數(shù)學(xué)概念理解學(xué)習(xí)課例探討

浙江省平湖市稚川實驗中學(xué)(314200) 徐永明

數(shù)學(xué)概念理解學(xué)習(xí)課例探討

浙江省平湖市稚川實驗中學(xué)(314200) 徐永明

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要方面是概念學(xué)習(xí),初中數(shù)學(xué)概念的表征趨于嚴(yán)謹(jǐn)和抽象,但概念教學(xué)大多仍局限在感性層面,缺少概括抽象過程,對概念深入理解不夠．概念學(xué)習(xí)應(yīng)該是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)揭示的過程,將新的知識納入自己的原有知識體系中形成整體,才能對后續(xù)學(xué)習(xí)有效．

1.概念理解學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)概念的正確理解關(guān)鍵在于,使學(xué)生心中在已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上建立起新概念的恰當(dāng)?shù)男睦韮?nèi)化,即所學(xué)概念相聯(lián)系的整體性質(zhì)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)或心智圖像．概念理解學(xué)習(xí)就是,認(rèn)識概念的由來,更重要的是明確概念的內(nèi)涵及外延．牢固地掌握概念的表達(dá)形式,了解概念間的關(guān)系,形成概念知識系統(tǒng),靈活運用概念知識解釋有關(guān)數(shù)學(xué)問題．

一個數(shù)學(xué)概念往往是一個章節(jié)的核心知識,理解好概念為整章節(jié)的順利學(xué)習(xí)以及今后學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ),因此,理解學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)概念課堂教學(xué)的核心．本文以七上《平方根》的課例做一探討．

2.概念理解學(xué)習(xí)教學(xué)課例

學(xué)習(xí)平方根概念,是后面學(xué)習(xí)實數(shù)的準(zhǔn)備知識,是學(xué)習(xí)二次根式,一元二次方程的基礎(chǔ).概念理解目標(biāo)是,理解平方根的概念,會用根號表示一個數(shù)的平方根．理解求一個正數(shù)的平方根與平方是互逆的運算,會利用這個互逆運算關(guān)系求某些非負(fù)數(shù)的平方根,理解算術(shù)平方根的性質(zhì).為此讓學(xué)生積極參與教學(xué)活動,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)概念的好奇心和求知欲．加強概念形成過程的教學(xué),從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,從邏輯演繹到類比聯(lián)想,鼓勵學(xué)生進行探索和交流,促進學(xué)生概念的整體理解．

2.1 從邏輯關(guān)聯(lián)、層次遞進中問題引入,自主活動、啟疑引新,實現(xiàn)概念基礎(chǔ)認(rèn)知．

圖1

環(huán)節(jié)1.先請(同)學(xué)們完成以下填空,再思考后面兩個問題邊長為1.2的正方形的面積是___;面積為1.44的正方形的邊長為___;

(4)思考：有沒有一個數(shù)的平方等于一個負(fù)數(shù)?你認(rèn)為(1)(2)(3)中分別是一種什么運算?

先動手操作嘗試,再在相互交流的基礎(chǔ)上逐個舉手回答提出的問題,不斷補充完善,達(dá)成共識．通過平方運算,讓學(xué)生回顧知識,并熟悉平方運算規(guī)律和性質(zhì),從中引出逆向思維問題,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情．從特殊性問題到一般性問題的歸納,促進學(xué)生對問題的本質(zhì)理解.一般新知識都是建立在原有知識的基礎(chǔ)之上的,這樣引入新課是建立在學(xué)生對數(shù)字的規(guī)律和聯(lián)系的把握上的,學(xué)生是比較容易接受的．體現(xiàn)“做中學(xué)”教學(xué)思想,以思維活動為導(dǎo)向,數(shù)學(xué)交流合作,注重數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)．

環(huán)節(jié)2. 師：這里問題(1)中已知什么,求什么?它是一種什么運算?

生：已知底數(shù)和指數(shù),求其冪的運算,它是乘方運算!

師：這里指數(shù)為2時,是乘方中的平方運算!

師：那么你認(rèn)為問題(2)(3)中又是一種什么運算呢?

生：已知指數(shù)和冪,求其底數(shù),它是乘方(平方)運算的逆運算!

師：從方程角度看,這種運算過程是什么?

生：是解方程根的過程．

師：從以上問題觀察,你發(fā)現(xiàn)x2=a的解x個數(shù)有何規(guī)律?

生：a為正數(shù),有正負(fù)二個根,互為相反數(shù);a為0時,x為零;a為負(fù)數(shù),x不存在．

引導(dǎo)學(xué)生回答問題,然后由學(xué)生通過觀察,并結(jié)合互逆運算的知識,啟發(fā)學(xué)生找出等式兩邊存在的聯(lián)系,發(fā)現(xiàn)歸納數(shù)學(xué)規(guī)律．這樣有利于使學(xué)生意識到本章的學(xué)習(xí)將是前面所學(xué)知識的一個再發(fā)展的過程,并激發(fā)學(xué)生飽滿的學(xué)習(xí)熱情,引導(dǎo)他們以積極的態(tài)度和旺盛的精力主動探索,并且在思考中感受思維的美,在探索解決問題中體驗快樂,從而獲得最佳效益．注重邏輯思維能力培養(yǎng),幫助學(xué)生揭示規(guī)律本質(zhì),理解概念的“來龍去脈”和相關(guān)聯(lián)系點,以應(yīng)對實際變化,促進理解．

2.2 從運算關(guān)系、數(shù)學(xué)表征中類比展開,對話討論、由表及里,實現(xiàn)概念心理架構(gòu)．

圖2

環(huán)節(jié)3. 師：同學(xué)們,前面問題(1)我們求的是一個數(shù)的平方冪,請問一般情況下,若x2=a,則a叫作什么?

生：a是x平方冪!

師：那么這里的x應(yīng)該怎么命名呢?

生1：方程的根．

生2：平方底．

生3：a的根．

師：很好,同學(xué)們都表達(dá)了x與a內(nèi)在關(guān)系!綜合大家的建議,為了更能顯示x與a的關(guān)系,你覺得命名什么合理?

生：x是a的平方根!

師：很好,也可叫做x是a的二次方根!這就是我們今天要學(xué)的新概念,下面請位同學(xué)用中文語言來定義平方根的概念．

生：如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根或二次方根．

師：請嘗試口答問題,的平方根分別是什么?的二次方根分別是什么?

先由師生商議后命名,由學(xué)生嘗試自己定義,再在嘗試口答問題的基礎(chǔ)上歸納平方根的個數(shù)規(guī)律．讓學(xué)生經(jīng)歷認(rèn)知沖突,產(chǎn)生一種急切解決問題的愿望,促進學(xué)生進入對問題產(chǎn)生的數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考．平方根概念的引入,由實際問題引入,到提出問題,再到解決問題,最后歸納出問題的實質(zhì)．本環(huán)節(jié)通過學(xué)生動腦,動口,充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,激發(fā)學(xué)生的求知欲望．教師讓學(xué)生自己解決問題,并適時類比拓展知識,若x3=a,x4=a,···,xn=a,哪x分別叫什么?根的個數(shù)又如何呢?可根據(jù)學(xué)生情況,適當(dāng)介紹.指出高中會圓滿解決這些問題．鼓勵學(xué)生進一步學(xué)習(xí)的心向,激發(fā)他們的想象力和求知欲望．

環(huán)節(jié)4.介紹表示法,正數(shù)a的正平方根用表示,(讀做“根號a”);a的負(fù)平方根用表示,(讀做“負(fù)根號a”);因此,一個正數(shù)a的平方根就用表示,(讀做“正、負(fù)根號a”),其中a叫做被開方數(shù)．

直接介紹表示法,并用特例來加以說明,以促進理解．在嘗試中規(guī)范符號表示法,化簡的要求,并從上面嘗試運算中引導(dǎo)感悟理解的存在性及大?。ㄟ^學(xué)生動腦,動口對平方根概念進行正說與逆說,加深對平方根概念的理解;然后在上面敘述的基礎(chǔ)上提出平方根概念的符號表示方法后,再次利用學(xué)生所舉的上列等式,提出問題：請你用符號語言來表示等式右邊各數(shù)的平方根,并計算出結(jié)果.類比以前學(xué)的運算符號,學(xué)生對平方根概念的理解經(jīng)歷了由文字語言到符號語言的轉(zhuǎn)化,由直觀到抽象的轉(zhuǎn)化,理解引進平方根運算符號的科學(xué)性．從1.96;2.25;2的平方根的計算結(jié)果中,提出的存在性及大小的估計,對雖不能求解,但能體會到它是一個介于1.4與1.5之間的數(shù),培養(yǎng)學(xué)生探究問題的方法．

2.3 從辨析屬性、聯(lián)系運用中發(fā)展能力,嘗試交流、反思內(nèi)化,實現(xiàn)概念心智完善．

圖3

環(huán)節(jié)5.師：前面問題(2)和(3)是一種什么運算?

生：求一個數(shù)的平方根!

師：對,我們把這種運算叫作開平方運算,即求一個數(shù)的平方根的運算叫做開平方,這個數(shù)叫被開方數(shù),顯然開平方是平方運算的逆運算．

師：我們知道,一個正數(shù)的平方根有正負(fù)二個,互為相反數(shù);零的平方根為0,負(fù)數(shù)沒有平方根．我們把正數(shù)的正平方根和零的平方根,統(tǒng)稱算術(shù)平方根.即一個數(shù)a(a≥0)的算術(shù)平方根記做這樣是怎樣的數(shù)?

生：是一個非負(fù)數(shù)!

師：由于的被開方數(shù)a也是非負(fù)數(shù),因此稱√a具有雙重非負(fù)性．

鞏固嘗試：(1)求下列各數(shù)的算術(shù)平方根．

理解開平方運算及結(jié)果形式和算術(shù)平方根,規(guī)范書寫邏輯格式．有了前面的問題預(yù)設(shè),順勢利導(dǎo),容易得出和理解下位概念及相關(guān)性質(zhì)．在教師示范格式的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生板演完成,討論、糾錯.進一步加深根號的形式理解,避免概念的混淆．以討論辨析為主,針對學(xué)生在解題過程中容易出現(xiàn)的錯誤進行一定的講解.從關(guān)系運算上升到符號形式運算,計算m2的算術(shù)平方根包含著分類討論思想運用．學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、驗證、歸納等,使他們經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題．

環(huán)節(jié)6.課堂鞏固練習(xí)．基礎(chǔ)題：1.下列各數(shù)有沒有平方根?如果有,求出它的平方根和算術(shù)平方根：

學(xué)生自主練習(xí)完成為主,由學(xué)生板演、糾錯、議論為輔．教師巡視,適時個別指導(dǎo)．通過練習(xí),使學(xué)生將所學(xué)知識內(nèi)化為自己的知識,通過對問題情境的適當(dāng)變化,以促進學(xué)生對知識的靈活掌握．所設(shè)計練習(xí)具有典型性,可討論性,較強的檢測性．

提高題：3.如圖4,若小正方形的邊長為1,則陰影正方形的邊長為___;若大正方形的邊長為a,則陰影正方形的邊長為___．

圖4

4.已知一個長方形的長是寬的2倍,面積為72,求這個長方形的周長．

在完成基礎(chǔ)題的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生獨立思考完成,后交流思想方法．讓學(xué)生進入最近發(fā)展區(qū),加強對學(xué)生知識應(yīng)用能力的培養(yǎng),完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．在學(xué)生思考的基礎(chǔ)上,注重思維方法啟發(fā)．問題3的解決有助于觀察能力、數(shù)形結(jié)合思想運用能力培養(yǎng),另外可進一步得出存在性,并在整數(shù)1與2之間,驗證了前面合理猜想．問題4的解決有助于數(shù)學(xué)分割思想和方程思想的靈活運用．兩題的解決體會到平方根概念運用的幾何意義及代數(shù)運算工具的重要性,促進學(xué)生心智進一步完善．

最后從學(xué)習(xí)知識、探索知識的方法、有何啟示來進行總結(jié)．反思小結(jié)中要結(jié)合課堂所呈現(xiàn)的問題方法回顧,提煉思想方法,進一步疏理知識結(jié)構(gòu),優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,提高對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識,完善概念心智水平,增進樹立學(xué)習(xí)自信心,以利于今后的學(xué)習(xí)．

3.教學(xué)后記

3.1 注重學(xué)生的自我習(xí)得

教學(xué)中通過學(xué)生的嘗試、發(fā)現(xiàn)、釋疑、解疑完成教學(xué)任務(wù),學(xué)生用動手觀察、分析、合作、交流等手段,獲得數(shù)學(xué)的體驗,并通過分析、歸納、抽象,幫助學(xué)生逐漸形成自己的數(shù)學(xué)知識．緊緊抓住互為逆運算,通過互逆運算實際例子的引入,讓學(xué)生自己動手,使學(xué)生能夠在活動的過程中,主動發(fā)現(xiàn),主動探索知識和主動建構(gòu)所學(xué)知識的意義．經(jīng)歷探索平方根性質(zhì)的過程,并能在與他人交流的過程中,合理清晰地表達(dá)自己的思維過程．

3.2 理解載體的合理設(shè)計

概念的理解過程不能以死記硬背和機械模仿來完成,不然不僅不能很好理解概念,而且對學(xué)生理性思維發(fā)展造成傷害．應(yīng)通過設(shè)計問題載體讓學(xué)生進行分析、綜合、歸納、抽象、類比等,概括出概念的本質(zhì)特征．在問題和練習(xí)中突出數(shù)學(xué)思維能力,進行數(shù)學(xué)地思考問題,以逐漸加深和強化對概念的理解．要綜合運用各種教學(xué)方法和教學(xué)手段,優(yōu)化課堂,力求使學(xué)生能正確理解概念,從而能夠靈活使用概念解答問題．

3.3 過程概括的應(yīng)用完善

概念教學(xué)的核心就是概括,教學(xué)中要將數(shù)學(xué)概念中的發(fā)現(xiàn)、歸納、抽象的思維活動打開．設(shè)計典型具體問題事例為載體,引導(dǎo)學(xué)生分析各事例的屬性、抽象概括其共同本質(zhì)屬性、歸納得出數(shù)學(xué)概念等思維活動而獲得概念、理解概念,在多種場景運用中提升概念的內(nèi)化能力,達(dá)到完善的概念心智水平．這對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力具有基本的重要性,實現(xiàn)對接教學(xué)的目的,支撐起學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．

[1]李善良著.現(xiàn)代認(rèn)知觀下的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)與教學(xué)[M].南京：江蘇教育出版社,2005

[2]張穎.初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)方法初探[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊.2011年第09期

[3]羅增儒.數(shù)學(xué)概念的教學(xué)認(rèn)識(續(xù))[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.2016年11期