挖掘隱含條件，妙解初中數(shù)學(xué)題

曹孝林

摘 要：數(shù)學(xué)問題中的隱含條件主要是指隱藏在題目內(nèi)容的必要解題條件，學(xué)生需要經(jīng)過適當(dāng)?shù)臈l件推理、計算變換等基本過程才能將其挖掘出來。對于初中階段的學(xué)生而言，對其進(jìn)行數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)事實上就是引導(dǎo)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)題中的隱含條件，進(jìn)而實現(xiàn)鍛煉其自身邏輯思維能力的目的。教師應(yīng)積極采取相應(yīng)教學(xué)策略，以有效幫助學(xué)生掌握科學(xué)的解題思路，從而進(jìn)一步形成良好的解題、思考習(xí)慣。在本文中，筆者詳細(xì)講解了如何在學(xué)生的解題過程中挖掘隱含條件的相關(guān)策略，旨在為學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力鍛煉、培養(yǎng)工作提供參考思路。

關(guān)鍵詞：隱含條件 逆向思維 妙解挖掘

一、 從已知條件中挖掘隱含條件

從初中數(shù)學(xué)題的題型難度與解題技巧綜合因素上考慮，大部分的隱含條件往往就存在于一致條件中。學(xué)生只需要在解題時對題目中所給出的一致條件進(jìn)行更為簡單的推算即可輕松得出。然而，由于部分學(xué)生在解題時急于做題，因此忽略了題目中的重要條件。從已知條件中挖掘隱含條件的基本方法上看，學(xué)生大致可以參照如下三種方法進(jìn)行題目已知條件的思考。奇偶分析法：這種方法主要是通過等式兩邊的奇偶性分析，獲得已知條件中隱含條件的方法。特殊值分析法：這類方法通常應(yīng)用于“恒成立”相關(guān)題型中，針對這一題型，學(xué)生可以將題目中所給出的關(guān)鍵變量或關(guān)鍵條件進(jìn)行特殊性簡化。特殊公式推理法：學(xué)生在進(jìn)行解題之前，則可以先對題目中所給出的特殊公式進(jìn)行分析，再根據(jù)具體的分析結(jié)果對題目所給出的一致條件中是否存在隱含條件進(jìn)行綜合判斷。例如，在題目“一元二次方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0，該方程的兩個實根分別為x1與x2，求解滿足該方程條件x12+x22最大值。”在這一題目中，若學(xué)生沒有對題目所包含的隱含條件進(jìn)行進(jìn)一步思考時，則極易忽略k值的取值情況，而直接根據(jù)方程式求解得出錯誤的“最大值為19”這一答案。

二、 結(jié)合代數(shù)形式挖掘隱含條件

代數(shù)式是初中數(shù)學(xué)的常見表達(dá)形式，在許多數(shù)學(xué)題中，隱含條件就隱藏在題目中的代數(shù)式中而不易被學(xué)生發(fā)現(xiàn)，學(xué)生若沒有將代數(shù)式中的隱含條件有效運用至數(shù)學(xué)題的解題過程中，那么學(xué)生所計算得出的結(jié)果通常為不完整或不準(zhǔn)確的。由此可見，學(xué)生在面對含代數(shù)式的題型時，應(yīng)充分思考代數(shù)式在題目中所代表的基本含義，并善于挖掘隱含條件，結(jié)合該條件對題目進(jìn)行整體性把握，完善其解題過程，從而有效提高學(xué)生的解題準(zhǔn)確度。例如，在方程“（a2+b2）2-3（a2+b2）-10=0，那么a2+b2的值為多少？”在具體的解題過程中，大多數(shù)學(xué)生都會將a2+b2看成一個整體，設(shè)a2+b2為y，那么原方程將簡化成常見的方程式。學(xué)生采用因式分解的方法則可快速得出y=5或y=-2。然而，學(xué)生對于a2+b2這一代數(shù)式的隱含條件有所忽視，即兩個數(shù)的平方之和不可能為負(fù)數(shù)，因此， y=-2這一結(jié)果不成立。

三、 求解定義范圍挖掘隱含條件

初中數(shù)學(xué)題目中的隱含條件有可能存在于題目已知條件中，也有可能出現(xiàn)在具體的解題過程中，針對這一情況，學(xué)生不僅需要在審題時做到縝密細(xì)致，更應(yīng)該在解題過程中善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)題中的邏輯規(guī)律，并善于從解題過程中挖掘出隱藏的解題條件。從另一方面上說，有些題目中雖然沒有直接給出淺顯的隱藏條件，但隨著解題進(jìn)度的持續(xù)深入，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)解題得出的部分結(jié)果事實上就是進(jìn)行后續(xù)解題的條件。這類條件即使沒有被學(xué)生挖掘，卻也不會影響學(xué)生的解題。然而，由于學(xué)生缺少了這部分條件的輔助指引，所以最終的解題結(jié)果則一定不會是正確的答案。在初中數(shù)學(xué)解題過程中，通過求解定義范圍挖掘隱含條件的題型則大多為求解值域范圍與定義域范圍的這類題目。例如，在“二次函數(shù)ax2+4x+a的最大值是3時，a的值為多少？” 在一題中，若學(xué)生沒有對a值的取值范圍進(jìn)行討論就直接將其帶入計算公式，得出a=4或a=-1這一答案時，那么就會出現(xiàn)這類題型的常見解題失誤。在本題中，一致條件已明確指出該函數(shù)的最大值為3，即該函數(shù)中的a值取值范圍應(yīng)小于0，這是由于當(dāng)a值大于0時，該函數(shù)就不存在最大值了。再比如，在“已知二元二次方程3x2+2y2=6x時，求x2+y2的最大值”一題中，學(xué)生也應(yīng)根據(jù)題目所給出的已知條件求解該函數(shù)的定義域，即x大于0。

四、 利用逆推思想挖掘隱含條件

利用逆推思想挖掘隱含條件這一解題方法大多應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)的證明題型中，學(xué)生采用該方法進(jìn)行數(shù)學(xué)解題時，通常需要將已知條件與所需要證明結(jié)果之間的關(guān)系進(jìn)行逆推。運用逆向思維解題，不僅能夠使得學(xué)生在解題過程中從不同角度以及不同方向?qū)︻}目要求進(jìn)行思考，激發(fā)學(xué)生積極探索解題方法的熱情，還有利于在一定程度上拓寬學(xué)生的解題思路。在初中數(shù)學(xué)中，逆向思維是非常重要的思維方式，在證明題中體現(xiàn)得更加明顯。同時，采用逆推思想也是挖掘這類題目中所蘊含的隱藏條件的關(guān)鍵所在。另外，對于從結(jié)論很難分析出思路的題目，學(xué)生還可以結(jié)合結(jié)論和已知條件進(jìn)行綜合分析，一般而言，在初中階段的證明題型中，題目中所給出的已知條件通常都是解題過程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路。例如，在證明題“[1a]+[1b]+[2c]=0，求證a2+b2+c2=（a+b+c）2”一題中，學(xué)生可以采用逆推思維，從要論證的結(jié)果出發(fā)，將上述等式進(jìn)行化簡后得出ab+bc+ca=0這一隱含條件?？偠灾瑢W(xué)生在解答證明題目時，可以從所要論證的結(jié)果出發(fā)，積極采用逆推的思維將論證與條件進(jìn)行相互結(jié)合，從而有效挖掘出兩者之間的隱藏條件。

五、 通過數(shù)形分析挖掘隱含條件

數(shù)形結(jié)合是教師在數(shù)學(xué)知識教學(xué)過程中的常用教學(xué)手法。在課堂上，教師采用直觀的圖形將題目中的數(shù)學(xué)變化情況為學(xué)生進(jìn)行清楚明了的呈現(xiàn)，并以具體圖形中所反映出來的數(shù)量關(guān)系與題目中所要求求解的部分進(jìn)行相互結(jié)合，從而幫助學(xué)生理清其解題思路。例如在求解“函數(shù)y=[sinx4-cosx]的最值”時，教師節(jié)可以指導(dǎo)學(xué)生采用屬性結(jié)合的方式，把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，從而將題目中所隱含的sin2x+cos2x=1這一條件進(jìn)行充分挖掘，并以定點（4，0）為圓心，將該題目轉(zhuǎn)化為定點到單位圓上的連線斜率最值問題，這樣一來，學(xué)生不僅擺脫了繁瑣的計算過程，更是將復(fù)雜問題簡單化。在運用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，學(xué)生首先應(yīng)了解概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，只有在這一基礎(chǔ)上，才能將數(shù)學(xué)符號以數(shù)學(xué)圖形表示。其次，對于具體計算參數(shù)的取值范圍一定要作為結(jié)果的腺體條件，從而使得計算結(jié)果符合題意。而作為幾何知識的重要基礎(chǔ)內(nèi)容，幾何圖形通常被看成是圖像化的數(shù)學(xué)公式，而在學(xué)生的數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)教師也應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生對幾何圖形進(jìn)行分析理解，從讀懂幾何圖形開始，逐步掌握利用幾何圖形挖掘題目中隱含的數(shù)據(jù)條件，從而實現(xiàn)對具體題目的有效解答。例如，在一個圓柱體中底面圓的半徑是2π，高為2，AB、CD分別為兩地面直徑，且AD、BC均為直線，若一只小蟲從A點出發(fā)，從側(cè)面爬行至C點結(jié)束，那么小蟲如何爬行，才能使得其所走路程最短。在進(jìn)行本題解答時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將這個圓柱體以數(shù)形結(jié)合思想展開成一個長方形，從而再通過勾股定理求得AC之間的最短距離。

隱含條件是學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)解題過程中的重要條件，由于這些條件隱藏含義的不同，學(xué)生在進(jìn)行具體的題目解答時，則應(yīng)對具體的題目條件進(jìn)行細(xì)致分析。在具體的解題方法教學(xué)上，教師則可以從已知條件、結(jié)合代數(shù)形式、求解定義范圍、利用逆推思想以及通過數(shù)形分析等五個方面論述了解題過程中挖掘隱含條件的具體方法，從而幫助學(xué)生緊扣題意，結(jié)合相關(guān)知識點進(jìn)一步提升其解題準(zhǔn)確率。同時，教師在具體的教學(xué)過程中，還應(yīng)根據(jù)學(xué)生的理解能力為其進(jìn)行良好解題習(xí)慣的培養(yǎng)，從而為學(xué)生的后續(xù)數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)與應(yīng)用奠定良好基礎(chǔ)。

（作者單位：江西省萬安縣順峰中學(xué)）

責(zé)任編輯：潘中原