理領(lǐng)域聲子晶體理論的興起,為振動(dòng)的控制提供了一種新的思路[3,4].周期性結(jié)構(gòu)的帶隙特性已經(jīng)有了較為廣泛的發(fā)展：2014年,舒海生等[5]針對(duì)工程常用多桿結(jié)構(gòu),構(gòu)造一類布拉格聲子晶體T形桿,拓寬了減振頻帶,獲得了良好的振動(dòng)衰減效果;2017年,Ma等[6]基于三維各向異性局域共振振子,設(shè)計(jì)了一種內(nèi)嵌式的超材料,并通過實(shí)驗(yàn)證明該結(jié)構(gòu)可以選擇性的對(duì)各類振動(dòng)進(jìn)行抑制,開創(chuàng)了彈性波分離控制的新方法;2000年,Liu等[7]首次提出了局域共振型聲子晶體概念,由于局域共振聲子晶體具有“小尺寸控制大波長”的特點(diǎn),因而局域共振聲子晶體在低頻減振降噪中具有廣泛的應(yīng)用前景.如何設(shè)計(jì)局域共振結(jié)構(gòu)目前已經(jīng)得到高度關(guān)注;2013年,吳九匯等[8]設(shè)計(jì)了一種新型的螺旋局域共振單元聲子晶體板結(jié)構(gòu),并結(jié)合數(shù)值計(jì)算和試驗(yàn)驗(yàn)證了其良好的低頻振動(dòng)帶隙特性;2016年,張印等[9]針對(duì)低頻結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制,設(shè)計(jì)了一種質(zhì)量放大局域共振型聲子晶體并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了對(duì)低頻減振的良好效果;2016年,張佳龍等[10]提出了一種雙包覆層局域共振聲子晶體結(jié)構(gòu);同年,祁鵬山等[11]提出了一種四角連接局域共振聲子晶體;陳琳等[12]設(shè)計(jì)了一種基于局域共振機(jī)理的帶瓣型結(jié)構(gòu)的聲學(xué)超材料.隨著超材料概念的發(fā)展,一些新的超常物理特性得到關(guān)注,如超阻尼現(xiàn)象.2013年,Hussein和Frazier[13]通過對(duì)彈簧質(zhì)量鏈超材料的研究提出了阻尼產(chǎn)生現(xiàn)象,為設(shè)計(jì)具有高阻尼、高剛度的結(jié)構(gòu)提出了一種新思路. 2015年,Nouh等[14]通過理論與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了添加周期局域共振振子板的超阻尼現(xiàn)象.2015年,Frazier和Hussein[15]通過引入黏彈性阻尼對(duì)于彈簧質(zhì)量鏈結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析,進(jìn)一步揭示了該系統(tǒng)超阻尼現(xiàn)象的機(jī)理.但是這種超阻尼現(xiàn)象主要是局域共振聲子晶體比布拉格聲子晶體阻尼增強(qiáng),超阻尼局域共振結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)研究相對(duì)較少.

非線性減振理論也得到了深入研究,X形隔振器具有非線性等特點(diǎn),能夠產(chǎn)生較好的非線性剛度與阻尼,因而得到廣泛關(guān)注.在20世紀(jì)90年代,汽車工程首次采用了斜支承彈簧幾何非線性減振系統(tǒng),其減振效果優(yōu)于彈簧線性減振系統(tǒng)的減振效果.1997年,吳強(qiáng)等[16]利用有限元法研究了小應(yīng)變中轉(zhuǎn)動(dòng)幾何非線性情況下黏彈性材料梁的振動(dòng)響應(yīng)問題.2008年,吳曉和楊立軍[17]分析了懸掛彈簧幾何非線性減振系統(tǒng)的固有振動(dòng)特性,通過改變彈簧傾斜角,使懸掛彈簧系統(tǒng)處于軟彈簧特性區(qū)域來進(jìn)行減振.2015年,Liu等[18]設(shè)計(jì)了一種X形結(jié)構(gòu)的減振器,并從理論上分析了其相對(duì)于經(jīng)典結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn),指出X形結(jié)構(gòu)存在幾何非線性,相比于經(jīng)典的彈簧振子結(jié)構(gòu),具有非線性剛度和阻尼的特點(diǎn),振動(dòng)衰減效應(yīng)更佳.2015年,Sun和Jing[19]從幾何非線性出發(fā),設(shè)計(jì)具有非線性剛度、阻尼和摩擦力的剪刀型隔振器,從理論層面分析了其良好的隔振性能,并于2016年對(duì)剪刀型隔振器進(jìn)行了進(jìn)一步改善并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[20].

為了實(shí)現(xiàn)低頻、寬帶減振效果,提高結(jié)構(gòu)的阻尼特性,本文結(jié)合聲子晶體理論和X形結(jié)構(gòu)特點(diǎn),設(shè)計(jì)了一種具有超阻尼特性的X形局域共振結(jié)構(gòu),并分析其彎曲振動(dòng)帶隙特性及減振特性.

2 X形局域共振結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模

圖1(a)所示為無限周期結(jié)構(gòu)示意圖,在基體梁上周期性地掛接X形局域共振結(jié)構(gòu)形成聲子晶體梁,單元的尺寸即晶格常數(shù)為a.圖1(b)為單個(gè)周期結(jié)構(gòu)示意圖,在梁?jiǎn)卧蠏旖覺形局域共振結(jié)構(gòu),X形局域共振結(jié)構(gòu)的主要框架由四根長度為l0的輕質(zhì)桿件構(gòu)成,桿件依次連接.在四個(gè)節(jié)點(diǎn)I,II, III,IV處,桿件只能以節(jié)點(diǎn)為中心繞z軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn).彈簧的剛度為k2,掛接在I,III兩個(gè)節(jié)點(diǎn)上.II,IV兩個(gè)節(jié)點(diǎn)處分別掛接兩個(gè)質(zhì)量為m/2的質(zhì)量塊.θ是初始狀態(tài)下輕質(zhì)桿與水平方向的夾角.

圖1 周期附加X形結(jié)構(gòu)的局域共振梁結(jié)構(gòu)示意圖 (a)無限周期結(jié)構(gòu);(b)單元結(jié)構(gòu)Fig.1.The sketch of local resonance beam with periodic X-shape structure：(a)In fi nite period structure;(b)local resonance unit.

2.1 X形局域共振結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等效

簡(jiǎn)化模型如圖2所示,其中m/2是振子質(zhì)量, k2是彈簧的剛度,u1是質(zhì)量塊的位移,u2是節(jié)點(diǎn)的位移,l0是輕質(zhì)桿的桿長,θ是初始時(shí)刻輕質(zhì)桿與水平方向的夾角.

由幾何關(guān)系可知,X形局域共振結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的變形可由角度φ和u1方向位移表示[21]：

其中φ是運(yùn)動(dòng)過程中X形局域共振結(jié)構(gòu)輕質(zhì)桿與水平夾角的變形,假設(shè)質(zhì)量在小位移下只考慮在水平方向上的位移,可以確定振子的能量方程：

利用拉格朗日方程,對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解,施加力為保守力,方程形式為[22]

圖2 X形局域共振結(jié)構(gòu)單元?jiǎng)恿W(xué)模型Fig.2.The dynamic model of X-shape structure.

其中L=T-V是拉格朗日函數(shù),q0為廣義坐標(biāo).

選擇下節(jié)點(diǎn)的位移u2作為廣義坐標(biāo).拉格朗日函數(shù)為將(1)式幾何關(guān)系代入拉格朗日函數(shù)中：

若不考慮整個(gè)系統(tǒng)阻尼,令

則系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程

通過對(duì)公式結(jié)構(gòu)的線性化處理,取一階泰勒展開,則系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程

在彈簧沒有添加阻尼的情況下,系統(tǒng)出現(xiàn)了等效阻尼,附加的等效阻尼是由幾何非線性引起的,與結(jié)構(gòu)參數(shù)以及位移相關(guān).f(u2)是屬于一個(gè)非線性變化的函數(shù),在附加結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)過程中,結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)微分方程中的等效質(zhì)量和阻尼項(xiàng)的形式是不斷變化的.但是在整個(gè)系統(tǒng)中不存在實(shí)際阻尼,不產(chǎn)生能量耗散,附加等效阻尼與兩質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)相關(guān),本質(zhì)上屬于質(zhì)量塊將系統(tǒng)的振動(dòng)進(jìn)行了吸收,而在進(jìn)行結(jié)構(gòu)等效時(shí),產(chǎn)生了類似于阻尼產(chǎn)生的效果.這與Manimala等[23]得出的阻尼產(chǎn)生結(jié)果類似,因而說明X形局域共振結(jié)構(gòu)能夠改善系統(tǒng)的阻尼特性.

若考慮彈簧阻尼,即在彈簧中加入相應(yīng)的阻尼條件,假設(shè)阻尼因子為η,則系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中的耗能為[24]

其中,v是固有運(yùn)動(dòng)速度,u是運(yùn)動(dòng)位移.

q0為廣義坐標(biāo).將(9)式代入(8)式得

由于在本結(jié)構(gòu)中,廣義坐標(biāo)為u2,則耗散函數(shù)為

將其代入帶耗散函數(shù)的拉格朗日方程中,

則振子運(yùn)動(dòng)微分方程為

2.2 傳遞矩陣法求解局域共振型周期結(jié)構(gòu)梁

傳統(tǒng)的局域共振型周期梁是在基體梁上直接附加橡膠與質(zhì)量塊,故可近似看為彈簧質(zhì)量振子模型,可采用傳遞矩陣法求解其能帶結(jié)構(gòu).由于本文涉及的梁軸向尺寸遠(yuǎn)大于截面形狀尺寸,故采用歐拉-伯努利梁模型[25]：

其中ρ,E分別為密度、彈性模量;A為梁的截面面積;I為截面二次矩;梁的橫向位移為y(x,t).設(shè)位移y(x,t)=X(x)exp(iωt),其中ω為角頻率.

利用傳遞矩陣法可以得到[26,27]

其中ψn為狀態(tài)矢量,T為局域共振梁傳遞矩陣,由于結(jié)構(gòu)的周期性,矢量ψn滿足Bloch定理,即得到標(biāo)準(zhǔn)的特征值

其中q為Bloch波矢,a為晶格常數(shù).

通過求解矩陣T的特征值,即可求得無限周期結(jié)構(gòu)中的角頻率ω和波矢q,也即色散關(guān)系曲線.當(dāng)頻率位于某些范圍時(shí),將無法求得與之對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)q值,也即周期結(jié)構(gòu)中這些頻率范圍內(nèi)的彈性波將不存在穩(wěn)定的傳播模式.

2.3 多體動(dòng)力學(xué)的有限元建模

有限元法目前被廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域,是一種強(qiáng)有力的數(shù)值計(jì)算方法.有限元法分析的實(shí)質(zhì)是最小勢(shì)能原理的應(yīng)用,其核心在于把無限個(gè)自由度的連續(xù)系統(tǒng)理想化為有限個(gè)自由度的單元集合體,進(jìn)而使用離散的方式組合表達(dá)全幾何場(chǎng)上的形函數(shù)而不是直接尋找全場(chǎng)上的形函數(shù).

梁有限元?jiǎng)恿Ψ匠虨?/p>

其中,M為單元質(zhì)量矩陣,C為單元阻尼矩陣,K為單元?jiǎng)偠染仃?

不考慮阻尼的影響,(17)式可以寫作[28]

則元胞邊界處左端和右端的方程可寫成

式中,D=K-ω2M為動(dòng)剛度矩陣.由Bloch定理可得到周期邊界條件：

χ為傳播常數(shù),其包含信息有Bloch波矢q及晶格常數(shù)a.

可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)特征值問題：

進(jìn)一步,通過求解矩陣T的特征值,即可得到Bloch波矢與頻率的關(guān)系,

通過求解,可以獲得相應(yīng)的固有頻率和振型.

ComsolMultiphysics是Comsol集團(tuán)開發(fā)的有限元仿真軟件,可通過附加力載荷等激勵(lì)信號(hào)來計(jì)算分析模型的特性.利用Comsol對(duì)X形局域共振結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模仿真,由于需要保證節(jié)點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)要求,簡(jiǎn)單的彈性體建模只是兩種材料的連接,并不能達(dá)到要求.故采用多體動(dòng)力學(xué)進(jìn)行建模,圖3所示為X形局域共振結(jié)構(gòu)在Comsol中的單元仿真模型,利用橡膠條模擬彈簧.為了滿足旋轉(zhuǎn)的自由度,桿件之間的連接采用剛體鉸鏈,除去四個(gè)剛性鉸鏈,結(jié)構(gòu)的其余部分仍采用彈性體材料進(jìn)行建模.不僅保證了結(jié)構(gòu)所要求的旋轉(zhuǎn)自由度,更極大程度地模擬了現(xiàn)實(shí)的結(jié)構(gòu)的材料屬性.

圖3 X形局域共振結(jié)構(gòu)單元仿真模型圖Fig.3.The simulation model of X-shape structure.

由于是周期結(jié)構(gòu),故其中場(chǎng)的本征頻率和本征模式具有一定的對(duì)稱性,所以在研究其本征場(chǎng)時(shí)可以將問題進(jìn)行相應(yīng)的簡(jiǎn)化.利用Bloch定理,元胞的邊界位移和力向量關(guān)系滿足[4]

計(jì)算無限周期結(jié)構(gòu)能帶曲線時(shí),通過線性拉伸與Bloch定理設(shè)置結(jié)構(gòu)周期性邊界條件.進(jìn)而可以求解無限周期的結(jié)構(gòu)能帶曲線[29-31].同時(shí),將結(jié)構(gòu)周期拓展為6個(gè),如圖1(a)所示.分別定義每個(gè)周期單元的鉸鏈,在有限周期結(jié)構(gòu)的基體梁一端施加位移或者力激勵(lì),在另一端拾取相應(yīng)的信號(hào)數(shù)據(jù),可以計(jì)算有限周期結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng).

3 無阻尼聲子晶體梁帶隙特性

3.1 帶隙計(jì)算

首先,不考慮彈簧阻尼特性,利用Comsol建立圖3所示的模型,計(jì)算中基體梁材料為鋁,彈簧材料為橡膠,質(zhì)量為銅,其結(jié)構(gòu)參數(shù)與材料參數(shù)列于表1和表2.

表1 X形局域共振梁結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1.Structural parameters of beam with periodic X-shape structure.

計(jì)算X形局域共振梁的能帶結(jié)構(gòu)與彎曲振動(dòng)傳輸特性曲線,選擇6個(gè)結(jié)構(gòu)單元,在基體梁的一端添加彎曲的點(diǎn)激勵(lì),在梁的另一段拾取信號(hào),通過對(duì)兩個(gè)信號(hào)的處理,獲得彎曲振動(dòng)傳輸特性曲線(frequency response function,FRF),如圖4所示.

其中60—100 Hz,167—194 Hz位置出現(xiàn)彎曲振動(dòng)帶隙,分別為布拉格帶隙與局域共振帶隙.而本文主要研究局域共振帶隙,且60—100 Hz的布拉格帶隙振動(dòng)衰減較小,故后文中將不再對(duì)其進(jìn)行描述.

表2 X形局域共振梁材料參數(shù)Table 2.Material parameters of beam with periodic X-shape structure.

由于結(jié)構(gòu)涉及多體動(dòng)力學(xué)范疇,所以結(jié)構(gòu)的波動(dòng)模式較多.為了驗(yàn)證彎曲振動(dòng)帶隙,我們分析局域共振結(jié)構(gòu)單元的振型.起始與截止頻率的振型如圖5所示,起始頻率處主要是振子進(jìn)行振動(dòng),基體梁幾乎不發(fā)生任何變形;截止頻率處,基體梁和振子振動(dòng)且方向相反.可以判斷該帶隙是典型的局域共振帶隙.

圖4 X形局域共振梁彎曲振動(dòng)帶隙特性 (a)能帶結(jié)構(gòu)曲線;(b)彎曲振動(dòng)傳輸曲線Fig.4.The fl exural vibration band gap characteristics of beam with periodic X-shape structure：(a)Band structure of in fi nitely periodic beam;(b)FRF of fi nitely periodic beam.

圖5 周期附加X形結(jié)構(gòu)局域共振梁振型 (a)169 Hz;(b)194 HzFig.5.Model shapes of beam with periodic X-shape structure：(a)169 Hz;(b)194 Hz.

圖6 等效局域共振梁帶隙特性 (a)能帶結(jié)構(gòu)曲線;(b)彎曲振動(dòng)傳輸曲線Fig.6.The fl exural vibration band gap characteristics of classic local resonance beam with equivalent mass and sti ff ness：(a)Band structure of in fi nitely periodic beam;(b)FRF of fi nitely periodic beam.

根據(jù)上文分析,獲得了X形局域共振結(jié)構(gòu)的振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程,通過結(jié)構(gòu)等效,可以將其看作為一個(gè)質(zhì)量彈簧局域共振梁結(jié)構(gòu).由于計(jì)算是在固體力學(xué)范疇,所以假設(shè)均為小變形,結(jié)構(gòu)不加阻尼,對(duì)(7)式進(jìn)行簡(jiǎn)化,將公式前兩項(xiàng)進(jìn)行處理,等效后結(jié)構(gòu)振子運(yùn)動(dòng)方程為

相關(guān)結(jié)構(gòu)與材料參數(shù)與表1和表2一致,利用傳遞矩陣法進(jìn)行計(jì)算,振子等效質(zhì)量為彈簧的剛度為k2.求解相應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu)與彎曲振動(dòng)傳輸特性曲線,如圖6所示.

由圖6可知,在150 Hz的位置存在一個(gè)局域共振帶隙,但是,在參數(shù)一致的情況下,與含X形結(jié)構(gòu)的局域共振梁相比,雖然帶隙存在的位置一致,但是帶隙的寬度卻出現(xiàn)了較為明顯的縮減,由于X形局域共振結(jié)構(gòu)中幾何非線性的存在,使得系統(tǒng)出現(xiàn)了附加阻尼,帶隙寬度出現(xiàn)了較大程度的拓寬.

3.2 X形局域共振結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)帶隙特性的影響規(guī)律

由(7)式可知,振子的運(yùn)動(dòng)方程與結(jié)構(gòu)的夾角和桿長相關(guān),所以X形局域共振結(jié)構(gòu)的帶隙特性與夾角和桿長相關(guān).改變X形局域共振結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù),計(jì)算相應(yīng)的彎曲振動(dòng)傳輸特性曲線,討論其對(duì)系統(tǒng)帶隙特性的影響.

1)夾角θ的影響

這里,僅改變結(jié)構(gòu)輕質(zhì)桿與水平角度的夾角,但保持剛度不變.改變X形局域共振結(jié)構(gòu)的桿件之間的夾角分別為θ=40°,θ=45°,對(duì)三種夾角的X形局域共振結(jié)構(gòu)進(jìn)行彎曲振動(dòng)傳輸特性曲線計(jì)算,如圖7所示.

圖7 不同角度下彎曲振動(dòng)頻率響應(yīng)特性比較Fig.7.FRF of fi nitely beam with periodic X-shape structure of three di ff erent θ.

隨著角度的增加,結(jié)構(gòu)的等效附加質(zhì)量增加,帶隙頻率向低頻偏移.而(7)式中第二項(xiàng)的阻尼因素與角度和桿長相關(guān),隨角度的變化,阻尼影響結(jié)構(gòu)帶隙特性,使得帶隙的寬度出現(xiàn)明顯的變化.

2)輕質(zhì)桿長l0的影響

取為l0=0.35 m,l0=0.5 m,保持等效剛度不變.對(duì)三種桿長的X形局域共振結(jié)構(gòu)進(jìn)行彎曲振動(dòng)傳輸特性曲線計(jì)算,如圖8所示.

改變X形局域共振結(jié)構(gòu)輕質(zhì)桿長,帶隙特性基本不發(fā)生變化,可知輕質(zhì)桿長對(duì)于結(jié)構(gòu)的影響較小,故可以在保持結(jié)構(gòu)帶隙特性條件下將結(jié)構(gòu)小型化.

圖8 不同桿長彎曲振動(dòng)頻率響應(yīng)特性比較Fig.8.FRF of fi nitely beam with periodic X-shape structure of three di ff erent l0.

4 阻尼聲子晶體梁帶隙特性

進(jìn)一步,考慮X形局域共振結(jié)構(gòu)中的彈簧具有阻尼因子的情況.此時(shí),通過計(jì)算彎曲振動(dòng)頻率響應(yīng)來描述帶隙特性.通過Comsol有限元建模,在多體動(dòng)力學(xué)物理場(chǎng)下,僅對(duì)模擬彈簧的橡膠條添加各向同性損耗因子,與不添加各向同性損耗因子的X形局域共振結(jié)構(gòu)彎曲振動(dòng)曲線進(jìn)行比較,令X形結(jié)構(gòu)中橡膠條各向同性損耗因子為η1,如圖9所示.

圖9(a)和圖9(b)分別是添加0.1,0.2各向同性損耗因子的彎曲傳輸特性曲線與不添加各向同性損耗因子X形局域共振結(jié)構(gòu)梁的比較,當(dāng)添加阻尼因素后,結(jié)構(gòu)的帶隙特性出現(xiàn)較大的改善,帶隙拓寬比較明顯.當(dāng)同性損耗因子增加至0.5時(shí),如圖9(c)所示,其帶隙寬度幾乎拓寬了一倍,大幅增強(qiáng)了結(jié)構(gòu)的低頻減振效果.

為了比較分析,建立彈簧質(zhì)量等效結(jié)構(gòu)的物理模型,其中,彈簧利用橡膠代替,建模時(shí)保持質(zhì)量與剛度大小一致.同樣向等效結(jié)構(gòu)的橡膠中添加各向同性損耗因子,計(jì)算其彎曲振動(dòng)傳輸特性曲線,令等效結(jié)構(gòu)中各向同性損耗因子為η2,如圖10所示.

圖9 含阻尼X形局域結(jié)構(gòu)彎曲振動(dòng)傳輸特性曲線 (a)η1=0.1;(b)η1=0.2;(c)η1=0.5Fig.9.FRF of fi nitely beam with periodic X-shape structure of di ff erent Isotropic loss factor：(a)η1=0.1; (b)η1=0.2;(c)η1=0.5.

圖10 添加不同各向同性損耗因子條件下X形局域共振結(jié)構(gòu)和經(jīng)典局域共振結(jié)構(gòu)梁彎曲振動(dòng)傳輸特性曲線比較 (a)η1=η2= 0.1;(b)η1=η2=0.2;(c)η1=0.2, η2=0.3;(d)η1=0.2, η2=0.4Fig.10.With di ff erent isotropic loss factor,the comparison of FRF of fi nitely beam with periodic X-shape structure and fi nitely classic local resonance periodic beam：(a)η1= η2=0.1;(b)η1= η2=0.2;(c)η1=0.2, η2=0.3; (d)η1=0.2, η2=0.4.

圖10(a)和圖10(b)是各向同性損耗因子分別為0.1,0.2時(shí),周期附加X形局域共振結(jié)構(gòu)梁和周期附加等效彈簧質(zhì)量局域共振結(jié)構(gòu)梁彎曲傳輸特性曲線的比較.損耗因子為0.1時(shí),X形局域共振結(jié)構(gòu)梁帶隙較等效結(jié)構(gòu)梁有一定的拓寬,且彎曲振動(dòng)的峰值有較為明顯的降低.損耗因子為0.2時(shí),X形局域共振結(jié)構(gòu)梁帶隙寬度明顯寬于等效結(jié)構(gòu)梁,并且大幅度地降低了彎曲振動(dòng)通帶頻率范圍內(nèi)的振動(dòng)響應(yīng)峰值.

圖10(c)和圖10(d)是X形局域共振結(jié)構(gòu)中添加各向同性損耗因子為0.2、等效彈簧質(zhì)量局域共振梁各向同性損耗因子分別為0.3和0.4時(shí)彎曲傳輸特性曲線的比較.與等效結(jié)構(gòu)相比,即使各向同性損耗因子較小,X形局域共振結(jié)構(gòu)梁的帶隙仍較寬,且通帶頻率范圍內(nèi)振動(dòng)響應(yīng)值更低.所以X形局域共振結(jié)構(gòu)能夠明顯“放大”系統(tǒng)的阻尼特性,達(dá)到更好的減振效果.

根據(jù)(13)式和仿真結(jié)果分析,X形局域共振結(jié)構(gòu)能夠顯著增強(qiáng)系統(tǒng)的阻尼特性,當(dāng)阻尼較小時(shí), X形局域共振結(jié)構(gòu)能夠產(chǎn)生較為明顯的阻尼“放大”效果,證明了X形局域共振結(jié)構(gòu)中存在的超阻尼現(xiàn)象.

5 結(jié) 論

本文基于聲子晶體理論和非線性X形結(jié)構(gòu),設(shè)計(jì)了一種X形局域共振結(jié)構(gòu),分析了周期附加X形局域共振結(jié)構(gòu)的梁彎曲振動(dòng)帶隙特性.研究結(jié)論如下：

1)利用拉格朗日方程,建立了X形局域共振結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型,揭示了幾何非線性對(duì)結(jié)構(gòu)等效質(zhì)量和等效阻尼的影響,揭示了該結(jié)構(gòu)的阻尼機(jī)理,該結(jié)構(gòu)可以顯著增強(qiáng)系統(tǒng)阻尼,改善帶隙特性;建立了多體動(dòng)力學(xué)帶隙計(jì)算方法,實(shí)現(xiàn)X形局域共振的能帶結(jié)構(gòu)與傳輸特性計(jì)算;

2)對(duì)于無阻尼系統(tǒng),X形局域共振結(jié)構(gòu)由于其幾何非線性,帶來非線性變化的等效質(zhì)量,實(shí)現(xiàn)隨位移等參數(shù)變化的等效阻尼,拓寬了周期結(jié)構(gòu)的帶隙頻率范圍;通過對(duì)結(jié)構(gòu)帶隙影響規(guī)律的分析,發(fā)現(xiàn)夾角θ對(duì)帶隙影響較大,輕質(zhì)桿長l0影響較小;

3)對(duì)于有阻尼系統(tǒng),X形局域共振結(jié)構(gòu)能夠有效地‘放大’阻尼特性,進(jìn)一步改善結(jié)構(gòu)的帶隙特性;與等效結(jié)構(gòu)相比,在同樣阻尼大小條件下,X形局域共振結(jié)構(gòu)不僅能獲得更寬的帶隙,還能較大程度地抑制通帶頻率范圍內(nèi)的振動(dòng)峰值,減振效果更佳.

總之,通過對(duì)X形局域共振結(jié)構(gòu)的研究,驗(yàn)證了其具有幾何非線性和良好的超阻尼特性,能夠有效地拓寬低頻帶隙,降低振動(dòng)峰值,在低頻、寬帶減振設(shè)計(jì)中具有一定應(yīng)用前景.

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PACS:07.10.Fq,46.40.—f,62.30.+d,68.43.Pq DOI:10.7498/aps.66.140701

Flexural vibration band gaps for a phononic crystal beam with X-shaped local resonance metadamping structure?

Du Chun-Yang Yu Dian-Long?Liu Jiang-WeiWen Ji-Hong
(Laboratory of Science and Technology on Integrated Logistics Support,National University of Defense Technology,
Changsha 410073,China)

7 March 2017;revised manuscript

19 April 2017)

Structural vibration is commonly seen in engineering,which can cause resonance and fatigue damage in structure. Therefore,it is very desirable in vibration control techniques to achieve structure with low-frequency and broadband damping feature.In this paper,we design a phononic crystal(PC)beam with X-shaped locally resonant metadamping (XLRMD)structures.Based on the PC theory,the fl exural wave propagation in XLRMD beam is studied.The equivalent dynamic properties of the XLRMD structure are analyzed by Lagrange equation.It is shown that due to its geometric nonlinearity,the XLRMD can e ff ectively increase the damping of the system,which is validated by the transfer matrix method.The in fl uence of structural parameters of XLRMD on band gap characteristics of the PC beam is then discussed in detail by using the fi nite element method with COMSOL multiphysics software in conjunction with Matlab, where the PC beam with XLRMD is modeled with the multi-body dynamic module within COMSOL and the band gap characteristics are calculated.The damping properties of the system are studied also using the fi nite element method. It is shown that compared with the equivalent structures,the PC beam with XLRMD can magnify the damping of the structure system,demonstrating a meta-damping phenomenon.The XLRMD in the PC beam can not only generate lower frequency and wider range band gaps but also suppress the vibration in passband ranges.This can bring a new design for reducing the vibration of structural systems.

phononic crystals,band gap,metadamping,geometric nonlinearity

:07.10.Fq,46.40.—f,62.30.+d,68.43.Pq

10.7498/aps.66.140701

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào)：11372346)資助的課題.

?通信作者.E-mail：dianlongyu@vip.sina.com

?2017中國物理學(xué)會(huì)Chinese Physical Society

http://wulixb.iphy.ac.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11372346).

?Corresponding author.E-mail：dianlongyu@vip.sina.com