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    立體幾何中的球類模型問題

    2017-08-08 03:01:38長春林逸凡
    教學考試(高考數(shù)學) 2017年3期

    長春 林逸凡

    立體幾何中的球類模型問題

    長春 林逸凡

    球與多面體的內(nèi)接外切問題是立體幾何中一類常見的特殊題型,球類問題有著自身獨特的解題方法和數(shù)學思想.近年來,在各地的高考題與模擬題中,球類模型問題頻頻出現(xiàn),越來越受到命題者的青睞.本文展示了球類模型問題的幾種常見題型,并歸納解決相應問題的常見解題思路與技巧.

    一、截面法

    【例1】半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長度分別等于,M、N分別為AB、CD的中點,每條弦的兩端都在球面上運動,有下列四個命題:①弦AB、CD可能相交于點M;②弦AB、CD可能相交于點N;③MN的最大值為5;④MN的最小值為1.其中真命題的個數(shù)為 ( )

    A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

    【解析】當弦AB、CD相交時,則在一個截面圓上,由于AB<CD,所以弦AB、CD可能相交于點M,弦AB、CD不可能相交于點N.故①是真命題;②是假命題;連接OM、ON,當OMN為三角形時,由于OM+ON>MN,OMON<MN,所以,當MN共線且在球心O的不同側(cè)時,MN取得最大值5;當MN共線且在球心O的同側(cè)時,MN取得最小值1.故③④為真命題.

    【點評】解決球類模型的截面問題時,通常策略是“化立體為平面”,確定截面所確定的圓面的半徑,將“截面與球”的問題轉(zhuǎn)化為“大圓與弦”的問題.

    球心到截面的距離d與球半徑R及截面圓的半徑r有下面關(guān)系:.

    【變式】已知過球面上三點A、B、C的截面和球心的距離等于球半徑的一半,且AB=BC=CA=1,則該球的半徑是 ( )

    【例2】在半徑為R的球內(nèi)做內(nèi)接圓柱,則內(nèi)接圓柱全面積的最大值是 ( )

    【變式】一個高為16的圓錐內(nèi)接于一個體積為972π的球,在圓錐內(nèi)又有一個內(nèi)切球.

    求:(Ⅰ)圓錐的側(cè)面積;

    (Ⅱ)圓錐的內(nèi)切球的體積.

    【解析】(Ⅰ)如圖所示,作軸截面,則等腰三角形CAB內(nèi)接于⊙O,⊙O1內(nèi)切于△CAB,

    二、體積橋

    【例3】設棱錐M-ABCD的底面是正方形,且MA=MD,MA⊥AB,如果△AMD的面積為1,試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑.

    【解析】因為AB⊥AD,AB⊥AM,

    所以AB⊥平面MAD.

    所以平面MAD⊥平面ABCD,

    設E是AD的中點,從而ME⊥AD.

    所以ME⊥平面ABCD,ME⊥EF,

    能夠放入這個棱錐的最大球為與平面MAD、平面ABCD、平面MBC相切的球,

    不妨設O∈平面MEF,

    于是O是△MEF的內(nèi)心.設球O的半徑為r,

    【變式】正四面體的棱長為3,則它的外接球的表面積等于 ( )

    三、射影法

    【例4】一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切,已知這個球的體積為36π,那么這個正三棱柱的體積是 ( )

    【解析】球半徑為R=3,正三棱柱的高即為2R=6,將正三棱柱攔腰橫切一刀,球的截面為一個大圓,正三棱柱的截面為正三角形,大圓是正三角形的內(nèi)切圓,故正三角形的邊長為,從而得正三棱柱的體積是.

    【點評】射影法,作球心到其中一個面的射影,則相應的線段應與面垂直,而球心與頂點連線即為外接球半徑,設出未知數(shù),列方程求解.正棱柱是上下底面都是正多邊形的直棱柱,故外接球心在底面的射影應為正多邊形的中心,對于多邊形的邊為偶數(shù)條的情況,如正四棱柱、正六棱柱,由對稱性,外接球心即為上下底面相對四個頂點連出的矩形的對角線長的一半;對于多邊形的邊為奇數(shù)條的情況,如正三棱柱、正五棱柱,可連接外接球心與底面中心,該線段長即為棱柱高的一半,再連接球心與一個頂點,該長度即為外接球的半徑,利用勾股定理列方程求解.

    【變式2】一個正六棱柱的各個頂點都在一個球的表面上,這個六棱柱的側(cè)棱長是它的底面的邊長a的2倍,則該球的半徑為_______.

    【解析】由對稱性,外接球心即為上下底面相對四個頂點連出的矩形的對角線長的一半,底外接圓的直徑為2a,側(cè)棱長2a,故該球的半徑是邊長為2a的正方形的對角線長的一半,即.

    四、補形法

    【例5】直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點都在同一球面上,若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,則此球的表面積等于_______.

    【解析】因為AB=AC,∠BAC=120°,A,B,C可看作一個正六邊形的三個頂點,故可將這個直三棱柱ABCA1B1C1補形,裝回到一個正六棱柱中,二者的外接球是一樣的,轉(zhuǎn)化為求正六棱柱的外接球半徑.由對稱性,外接球心即為上下底面相對四個頂點連出的矩形的對角線長的一半,底外接圓的直徑為4,側(cè)棱長2,故矩形的對角線長為,外接球半徑為,表面積等于20π.

    【點評】補形法,將多面體嵌入到形狀更對稱、且具有相同的外接球的長方體、正棱柱中去,再轉(zhuǎn)用第四種策略求解.

    【變式】若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,且側(cè)棱長均為,則其外接球的表面積是_______.

    【解析】法一(補形法):裝回到邊長為的立方體中,易得立方體體對角線為3,從而外接球的半徑,從而表面積是9π.

    五、以點代球

    【例6】三個半徑為1的球,兩兩相切放置于水平桌面上,在三球中間上方再放上一個半徑為2的球,則其最高點距離桌面的距離為 ( )

    【點評】“擒賊先擒王”,解球抓球心,先抓住球心之間的位置關(guān)系,再轉(zhuǎn)為球與球、球與面之間的關(guān)系.球與球外切時,球心之間的線段的長度為兩球的半徑之和,當多個球相切時,則球心的連線可構(gòu)成多面體.

    【變式】半徑為R的球內(nèi)部裝有4個半徑為r的小球,則小球半徑r的最大值是 ( )

    【解析】將4個小球的球心連接起來夠成一個正四面體,

    O1在底面O2O3O4上的射影設為H,則大球的球心O顯然在O1H上,如圖所示.

    (作者單位:吉林省長春市吉大附中實驗學校)

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