自主招生電學(xué)專題講解

江蘇 吳 俊

自主招生電學(xué)專題講解

江蘇 吳 俊

一、電場(chǎng)的計(jì)算

【例1】（2009·浙江大學(xué)自招）正方體八個(gè)頂點(diǎn)上各有一電荷為q的點(diǎn)電荷，求它們?cè)谏厦嬷行腛形成的合場(chǎng)強(qiáng)大小和方向。

【解析】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為a，正方體上方頂點(diǎn)四個(gè)電荷在上面中心O形成的合場(chǎng)強(qiáng)為零。

正方體下方頂點(diǎn)四個(gè)電荷與上面中心O的距離為

每個(gè)點(diǎn)電荷在該點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為

由對(duì)稱性可知該場(chǎng)強(qiáng)在正方體上方平面的分量相互抵消。垂直正方體上方平面的分量為

在上面中心O形成的合場(chǎng)強(qiáng)大小為

方向垂直于正方體上方平面向上。

【點(diǎn)評(píng)】庫(kù)侖定律的應(yīng)用，電場(chǎng)、電勢(shì)的計(jì)算等問(wèn)題是自主招生考試中的?？碱}。常用的方法有微元法、對(duì)稱法和極限法等。其中電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算要注意利用矢量的疊加，對(duì)于一些選擇題來(lái)說(shuō)，可以利用對(duì)稱法和極值法避開(kāi)復(fù)雜運(yùn)算。而電勢(shì)為標(biāo)量，疊加時(shí)利用標(biāo)量的運(yùn)算法則。

二、帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

【例2】（2010·華約自招）如圖1所示，三個(gè)面積均為S的金屬板A、B、C水平放置，A、B相距d1，B、C相距d2，A、C接地，構(gòu)成兩個(gè)平行板電容器。上板A中央有小孔D，B板開(kāi)始不帶電。質(zhì)量為m、電荷量為q（q＞0）的液滴從小孔D上方高度為h處的P點(diǎn)由靜止一滴一滴落下。假設(shè)液滴接觸B板可立即將電荷全部傳給B板。油滴間的靜電相互作用可忽略，重力加速度取g。

圖1

（1）若某帶電液滴在A、B板之間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，此液滴是從小孔D上方落下的第幾滴？

（2）若發(fā)現(xiàn)第N滴帶電液滴在B板上方某點(diǎn)轉(zhuǎn)為向上運(yùn)動(dòng)，求此點(diǎn)與A板的距離H（以空氣為介質(zhì)的平行板電容器電容C＝S/（4πkd），式中S為極板面積，d為極板間距，k為靜電力常量）。

【解析】（1）根據(jù)題意，A、B板與B、C板構(gòu)成的兩個(gè)平行板電容器的電容分別為

設(shè)第n滴帶電液滴可在A、B板之間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)趎滴帶電液滴處于A、B板之間時(shí)，B板所帶電荷量為

Q1＋Q2＝（n－1）q③

式中，Q1和Q2分別為金屬板B上、下兩個(gè)表面上的電荷量。設(shè)B板電勢(shì)為U，則

Q1＝C1U④

Q2＝C2U⑤

A、B板之間的電場(chǎng)強(qiáng)度為E1＝U/d1⑥

由于第n滴帶電液滴在A、B板之間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有

qE1＝mg⑦

（2）當(dāng)?shù)贜－1滴帶電液滴在B板上時(shí)，（1）中①～⑤仍有效，相應(yīng)的B板電勢(shì)以及其上、下表面所帶電荷量分別記為U′、Q′1和Q′2。B板所帶電荷量為

按題意，第N滴帶電液滴會(huì)在下落到離A板距離為H（H＜d1）時(shí)，速度為零，此時(shí)液滴所在位置的電勢(shì)為

由能量守恒定律得

【點(diǎn)評(píng)】帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是高考和自主招生命題中的熱點(diǎn)，只不過(guò)自主招生命題中，出現(xiàn)了電容器的串、并聯(lián)問(wèn)題。串聯(lián)電容器充電后各電容器的電量相同，即Q1＝Q1＝…Q，第一個(gè)電容器的正極與第n個(gè)電容器的負(fù)極之間的電壓U為各電容器電壓Ui之和，即，并聯(lián)電容器充電后正極總電量Q等于各電容器正極電量Qi之和，即。

帶電粒子在電容器中的運(yùn)動(dòng)主要涉及的知識(shí)點(diǎn)是牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)量定理、動(dòng)能定理等，不涉及時(shí)間優(yōu)先考慮動(dòng)能定理，對(duì)于多過(guò)程問(wèn)題可以借助圖象法。

三、帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

【例3】（2013·北約自招）如圖2所示，在一豎直平面內(nèi)有水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向垂直該豎直平面朝里。豎直平面中a、b兩點(diǎn)在同一水平線上，兩點(diǎn)相距l(xiāng)。帶電量q＞0，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P，以初速度v從a對(duì)準(zhǔn)b射出。忽略空氣阻力，不考慮P與地面接觸的可能性，設(shè)定q、m和B均為不可改動(dòng)的給定量。

圖2

（1）若無(wú)論l取什么值，均可使P經(jīng)直線運(yùn)動(dòng)通過(guò)b點(diǎn)，試問(wèn)v應(yīng)取什么值？

（2）若v為（1）問(wèn)可取值之外的任意值，則l取哪些值，可使P必定會(huì)經(jīng)曲線運(yùn)動(dòng)通過(guò)b點(diǎn)？

（3）對(duì)每一個(gè)滿足（2）問(wèn)要求的l值，計(jì)算各種可能的曲線運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的P從a到b所經(jīng)過(guò)的時(shí)間。

（4）對(duì)每一個(gè)滿足（2）問(wèn)要求的l值，試問(wèn)P能否從a靜止釋放后也可以通過(guò)b點(diǎn)？若能，在此過(guò)程中可達(dá)到的最大運(yùn)動(dòng)速率vmax。

【解析】（1）要使P經(jīng)過(guò)直線運(yùn)動(dòng)通過(guò)b點(diǎn)，必有mg＝qvB

解得

（2）設(shè)質(zhì)點(diǎn)速度為v＋Δv，質(zhì)點(diǎn)所受到的洛倫茲力為q（v＋Δv）B，與重力的合力為mg＋q（v＋Δv）B＝qΔvB，所以質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可視為沿ab連線方向做速度為v的勻速直線運(yùn)動(dòng)和速度為Δv的圓周運(yùn)動(dòng)，要使質(zhì)點(diǎn)通過(guò)b點(diǎn)，t＝nT②

l＝vt④

以上各式解得

【點(diǎn)評(píng)】帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)不僅是自主招生命題的熱點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)。速度分解的穿插應(yīng)用在自主招生中比較常見(jiàn)，高考中主要是福建等地出現(xiàn)幾次。應(yīng)對(duì)策略還是要掌握高考中的幾種題型，如帶電粒子在分立場(chǎng)（有界）、組合場(chǎng)、復(fù)合場(chǎng)等的運(yùn)動(dòng)，由高考促自招，這樣的對(duì)策與高考和自招的時(shí)間安排及內(nèi)容都是吻合的。

四、電磁感應(yīng)定律的綜合應(yīng)用

【例4】（2011·北約自招）不計(jì)電阻的光滑平行軌道EFG、PMN構(gòu)成相互垂直的L型，如圖3所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向與水平的EFMP平面夾角θ（θ＜45°）斜向上，金屬棒ab、cd的質(zhì)量均為m、長(zhǎng)均為L(zhǎng)、電阻均為R。ab、cd由細(xì)線通過(guò)角頂處的光滑定滑輪連接，細(xì)線質(zhì)量不計(jì)，ab、cd與軌道正交，已知重力加速度為g。

圖3

（1）求金屬棒的最大速度vmax；

（2）當(dāng)金屬棒速度為v時(shí)，且v小于最大速度vmax時(shí)，求機(jī)械能損失的功率P1和電阻的發(fā)熱功率P2。

【解析】金屬棒達(dá)到最大速度vmax時(shí)，回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E＝B cosθ·Lvmax－B sinθ·Lvmax＝ BLvmax（cosθ－sinθ），回路電流為I＝E/2R

當(dāng)兩金屬棒做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度達(dá)到最大值，有

（2）當(dāng)金屬棒速度為v時(shí)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

E′＝B cosθ·Lv－B sinθ·Lv＝BLv（cosθ－sinθ），回路中電流I′＝E′/2R，

機(jī)械能損失的功率

【點(diǎn)悟】解答雙桿問(wèn)題時(shí)，首先要根據(jù)右手定則（或楞次定律）判斷每個(gè)桿電動(dòng)勢(shì)的方向，進(jìn)而判斷兩個(gè)電源是順接還是反接，從而準(zhǔn)確寫出電路中電流的表達(dá)式，在使用E＝Blv公式時(shí)要注意使用的條件，B與v不垂直時(shí)要注意矢量的分解，在處理功能問(wèn)題時(shí)，要分清安培力做功功率、電路中的發(fā)熱功率等。

小試身手

1．（第32屆全國(guó)高中物理競(jìng)賽預(yù)賽）如圖所示，一半徑為R的固定的光滑絕緣圓環(huán)，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)上有兩個(gè)相同的帶電小球a和b（可視為質(zhì)點(diǎn)），只能在環(huán)上移動(dòng)。靜止時(shí)兩小球之間的距離為R。現(xiàn)用外力緩慢推左球a使其到達(dá)圓環(huán)最低點(diǎn)c，然后撤除外力，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．在左球a到達(dá)c點(diǎn)的過(guò)程中，圓環(huán)對(duì)b球的支持力變大

B．在左球a到達(dá)c點(diǎn)的過(guò)程中，外力做正功，電勢(shì)能增加

C．在左球a到達(dá)c點(diǎn)的過(guò)程中，a、b兩球的重力勢(shì)能之和不變

D．撤除外力后，a、b兩球在軌道上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)的能量守恒

2．（2010·華約自招）如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)有一垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，P為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)。有無(wú)數(shù)帶有同樣電荷、具有同樣質(zhì)量的粒子在紙面內(nèi)沿各個(gè)方向以同樣的速率通過(guò)P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)。這些粒子射出邊界的位置均處于邊界的某一段弧上，這段圓弧的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的1/3。將磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小從原來(lái)的B1變?yōu)锽2，結(jié)果相應(yīng)的弧長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，則B2/B1等于 （ ）

3．（2011·華約自招）空間某區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的上下邊界水平，方向和豎直平面（紙面）垂直，兩個(gè)由完全相同的導(dǎo)線制成的剛性線框a和b，其形狀分別是周長(zhǎng)為4l的正方形和周長(zhǎng)為6l的矩形，線框a和b在豎直平面內(nèi)從如圖所示的位置開(kāi)始自由下落，若從開(kāi)始下落到線框完全離開(kāi)磁場(chǎng)的過(guò)程中安培力對(duì)兩線框的沖量分別為Ia、Ib，則Ia∶Ib為 （ ）

A．3∶8 B．1∶2 C．1∶1 D．3∶2

4．（2011·卓越自招）心電圖儀是將心肌收縮產(chǎn)生的脈動(dòng)轉(zhuǎn)化為電壓脈沖的儀器，其輸出部分可用一個(gè)與大電阻（40 kΩ）相連的交流電源來(lái)等效，如圖所示。心電圖儀與一理想變壓器的初級(jí)線圈相連，以揚(yáng)聲器（可以等效為阻值為8Ω的電阻）與該變壓器的次級(jí)線圈相連。在等效電源的電壓有效值U0不變的情況下，為使揚(yáng)聲器獲得最大功率，變壓器的初級(jí)線圈和次級(jí)線圈的匝數(shù)比約為 （ ）

A．1∶5 000 B．1∶70

C．70∶1 D．5 000∶1

5．（2015·第32屆全國(guó)高中物理競(jìng)賽預(yù)賽）在“利用電流傳感器（相當(dāng)于理想電流表）測(cè)定干電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻”的實(shí)驗(yàn)中，某同學(xué)利用兩個(gè)電流傳感器和定值電阻R0＝2 000Ω以及滑動(dòng)變阻器，設(shè)計(jì)了如圖甲所示的電路，減小誤差。該同學(xué)測(cè)出的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示。

1 2 3 4 5I1/m A 1．35 1．30 1．20 1．10 1．05I2/A 0．30 0．40 0．60 0．80 0．90

表中I1和I2分別是通過(guò)電流傳感器1和2的電流。該電流的值通過(guò)數(shù)據(jù)采集器輸入到計(jì)算機(jī)，數(shù)據(jù)采集器和計(jì)算機(jī)對(duì)原電路的影響可忽略。

（1）在圖乙中繪出I1－I2圖線；

（2）由I1－I2圖線得出，被測(cè)電池的電動(dòng)勢(shì)為

6．（第30屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽）圖中所示的靜電機(jī)由一個(gè)半徑為R、與環(huán)境絕緣的開(kāi)口（朝上）金屬球殼形的容器和一個(gè)帶電液滴產(chǎn)生器G組成。質(zhì)量為m、帶電量為q的球形液滴從G緩慢地自由掉下（所謂緩慢，意指在G和容器口之間總是只有一滴液滴）。液滴開(kāi)始下落時(shí)相對(duì)地面的高度為h。設(shè)液滴很小，容器足夠大，容器在達(dá)到最高電勢(shì)之前進(jìn)入容器的液體尚未充滿容器。忽略G的電荷對(duì)正在下落的液滴的影響。重力加速度大小為g。若容器初始電勢(shì)為零，求容器可達(dá)到的最高電勢(shì)Vmax。

7．（2014·北約自招）如圖所示，區(qū)域中一部分有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，另一部分有勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，電場(chǎng)方向與電、磁場(chǎng)分界線平行向右。一帶正電粒子從A點(diǎn)以速度v射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向未知，經(jīng)過(guò)t1時(shí)間運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)與電場(chǎng)交界處B點(diǎn)，此時(shí)速度方向垂直于兩個(gè)場(chǎng)的分界線，此后粒子在電場(chǎng)力的作用下，經(jīng)過(guò)t2時(shí)間從C點(diǎn)離開(kāi)電場(chǎng)，已知磁場(chǎng)寬度與電場(chǎng)寬度分別為l1和l2，A與B點(diǎn)的水平距離為d，不計(jì)粒子的重力。

（1）求整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中粒子的最大速度；

參考答案

1．BD 【解析】在左球a到達(dá)c點(diǎn)的過(guò)程中，b球向上移動(dòng)，重力與庫(kù)侖力的夾角增大，其合力減小，由平衡條件可知，圓環(huán)對(duì)b球的支持力變小，A項(xiàng)錯(cuò)誤；在左球a到達(dá)c點(diǎn)的過(guò)程中，兩球之間的距離減小，外力做正功，電勢(shì)能增加，B項(xiàng)正確；在左球a到達(dá)c點(diǎn)的過(guò)程中，a、b兩球的重力勢(shì)能之和變化，C項(xiàng)錯(cuò)誤；撤除外力后，a、b兩球在軌道上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)的能量守恒，D項(xiàng)正確。

2．D 【解析】設(shè)圓形區(qū)域磁場(chǎng)的半徑為r，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B1時(shí)，從P點(diǎn)入射的粒子射出磁場(chǎng)時(shí)與磁場(chǎng)邊界的最遠(yuǎn)交點(diǎn)為M，（見(jiàn)圖甲）由題意知∠POM＝120°，則該帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡是以PM為直徑的圓。由幾何關(guān)系得軌跡圓半徑為，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B2時(shí)，從P點(diǎn)入射的粒子射出磁場(chǎng)時(shí)與磁場(chǎng)邊界的最遠(yuǎn)交點(diǎn)為N（見(jiàn)圖乙），由題意知∠PON＝60°，由幾何關(guān)系得軌跡圓半徑為

3．A 【解析】線框受到安培力F＝BIL，而E＝BLv，則，設(shè)安培力在Δt內(nèi)對(duì)線框的沖量為ΔI，則ΔI＝，那么整個(gè)過(guò)程中安培力的沖量

4．C 【解析】設(shè)變壓器的初次級(jí)線圈匝數(shù)之比為k，利用等效思想，將副線圈電阻R＝8Ω等效折成原線圈電路中的電阻為R′＝k2R，將40 kΩ等效為電源內(nèi)阻，當(dāng)內(nèi)外電阻阻值相等時(shí)，可使揚(yáng)聲器獲得最大的功率，即40 kΩ＝k2R，解得k≈70。

5．（1）I1－I2圖線如圖所示

（2）3．0 1．0

【解析】利用描點(diǎn)法繪出I1－I2圖線。對(duì)電路，由閉合電路歐姆定律，E＝I1R0＋（I1＋I(xiàn)2）r，變化成，對(duì)比繪出的I1－I2圖線可知0．5×10－3，聯(lián)立解得r＝1．0Ω，E＝3．0 V。

【解析】設(shè)在某一時(shí)刻球殼形容器的電量為Q。以液滴和容器為體系，考慮從一滴液滴從帶電液滴產(chǎn)生器G出口自由下落到容器口的過(guò)程。根據(jù)能量守恒定律有

式中，v為液滴在容器口的速率，k是靜電力常量。由此得液滴的動(dòng)能為

從上式可以看出，隨著容器電量Q的增加，落下的液滴在容器口的速率v不斷變?。划?dāng)液滴在容器口的速率為零時(shí)，不能進(jìn)入容器，容器的電量停止增加，容器達(dá)到最高電勢(shì)。設(shè)容器的最大電量為Qmax，則有

【解析】（1）如圖所示，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于垂直從交界處進(jìn)入電場(chǎng)，故在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)：

豎直方向：l2＝vt2

在離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)粒子的速度最大，由動(dòng)能定理得

（2）設(shè)在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的圓心角為θ，由幾何關(guān)系知l1＝R sinθ和d＝R（1－cosθ），

（3）在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

（作者單位：江蘇省江陰市第一中學(xué)）