運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，把握核心知識

劉平

摘 要：數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來處理問題的思想，就是數(shù)形結(jié)合思想。以“形”直觀地表達(dá)“數(shù)”，以“數(shù)”精確地研究“形”，這正是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)。在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；核心知識；數(shù)軸

數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透。把數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來處理問題的思想，就是數(shù)形結(jié)合思想。在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，不可能把“數(shù)”和“形”完全孤立地割開，我們常常抓住數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，以“形”直觀地表達(dá)“數(shù)”，以“數(shù)”精確地研究“形”，這正是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合包含了“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，最終做到數(shù)形結(jié)合，相輔相成。

一、借助幾何圖形性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)的問題——以形助數(shù)

借助數(shù)軸，可以通過相應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)與原點(diǎn)的位置關(guān)系刻畫相反數(shù)和絕對值的意義。與原點(diǎn)距離相同的兩個(gè)點(diǎn)所表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；任意一個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離就是它的絕對值。實(shí)數(shù)的絕對值的幾何意義是數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。借助具體數(shù)軸學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)概念，符合初中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，學(xué)生容易理解和掌握。

問題1：指出數(shù)軸上A，B，C，D各點(diǎn)分別表示什么數(shù)？

問題1是數(shù)軸上已知點(diǎn)所表示的有理數(shù)，是由“形”到“數(shù)”的思維過程。

問題2：畫出數(shù)軸，并用數(shù)軸上的點(diǎn)表示下列各數(shù)：

32，-5，0，5，-4，32

問題2是給定的數(shù)用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，是由“數(shù)”到“形”的思維過程。它們從兩個(gè)側(cè)面體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合思想。

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，其中的有理數(shù)學(xué)生容易理解掌握，對于無理數(shù)學(xué)生感到抽象、模糊，為了讓學(xué)生很好地理解掌握它，可通過數(shù)軸直觀表示無理數(shù)。例如，學(xué)生通過研究初步認(rèn)識了無理數(shù)■，也知道1.414<■<1.42，但是如何把表示這個(gè)無理數(shù)■的點(diǎn)精確地在數(shù)軸上表示出來呢？這時(shí)我們借助邊長為1的正方形，它的對角線長正是■，我們就可以在數(shù)軸上表示■的點(diǎn)。由此使學(xué)生體會實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，任何一個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到相應(yīng)的點(diǎn)，數(shù)軸上任何一點(diǎn)都可以用一個(gè)實(shí)數(shù)表示，并能進(jìn)行實(shí)數(shù)大小的比較和運(yùn)算。

“以形助數(shù)”可以通過圖形使所研究的問題中的數(shù)量關(guān)系一目了然，比較直觀。

二、借助數(shù)量關(guān)系解決有關(guān)幾何問題——以數(shù)輔形

數(shù)形結(jié)合就是在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，由數(shù)思形，以形思數(shù)。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法研究數(shù)學(xué)問題，對于溝通代數(shù)與幾何的聯(lián)系有著重要的意義?！皹?biāo)圖”就是在解幾何題時(shí)把條件中所給的數(shù)量關(guān)系標(biāo)在幾何圖中，是使數(shù)量關(guān)系與圖形緊密結(jié)合分析問題的有效方法。

平面直角坐標(biāo)系是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，它建立了有序數(shù)對（x，y）與平面上的點(diǎn)一一對應(yīng)的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了通過圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)研究圖形的性質(zhì)。在平面直角坐標(biāo)系中，如何用坐標(biāo)表示平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)及位似變換，體現(xiàn)了從數(shù)的角度刻畫平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)及位似變換。學(xué)習(xí)用坐標(biāo)表示平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)及位似變換時(shí)，關(guān)鍵是要引導(dǎo)學(xué)生正確理解圖形變換后點(diǎn)的坐標(biāo)的變化，以及點(diǎn)的坐標(biāo)的變化引起圖形的變換，特別是感受圖形變換之后點(diǎn)的坐標(biāo)的變化，把“形”和“數(shù)”緊密結(jié)合在一起，把坐標(biāo)思想和圖形變換思想聯(lián)系起來，這樣可以深化對知識的理解。例如，把一條線段放到平面直角坐標(biāo)系中，我們就可以通過線段端點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出這條線段的長度。把一個(gè)三角形放在平面直角坐標(biāo)系中，我們就可以通過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出這個(gè)三角形的面積等。

三、數(shù)形結(jié)合，互相轉(zhuǎn)換

幾何定理雖然呈現(xiàn)的是圖形的幾何性質(zhì)，但性質(zhì)中不乏線段相等及倍數(shù)關(guān)系等數(shù)量關(guān)系，而這些數(shù)量關(guān)系的發(fā)現(xiàn)，又是與圖形相關(guān)的。尤其是銳角三角函數(shù)的出現(xiàn)，更加凸顯了數(shù)形結(jié)合的重要。解直角三角形是利用直角三角形的邊角關(guān)系、三邊關(guān)系、角角關(guān)系，在知道其中的兩個(gè)元素（至少有一個(gè)邊）后，就可以求出其余元素。求線段的長度或角度的度數(shù)問題，屬于代數(shù)計(jì)算的問題。所以解直角三角形，是典型的數(shù)形結(jié)合，它是利用代數(shù)知識解決幾何圖形問題，借助幾何圖形解決代數(shù)問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點(diǎn)。我們借助直角三角函數(shù)的圖形，易得三角形的邊角關(guān)系。

例如：在△ABC中，AB=2，BC=■，∠CAB=135°，求AC的長。

■

如圖，首先將條件中所給的已知條件標(biāo)在圖上，由圖中∠CAB=135°，想到補(bǔ)角為45°，進(jìn)而延長BA作出輔助三角形ADC，在Rt△CDB中利用勾股定理列出方程x2+（x+2）2=10，解方程得到線段AD的長，再利用等腰三角形ADC求出AC的長。

“數(shù)以形而直觀，形以數(shù)而入微?！边@是我國數(shù)學(xué)家華羅庚對數(shù)形結(jié)合思想的精辟論述。數(shù)形結(jié)合的思想，是通過數(shù)形間的對應(yīng)與互助來研究并解決問題的思想，是最基本的數(shù)學(xué)思想之一，應(yīng)用范圍較為廣泛，對于解決實(shí)際問題提供了巧妙的思想方法。在教學(xué)中要注重?cái)?shù)形結(jié)合思想方法的培養(yǎng)，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的過程中，要充分挖掘教材內(nèi)容，將數(shù)形結(jié)合思想滲透于具體的問題中，在解決問題中讓學(xué)生正確理解“數(shù)”與“形”的相對性，使之有機(jī)地結(jié)合起來。讓學(xué)生真正將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用到解題中，真正做到學(xué)以致用。

參考文獻(xiàn)：

楊明.淺談數(shù)學(xué)思想方法在解題中的應(yīng)用[J].河北理科教學(xué)研究，2008.