鐘形振子式角速率陀螺機電耦合特性分析*

劉 寧,蘇 中

(1.北京信息科技大學(xué)高動態(tài)導(dǎo)航技術(shù)北京市重點實驗室,北京 100101;2.北京理工大學(xué)自動化學(xué)院,北京 100101)

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鐘形振子式角速率陀螺機電耦合特性分析*

劉 寧1*,蘇 中1,2

(1.北京信息科技大學(xué)高動態(tài)導(dǎo)航技術(shù)北京市重點實驗室,北京 100101;2.北京理工大學(xué)自動化學(xué)院,北京 100101)

鐘形振子作為鐘形振子式角速率陀螺的核心敏感元件,其機電耦合特性將直接影響鐘形振子式角速率陀螺的整體性能。針對鐘形振子式角速率陀螺在設(shè)計制作過程中未涉及的機電耦合特性展開分析,提出利用彈性力學(xué)中的能量原理和拉格朗日方法建立鐘形振子機電耦合模型的方法,解決了鐘形振子驅(qū)動與檢測間的多場建模問題,實現(xiàn)了鐘形振子的機電耦合關(guān)系的線性表征。首先通過分析壓電驅(qū)動與檢測原理,通過坐標變換給出壓電電極在鐘形振子作用的壓電勢能表述;利用彈性力學(xué)中的能量原理和拉格朗日方法建立鐘形振子的機電耦合模型,分析壓電電極與鐘形振子特性間的關(guān)系,確定鐘形振子的壓電電極參數(shù)。最后通過試驗手段,驗證分析結(jié)果的正確性和可用性。

鐘形振子式角速率陀螺;鐘形振子;角速率測量;機電耦合特性

鐘形振子式角速率陀螺是受中國傳統(tǒng)大鐘啟發(fā)而來的一種新型軸對稱殼諧振陀螺。是一種利用鐘形振子殼體上駐波的進動效應(yīng),來檢測輸入角速率的固體波動陀螺。其核心器件為一個類似于毫米級中國傳統(tǒng)大鐘的鐘形振子,通過振子壁上的激勵和檢測電極,來控制振子振型從而產(chǎn)生特定駐波,并提取駐波的進動來檢測輸入角速度。其不僅具有傳統(tǒng)固體振動陀螺低成本、低功耗、長壽命、高靈敏度的優(yōu)點外,而且還具有結(jié)構(gòu)簡單、抗沖擊能力強的特點,能夠更好的應(yīng)用在中低精度角速率測量領(lǐng)域[1-2]。

鐘形振子式角速率陀螺利用鐘形振子的高品質(zhì)振動特性,支撐振子底部環(huán)向上產(chǎn)生駐波。文獻[1,3],對于鐘形振子式角速率陀螺的設(shè)計、分析和試驗過程進行了詳細描述,同時對其核心部件鐘形振子的振動特性進行了分析。在此基礎(chǔ)上,已經(jīng)研制出了原理樣機,并進行了相關(guān)試驗驗證。文獻[4],對鐘形振子式角速率陀螺的信號解算方法進行了研究,并在試驗室環(huán)境下對解算方法進行了驗證。文獻[5]針對傳統(tǒng)解算方法的不足,給出了利用自適應(yīng)滑模方法進行角速率信號提取,從而有效的提高了信號精度。

本文針對鐘形振子式角速率陀螺的機電耦合特性展開分析,旨在完善陀螺分析理論,對于設(shè)計生產(chǎn)過程提供理論指導(dǎo)。在研究壓電驅(qū)動檢測原理的基礎(chǔ)上,利用彈性力學(xué)中的能量原理,求解鐘形振子式角速率陀螺的機電耦合模型,并對其特性進行分析,最后對機電耦合特性進行測試,驗證理論分析的正確性。

1 壓電驅(qū)動與檢測原理

壓電材料的自身特性涉及電學(xué)和力學(xué)之間的約束作用,對于結(jié)構(gòu)振動問題而言,以電場和應(yīng)變?yōu)樽宰兞?應(yīng)力與電位移為因變量的第2類壓電方程描述較為方便,其具體形式如下[1,6]:

(1)

式中:T、ζ分別為壓電彈性體的應(yīng)力張量和應(yīng)變張量,?、ξ分別為電位移矢量和電場強度矢量,e為壓電應(yīng)力系數(shù)張量,cE為恒電場下的彈性剛度系數(shù)張量,εs為恒應(yīng)變下的介電系數(shù)張量,上標T為矩陣轉(zhuǎn)置符號[1]。

鐘形振子式角速率陀螺選取壓電系數(shù)較高的壓電陶瓷材料PZT-5H作為驅(qū)動和檢測的壓電電極,具體指標見文獻[7]。對于這類壓電電極,其剛度系數(shù)張量和壓電應(yīng)力系數(shù)張量,在笛卡爾坐標系下可寫為如下形式:

(2)

(3)

式中:壓電應(yīng)力系數(shù)(e)、彈性剛度系數(shù)(cE)、介電系數(shù)εs見文獻[7]。

對美國學(xué)者Kang等人利用張量分析方法,給出了直角坐標系到正交曲線坐標系的坐標變換矩陣[8-9]

(4)

可將標準笛卡爾坐標系下的壓電電極特性問題,轉(zhuǎn)換到了正交曲線坐標系下進行分析,則有

(5)

將式(5)代入式(3)中,利用文獻[9]中所述的坐標變換求解方法,可求解出正交曲線坐標系下的剛度系數(shù)張量和壓電應(yīng)力系數(shù)張量

Tφφ,Tνν,Tθθ,Tφν,Tφθ,Tνθ

(6)

由于公式展開太過復(fù)雜,故不再此贅述,求解過程通過Maple軟件進行。

對于鐘形振子式角速率陀螺而言,壓電電極粘貼于鐘形振子鐘壁上,如圖1所示,8個壓電電極進行環(huán)向均布,每個壓電電極均處于鐘形振子的剛性軸上,這也是金屬殼諧振陀螺的通用電極布置方法。為方便粘接,壓電電極應(yīng)粘貼在鐘形振子的圓柱段,這樣只有θ方向為圓弧,在φ方向上為直線,保證了粘接的可靠性。而在粘貼縱向位置的考慮上,綜合金屬殼諧振陀螺的研究趨勢,應(yīng)讓壓電電極盡量靠近固定端,所以壓電電極的上端應(yīng)緊貼于半球面形結(jié)構(gòu)底部。

圖1 壓電電極粘貼示意圖

壓電電極選取的為沿厚度方向極化的壓電陶瓷材料,其主要振動模式為長度伸縮振動模式,即橫向振動模式。將壓電電極粘貼在鐘壁上,其驅(qū)動輸出位移為垂直于壓電電極的主平面的位移[6]。此時,壓電電極的長度和寬度方向均產(chǎn)生約束,而在厚度方向上不產(chǎn)生約束,即有ν方向電場ξνν不產(chǎn)生ν方向正應(yīng)力和φθ平面內(nèi)的切應(yīng)力,可得其約束條件為

Tνν=0;Tφθ=0;ξφν=0;ξνθ=0

(7)

(8)

式中:Ud為施加到壓電電極的電信號,對于ζφφ,有[10]:

(9)

(10)

式中:i為對應(yīng)的壓電電極的位置編號。在鐘形振子式角速率陀螺中,1號電極和5號電極為激勵電極,故在計算電勢能時,i取1和5。φpb、φpt為壓電電極對應(yīng)的下端和上端對應(yīng)的角度,確定了φpb、φpt即可確定壓電電極的長度,θ2(i-1)+1、θ2i為壓電電極對應(yīng)的左右端的角度,確定了θ2(i-1)+1、θ2i即可確定壓電電極的寬度。

2 機電耦合模型建立

鐘形振子的機電耦合模型,主要是利用彈性力學(xué)的能量原理,借助拉格朗日方法,建立鐘形振子的等效機電耦合模型。鐘形振子在工作過程中,主要存在機械勢能、機械動能和電勢能。在文獻[2]中,根據(jù)質(zhì)點P整體位移的合成矢量,結(jié)合外部輸入角速率,可以求得鐘形振子各質(zhì)點相對慣性空間的運動速度

(11)

于是可求得每個軸向上的運動速度為

(12)

則可求解出鐘形振子的機械動能:

(13)

(14)

可以看出,各主要結(jié)構(gòu)間是由φ方向的值來進行區(qū)分的,在計算每一部分動能時分別代入對應(yīng)結(jié)構(gòu)的坐標約束關(guān)系。φht為圓柱面底端的角度,即為旋轉(zhuǎn)拋物面頂端的角度。

同理,可以求得鐘形振子的機械勢能

=Prh+Prc+Prhp

(15)

式中:Prh為半球面形結(jié)構(gòu)勢能,Prc為圓柱面形結(jié)構(gòu)勢能,Prhp為旋轉(zhuǎn)雙曲面形結(jié)構(gòu)勢能,其求解方式與式(14)一致,也是通過φ方向的不同來計算各部分間的勢能。

(16)

式中:I0至I9為對應(yīng)的系數(shù),此部分可通過Maple軟件進行求解,不再贅述。

根據(jù)求得的電勢能、機械勢能、機械動能,則可構(gòu)建拉格朗日函數(shù)如下:

Lr=Wr+Tr-Pr=I0(p2+q2)+I2p+I3pq+I4(p′2+q′2)+
2ΩΙ5(p′q-q′p)+2ΩΙ6(p′p+q′q)+I7p2+I8q2+I9pq=
(I0+I7)p2+(I0+I8)q2+I2p+(I3+I9)pq+I4(p′2+
q′2)+2ΩΙ5(p′q-q′p)+2ΩΙ6(p′p+q′q)

(17)

在文獻[11]中,給出了該類方程的解法,即構(gòu)造如下拉格朗日方程組:

(18)

式中:δd為阻尼系數(shù)。求解上述方程,便可得到鐘形振子的等效機電耦合動力學(xué)方程

(19)

于是,可以得到,在考慮壓電電極的影響時,鐘形振子的固有角頻率為

(20)

進動因子為

(21)

特別要指出的是,I2的表達式如式(22):

(22)

由此可以看出,I2銜接了壓電電極與鐘形振子振動,通過施加外部驅(qū)動Ud產(chǎn)生驅(qū)動力,激勵鐘形振子振動。與文獻[2]中建立的鐘形振子等效動力學(xué)模型相比,式(19)在結(jié)構(gòu)形式上基本一致,只是引入了壓電電極的作用,在等號的右側(cè)增加了輸出的激勵表述。

3 特性分析

3.1 固有頻率與壓電電極參數(shù)

式(20)和文獻[2]中等效動力學(xué)方程求解方法,分別利用不同的方法給出了固有角頻率計算公式,利用數(shù)值仿真分析方法,對兩者進行對比,具體參數(shù)選取如文獻[2]中參數(shù)所示,壓電電極寬度2 mm,厚度0.25 mm,長度8 mm,仿真結(jié)果如圖2所示,圖中所示為鐘形振子的固有頻率。

圖2 固有頻率仿真結(jié)果對比

圖2中針對鐘形振子的固有頻率給出了4種計算結(jié)果:有壓電電極情況下有限元計算結(jié)果、無壓電電極情況下有限元計算結(jié)果、式(20)和等效動力學(xué)方程的計算結(jié)果。其中,有壓電電極的有限元仿真,是利用文獻[12]中方法,將壓電電極模型通過導(dǎo)電膠直接粘接在鐘形振子的圓柱面形結(jié)構(gòu)的表面,導(dǎo)電膠的參數(shù)主要涉及密度、彈性模量、泊松比和厚度,分別為2 000 kg/m3、8.3 GPa、0.38和10 μm[13],建立的有限元仿真模型如圖3所示,然后利用文獻[2]中模型,計算鐘形振子的固有頻率,在計算過程中令δd=0,即忽略掉系統(tǒng)阻尼影響。壓電電極的結(jié)構(gòu)仿真參數(shù)如表1所示。

圖3 壓電電極粘貼鐘形振子有限元模型

參數(shù)名稱參數(shù)范圍仿真步長基本值壓電電極長度Lp/mm2～80.58壓電電極寬度Wp/mm0.5～2.00.12壓電電極厚度Hp/mm0.1～0.50.050.2

由圖2可以看出,鐘形振子在1階振型至5階振型固有頻率的4種計算方法基本一致,均可反應(yīng)鐘形振子的固有頻率特性。為方便起見,利用有限元仿真中的模態(tài)分析,研究壓電電極的尺寸對鐘形振子固有頻率的影響,分析結(jié)果如圖4所示。

圖4 鐘形振子固有頻率與壓電電極結(jié)構(gòu)參數(shù)間的關(guān)系

由圖4可以看出,隨著壓電電極的增大,鐘形振子的固有頻率會逐漸增大,但是固有頻率變化的幅值相對較小。相比于圓杯型振子而言,其壓電電極的尺寸變化引起的頻率變化遠小于鐘形振子[14],究其原因,主要是圓杯型振子壓電電極粘貼于底部平面,緊貼于固定端;而鐘形振子的壓電電極置于鐘壁上,離自由端較近,對頻率的影響相對較大。

3.2 振動幅值與應(yīng)力

對于鐘形振子在壓電電極作用下的振動效果和檢測效果,建立的機電耦合模型因其未考慮膠層、壓電阻尼等影響,僅能反映出鐘形振子的頻率變化,還不能完全反應(yīng)全部特性。對于這類復(fù)雜場問題,通常采用多物理場耦合方法進行有限元仿真,驗證鐘形振子在壓電電極激勵情況下的振動情況,同時提取壓電電極的檢測應(yīng)力,驗證膠層的傳導(dǎo)能力[13-14]。在文獻[14]中,作者針對圓杯型振動陀螺的膠層粘接問題,進行了分析,利用有限元仿真方法,給出了膠層粘接的基本特性,并進行了試驗驗證;文獻[14]中,作者針對圓杯型振動陀螺的壓電電極問題進行研究,分析了壓電電極尺寸對圓杯型振子的影響,進行了相關(guān)試驗。綜合上述兩篇文獻的仿真方法,本文利用有限元仿真分析,通過多物理場耦合仿真分析手段,利用諧響應(yīng)分析方法,在壓電電極1和5電極端施加5 V的交流電場進行掃頻,找到最大振幅讀取相關(guān)應(yīng)力。壓電電極仿真參數(shù)如表所示,鐘形振子結(jié)構(gòu)參數(shù)如文獻[2]中所示。

鐘形振子的壓電電極緊固于鐘形振子圓柱面形結(jié)構(gòu)上,壓電電極與鐘壁之間靠膠層連接,由于圓柱面形結(jié)構(gòu)特點,壓電電極不能完全與其接觸,出現(xiàn)的縫隙由膠層填充,如圖3所示。鐘形振子的最大振幅,出現(xiàn)在中唇部位(紅色),如圖5(d)所示。提取最大振幅值,對壓電電極和膠層參數(shù)進行仿真,結(jié)果如圖5和圖6所示。

由圖5可以看出,隨著壓電電極的增大,其驅(qū)動力變大,使得鐘形振子振幅增大。而當壓電電極的厚度為0.25 mm時,振幅最大。這一厚度,恰為鐘形振子壁厚的一半,在仿真過程中,鐘形振子的壁厚為0.5 mm。這一結(jié)論,與文獻[14-15]中所得結(jié)果一致,這也證明了該仿真分析方法的正確性。因此在鐘形振子壓電電極的結(jié)構(gòu)選取上,應(yīng)選取盡量長、盡量寬,厚度為振子厚度一半的壓電電極。在樣機制作過程中,考慮到壓電電極的加工過程與粘貼工藝,故選取寬度為2 mm的PZT-5H壓電電極,其長度與鐘形振子圓柱面形高度一致,厚度為鐘形振子厚度的一半。

由圖6可以看出,隨著膠層厚度的增加,振幅減小;而當彈性模量為7.2 GPa時,其振幅最大。故在進行膠層選型時,應(yīng)選取膠層的彈性模量在7 GPa左右,且涂抹時應(yīng)盡量薄。

圖5 壓電電極參數(shù)對振幅影響仿真結(jié)果

圖6 膠層參數(shù)對振幅影響仿真結(jié)果

4 粘接效果測試

按照設(shè)計的電極參數(shù),利用制作出的鐘形振子,粘貼電極,如圖7所示。并對鐘形振子的固有頻率與輸出效果進行測試。

鐘形振子的固有頻率測試,主要是利用Solartron 1255B掃頻儀,對鐘形振子的頻域特性進行測試。測試的振子利用文獻[16-17]提出的振子機械平衡調(diào)節(jié)方法進行了處理,使得最終鐘形振子的頻率裂解在0.3 Hz。首先,進行鐘形振子激勵模態(tài)的頻率檢測,將掃頻儀的信號輸出端連接至壓電電極1和5,將通道1連接至壓電電極3,將通道2連接至壓電電極7,測試結(jié)果如圖8所示[2]。此時,測試出鐘形振子的激勵模態(tài)頻率為6 930.6 Hz。同理,將掃頻儀的信號輸出端連接至壓電電極2和6,將通道1連接至壓電電極4,將通道2連接至壓電電極8,測試結(jié)果如圖9所示,測試出鐘形振子的檢測模態(tài)頻率為6 930.3 Hz。

觀察兩組掃頻結(jié)果,對應(yīng)同樣功能的電極輸出有差異,且激勵模態(tài)和檢測模態(tài)頻率不一致。在實際加工中,鐘形振子的材料特性分布、結(jié)構(gòu)加工誤差等外在因素導(dǎo)致其結(jié)構(gòu)不完全對稱,影響了鐘形振子剛性軸系分布,使得振型發(fā)生偏移,同時會引起激勵模態(tài)和檢測模態(tài)的頻率偏差(這一偏差值稱為頻率裂解),這一特性是金屬殼諧振陀螺的固有特性之一[18]。

圖7 鐘形振子掃頻測試示意圖

圖8 激勵模態(tài)掃頻結(jié)果

圖9 檢測模態(tài)掃頻結(jié)果

對制作出的鐘形陀螺進行轉(zhuǎn)臺跟蹤試驗,啟動5 min后,控制轉(zhuǎn)臺以速率模式分別轉(zhuǎn)動±60 °/s、±120 °/s、±180 °/s、±240 °/s、±300 °/s、±360 °/s,每個角速率度轉(zhuǎn)動大于1 min。測試結(jié)果如圖10所示,可以看出,設(shè)計的多回路控制方法,能夠準確跟蹤轉(zhuǎn)臺運動。但會有一定的偏差,這一偏差屬于陀螺固有屬性,可通過后期標定進行消除。

綜上所述,根據(jù)分析的鐘形振子式角速率陀螺機電耦合特性,設(shè)計的壓電電極尺寸,滿足設(shè)計要求,能夠適用于鐘形振子式角速率陀螺中。

圖10 轉(zhuǎn)臺跟蹤測試

5 結(jié)論

鐘形振子作為鐘形振子式角速率陀螺的核心敏感元件,其機電特性將直接影響鐘形振子式角速率陀螺的整體性能。本文通過分析壓電驅(qū)動與檢測原理,通過坐標變換給出壓電電極在鐘形振子作用的壓電勢能表述;利用彈性力學(xué)中的能量原理和拉格朗日方法建立鐘形振子的機電耦合模型,分析壓電電極與鐘形振子特性間的關(guān)系,確定鐘形振子的壓電電極參數(shù)。最后對鐘形振子的固有頻率和陀螺動態(tài)性能進行測試,驗證了陀螺電極的基本性能。

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劉 寧(1986-),男,漢族,博士,助理研究員,籍貫北京。主要從事慣性器件和高動態(tài)IMU研究;

蘇 中(1962-),男,漢族,博士,教授,博士生導(dǎo)師,籍貫安徽。主要從事慣性器件、高動態(tài)IMU 和組合導(dǎo)航的研究。

Electromechanical Coupling Characteristics Analysis ofBell-Shaped Vibratory Angular Rate Gyro*

LIU Ning1*,SU Zhong1,2

(1.School of Automation,Beijing Information Science and Technology University,Beijing 100101,China;2.Institute of Intelligence Control,Beijing Information Science and Technology University,Beijing 100101,China)

Bell-shaped resonator as the core of the bell-shaped vibratory angular rate gyro(BVG),which will directly affect the electromechanical coupling characteristics of BVG’s overall performance. For BVG in design making process in the not involved of electromechanical coupled characteristics expand analysis,proposed using elastic mechanical in the of energy principle and Lagrange method established bell-shaped resonator coupled model of method,solution has bell-shaped resonator drive and detection between of multi-field built problem,achieved has bell-shaped resonator of electromechanical coupled relationship of linear characterization. Firstly,it detected through the analysis of piezoelectric-driven principles by coordinate transformation given piezoelectric potential of the electrode in the bell-shaped resonator function can be stated using elastic energy in principle and Lagrange method of electromechanical coupling model of bell-shaped resonator,analysis of relationship between electrode and bell-shaped resonator,bell-shaped resonator electrodes piezoelectric parameters were determined. Through a means test to verify results and availability.

bell-shaped vibratory angular rate gyro;bell-shaped resonator;angular rate measurement;electromechanical coupling characteristics

項目來源:國家自然科學(xué)基金項目(61471046);北京市自然科學(xué)基金項目(4172022);北京市教委市屬高校創(chuàng)新能力提升計劃項目(TJSHG201510772017);北京市科技專項項目(Z161100005016109);高動態(tài)導(dǎo)航技術(shù)北京市重點實驗室開放課題項目

2016-08-19 修改日期:2017-02-27

TP212.1

A

1004-1699(2017)07-0977-08

C:7230

10.3969/j.issn.1004-1699.2017.07.001