對一個(gè)習(xí)題的拓展教學(xué)

陳 浩

（西藏民族大學(xué)附屬中學(xué) 陜西 咸陽 712082）

對一個(gè)習(xí)題的拓展教學(xué)

陳 浩

（西藏民族大學(xué)附屬中學(xué) 陜西 咸陽 712082）

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體能動性，“倡導(dǎo)學(xué)生積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”，同時(shí)高考也注重對學(xué)生數(shù)學(xué)思維和能力的考察。本文就以“焦點(diǎn)三角形”的教學(xué)，談?wù)務(wù)n本例題的實(shí)施與高考的接軌。

習(xí)題；高考；點(diǎn)三角形

在《橢圓》學(xué)習(xí)中，焦點(diǎn)三角形這個(gè)知識點(diǎn)是比較重要的。它不僅蘊(yùn)含了橢圓的定義、離心率，還對后面學(xué)習(xí)的拋物線、雙曲線等的同類問題具有承上啟下的鋪墊作用。在考查中，常常結(jié)合三角形中的相關(guān)定理進(jìn)行考查，靈活性較大，一般屬于中高檔題，需要學(xué)生作為重點(diǎn)內(nèi)容來理解掌握。為此，在教學(xué)中本人結(jié)合教材習(xí)題，嘗試著引導(dǎo)學(xué)生對這類問題進(jìn)行舉一反三的學(xué)習(xí)，以提高學(xué)生的思維和探索能力。

【例1】（新人教版選修2-1，P40練習(xí)第3題）已知經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F2作垂直于x軸的直線AB，F(xiàn)1是橢圓的左焦點(diǎn)（見圖1）.

圖1

（1）求△AF1B的周長；

（2）如果AB不垂直于x軸，△AF1B的周長有變化嗎，為什么？

解析：對于問題1，同學(xué)們很快利用橢圓的定義解答完畢，即｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a.所以l＝｜AF1｜＋｜AF2｜＋｜BF1｜＋｜BF2｜＝4a＝20.對于問題2，由問題1可知，△AF1B的周長沒有變化.

為進(jìn)一步加深對橢圓定義的理解，逐步引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識橢圓的焦點(diǎn)三角形的特征，先讓學(xué)生思考例2。

【例2】在例1的橢圓中，如果AF1⊥AF2，求△AF1F2的面積（見圖2）.

圖2

在課堂巡視中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生一般采用兩種方法去做。

解析：方法一：設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)（x，y），通過AF1⊥AF2以及點(diǎn)A在橢圓上求出其坐標(biāo)，所以

方法二：通過求出｜AF1｜與｜AF2｜的值，得

顯然，無論哪一種方法，計(jì)算都比較繁瑣，所以鼓勵(lì)學(xué)生去尋找一種更簡便的方法，即不分別求出｜AF1｜與｜AF2｜的值，而通過搭建｜AF1｜＋｜AF2｜與｜AF1｜2＋｜AF2｜2的關(guān)系式，去求｜AF1｜·｜AF2｜.學(xué)生得到提示，很快得出了這個(gè)關(guān)系式：｜AF1｜2＋｜AF2｜2＝（｜AF1｜＋｜AF2｜）2－2｜AF1｜·｜AF2｜（向?qū)W生指明，這是橢圓焦點(diǎn)三角形的特征之一），

所以2｜AF1｜·｜AF2｜＝（｜AF1｜＋｜AF2｜）2－（｜AF1｜2＋｜AF2｜2）＝（2a）2－（2c）2＝4b2＝64.

在學(xué)生感受到利用橢圓焦點(diǎn)三角形特征解題的優(yōu)越性之后，趁熱打鐵，引導(dǎo)學(xué)生思考例3。

【例3】已知F1、F2為橢圓（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且∠PF1F2＝105°，∠PF2F1＝15°，則e等于多少（見圖3）？

圖3

學(xué)生發(fā)現(xiàn)利用求點(diǎn)P或者求｜PF1｜與｜PF2｜是無法解決問題，于是很自然將問題朝橢圓焦點(diǎn)三角形的特征方面思考，可是，同學(xué)們還是沒有太大進(jìn)展。這時(shí)，我進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從三角形方面入手，讓學(xué)生回憶在前面的內(nèi)容中，我們是如何處理三角形的邊角關(guān)系的，又如何將e與已知條件聯(lián)系起來呢？學(xué)生得到啟發(fā)，思路變得越來越清晰了。下面我們來看一下，解答過程。

通過以上三個(gè)例題，引導(dǎo)學(xué)生歸納關(guān)于橢圓的焦點(diǎn)三角形的特征：

特別提醒：（1）解題過程中要注意整體思想的應(yīng)用，｜PF1｜＋｜PF2｜與｜PF1｜－｜PF2｜可以作為整體相互表示，而不必分別求出｜PF1｜和｜PF2｜。

在學(xué)生整理好結(jié)論之后，要求學(xué)生結(jié)合剛才學(xué)習(xí)的內(nèi)容，獨(dú)立練習(xí)例4。

點(diǎn)評：本題考查橢圓性質(zhì)中焦半徑｜PF2｜范圍的運(yùn)用和解焦點(diǎn)三角形的基本方法。具有一定的難度。得分的關(guān)鍵是利用正弦定理將角化為邊｜PF1｜、｜PF2｜的比值，還有定｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a的及時(shí)參與，最后熟記｜PF2｜∈（a－c，a＋c）。

課后思考：（2007年江蘇15）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC頂點(diǎn)A（－4，0）和C（4，0），頂點(diǎn)B在橢圓

在高考題中，橢圓、拋物線、雙曲線都有涉及焦點(diǎn)三角形的題目，在這里我就不一一列舉了。希望通過對以上例題的學(xué)習(xí)，我們的同學(xué)能在做題中靈活運(yùn)用焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)進(jìn)行舉一反三，觸類旁通。這樣不僅可以避免大量繁瑣的計(jì)算過程，起到優(yōu)化解題作用，還可以為學(xué)生節(jié)約寶貴的考試時(shí)間。所以，在圓錐曲線的學(xué)習(xí)中，對于焦點(diǎn)三角形性質(zhì)的學(xué)習(xí)的重要性是不言而喻的。