立體幾何中的球類模型問(wèn)題

長(zhǎng)春 林逸凡

立體幾何中的球類模型問(wèn)題

長(zhǎng)春 林逸凡

球與多面體的內(nèi)接外切問(wèn)題是立體幾何中一類常見(jiàn)的特殊題型，球類問(wèn)題有著自身獨(dú)特的解題方法和數(shù)學(xué)思想．近年來(lái)，在各地的高考題與模擬題中，球類模型問(wèn)題頻頻出現(xiàn)，越來(lái)越受到命題者的青睞．本文展示了球類模型問(wèn)題的幾種常見(jiàn)題型，并歸納解決相應(yīng)問(wèn)題的常見(jiàn)解題思路與技巧．

一、截面法

【例1】半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長(zhǎng)度分別等于，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng)，有下列四個(gè)命題：①弦AB、CD可能相交于點(diǎn)M；②弦AB、CD可能相交于點(diǎn)N；③MN的最大值為5；④MN的最小值為1．其中真命題的個(gè)數(shù)為 （ ）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)

【解析】當(dāng)弦AB、CD相交時(shí)，則在一個(gè)截面圓上，由于AB＜CD，所以弦AB、CD可能相交于點(diǎn)M，弦AB、CD不可能相交于點(diǎn)N．故①是真命題；②是假命題；連接OM、ON，當(dāng)OMN為三角形時(shí)，由于OM＋ON＞MN，OMON＜MN，所以，當(dāng)MN共線且在球心O的不同側(cè)時(shí)，MN取得最大值5；當(dāng)MN共線且在球心O的同側(cè)時(shí)，MN取得最小值1．故③④為真命題．

【點(diǎn)評(píng)】解決球類模型的截面問(wèn)題時(shí)，通常策略是“化立體為平面”，確定截面所確定的圓面的半徑，將“截面與球”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“大圓與弦”的問(wèn)題．

球心到截面的距離d與球半徑R及截面圓的半徑r有下面關(guān)系：．

【變式】已知過(guò)球面上三點(diǎn)A、B、C的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝1，則該球的半徑是 （ ）

【例2】在半徑為R的球內(nèi)做內(nèi)接圓柱，則內(nèi)接圓柱全面積的最大值是 （ ）

【變式】一個(gè)高為16的圓錐內(nèi)接于一個(gè)體積為972π的球，在圓錐內(nèi)又有一個(gè)內(nèi)切球．

求：（Ⅰ）圓錐的側(cè)面積；

（Ⅱ）圓錐的內(nèi)切球的體積．

【解析】（Ⅰ）如圖所示，作軸截面，則等腰三角形CAB內(nèi)接于⊙O，⊙O1內(nèi)切于△CAB，

二、體積橋

【例3】設(shè)棱錐M－ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果△AMD的面積為1，試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑．

【解析】因?yàn)锳B⊥AD，AB⊥AM，

所以AB⊥平面MAD．

所以平面MAD⊥平面ABCD，

設(shè)E是AD的中點(diǎn)，從而ME⊥AD．

所以ME⊥平面ABCD，ME⊥EF，

能夠放入這個(gè)棱錐的最大球?yàn)榕c平面MAD、平面ABCD、平面MBC相切的球，

不妨設(shè)O∈平面MEF，

于是O是△MEF的內(nèi)心．設(shè)球O的半徑為r，

【變式】正四面體的棱長(zhǎng)為3，則它的外接球的表面積等于 （ ）

三、射影法

【例4】一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積為36π，那么這個(gè)正三棱柱的體積是 （ ）

【解析】球半徑為R＝3，正三棱柱的高即為2R＝6，將正三棱柱攔腰橫切一刀，球的截面為一個(gè)大圓，正三棱柱的截面為正三角形，大圓是正三角形的內(nèi)切圓，故正三角形的邊長(zhǎng)為，從而得正三棱柱的體積是．

【點(diǎn)評(píng)】射影法，作球心到其中一個(gè)面的射影，則相應(yīng)的線段應(yīng)與面垂直，而球心與頂點(diǎn)連線即為外接球半徑，設(shè)出未知數(shù)，列方程求解．正棱柱是上下底面都是正多邊形的直棱柱，故外接球心在底面的射影應(yīng)為正多邊形的中心，對(duì)于多邊形的邊為偶數(shù)條的情況，如正四棱柱、正六棱柱，由對(duì)稱性，外接球心即為上下底面相對(duì)四個(gè)頂點(diǎn)連出的矩形的對(duì)角線長(zhǎng)的一半；對(duì)于多邊形的邊為奇數(shù)條的情況，如正三棱柱、正五棱柱，可連接外接球心與底面中心，該線段長(zhǎng)即為棱柱高的一半，再連接球心與一個(gè)頂點(diǎn)，該長(zhǎng)度即為外接球的半徑，利用勾股定理列方程求解．

【變式2】一個(gè)正六棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的表面上，這個(gè)六棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)是它的底面的邊長(zhǎng)a的2倍，則該球的半徑為_(kāi)______．

【解析】由對(duì)稱性，外接球心即為上下底面相對(duì)四個(gè)頂點(diǎn)連出的矩形的對(duì)角線長(zhǎng)的一半，底外接圓的直徑為2a，側(cè)棱長(zhǎng)2a，故該球的半徑是邊長(zhǎng)為2a的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)的一半，即．

四、補(bǔ)形法

【例5】直三棱柱ABC－A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，則此球的表面積等于_______．

【解析】因?yàn)锳B＝AC，∠BAC＝120°，A，B，C可看作一個(gè)正六邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，故可將這個(gè)直三棱柱ABCA1B1C1補(bǔ)形，裝回到一個(gè)正六棱柱中，二者的外接球是一樣的，轉(zhuǎn)化為求正六棱柱的外接球半徑．由對(duì)稱性，外接球心即為上下底面相對(duì)四個(gè)頂點(diǎn)連出的矩形的對(duì)角線長(zhǎng)的一半，底外接圓的直徑為4，側(cè)棱長(zhǎng)2，故矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為，外接球半徑為，表面積等于20π．

【點(diǎn)評(píng)】補(bǔ)形法，將多面體嵌入到形狀更對(duì)稱、且具有相同的外接球的長(zhǎng)方體、正棱柱中去，再轉(zhuǎn)用第四種策略求解．

【變式】若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，則其外接球的表面積是_______．

【解析】法一（補(bǔ)形法）：裝回到邊長(zhǎng)為的立方體中，易得立方體體對(duì)角線為3，從而外接球的半徑，從而表面積是9π．

五、以點(diǎn)代球

【例6】三個(gè)半徑為1的球，兩兩相切放置于水平桌面上，在三球中間上方再放上一個(gè)半徑為2的球，則其最高點(diǎn)距離桌面的距離為 （ ）

【點(diǎn)評(píng)】“擒賊先擒王”，解球抓球心，先抓住球心之間的位置關(guān)系，再轉(zhuǎn)為球與球、球與面之間的關(guān)系．球與球外切時(shí)，球心之間的線段的長(zhǎng)度為兩球的半徑之和，當(dāng)多個(gè)球相切時(shí)，則球心的連線可構(gòu)成多面體．

【變式】半徑為R的球內(nèi)部裝有4個(gè)半徑為r的小球，則小球半徑r的最大值是 （ ）

【解析】將4個(gè)小球的球心連接起來(lái)夠成一個(gè)正四面體，

O1在底面O2O3O4上的射影設(shè)為H，則大球的球心O顯然在O1H上，如圖所示．

（作者單位：吉林省長(zhǎng)春市吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校）