一題多解與一題多變?cè)跀?shù)學(xué)中的應(yīng)用

王靜

摘要：數(shù)學(xué)這門學(xué)科在當(dāng)代素質(zhì)教育和學(xué)術(shù)教育統(tǒng)一的義務(wù)教育中占有重要地位，它是一門自由學(xué)科，但同時(shí)也是既復(fù)雜困難又富有邏輯的學(xué)科。也許對(duì)大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)這門學(xué)科是一道難題。因此，數(shù)學(xué)學(xué)科的教育傳授者在教學(xué)中如何傳授這門學(xué)科的方法、方式，就顯得尤為重要。

關(guān)鍵詞：一題多解；一題多變；數(shù)學(xué)

一、一題多解與一題多變?cè)跀?shù)學(xué)中的應(yīng)用的重要性

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最重要的是邏輯性問題，并且經(jīng)過對(duì)比分析，發(fā)散思維，一題多解與一題多變的方法的應(yīng)用恰恰能達(dá)到這個(gè)目標(biāo)和目的，他們能夠不斷提高學(xué)生們的邏輯思維能力，數(shù)學(xué)分析能力。

一題多解指的是面對(duì)一道數(shù)學(xué)題，因?yàn)橛胁煌慕嵌冗M(jìn)行思考，在腦海中搜尋不相同的解決方法，多種多樣的思路，從而有多種多樣的可用的解決方案，這樣能夠提高學(xué)生們的數(shù)學(xué)分析和解決能力。在解決實(shí)際問題的過程中需要我們進(jìn)一步掌握分析的方法，能用多種的方法思考問題，從中找到不同的解決策略。下面我將用具體的習(xí)題，更好地解釋一題多解。

一題多解案例分析

例題：已知：f（x）=x3+ax2+（a-1）x+1，若在區(qū)間[1， 4]單調(diào)遞減，求a范圍？

方法一：解題思路

問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)f'（x）≤0在區(qū)間[1， 4]恒成立，f'（x）≤0解集為A，只需[1， 4]是集合A的子集

解：f'（x）=x2+ax+（a-1）因?yàn)閒（x）在區(qū)間[1， 4]單調(diào)遞減 所以f'（x）≤0在區(qū)間[1， 4]恒成立

x2+ax+（a-1）≤0

（x+1）[x+（a-1）]≤0

1.當(dāng)a<2時(shí)，f'（x）≤0解集為[-1，1-a]

所以[1， 4]是[-1，1-a]的子集

4≤1-a解得a ≤ –3

2.當(dāng)a≥2時(shí)，f'（x）≤0解集為[1-a，-1]

不滿足[1， 4]是[1-a，-1]的子集

所以解集是空集

綜上所述：a≤-3

方法二：解題思路

問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)f'（x）≤0在區(qū)間[1， 4]恒成立，導(dǎo)函數(shù)y=f'（x）為開口向上的二次函數(shù)，只需f'（4）≤0，f'（1）≤0同時(shí)成立即可

解：f'（x）=x2+ax+（a-1）因?yàn)閒（x）在區(qū)間[1， 4]單調(diào)遞減 所以f'（x）≤0在區(qū)間[1， 4]恒成立

由二次函數(shù)圖像可知，只需

即 解得 所以a ≤ –3

一題多變例題

例題：已知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程+=1，A（0，3），直線l：y=kx-3 與橢圓相交于C，D 兩點(diǎn)，若|AC|=|AD|，求k的值？

解題思路：直線與橢圓聯(lián)立，消元，設(shè)C（x1，y1） D（x2，y2），韋達(dá)定理：因?yàn)閨AC|=|AD|，取C，D中點(diǎn)M，則AM垂直CD，即KAMKCD=-1

解： 消y得：（9+25k2）x2-150kx=0，Δ>0

設(shè)C（x1，y1） D（x2，y2），由韋達(dá)定理得：x1+x2= x1x2=0 y1+y2=k（x1+x2）-6= k2-6=

設(shè)M（x0，y0）為CD中點(diǎn)，則

x0=（x1+x2）=，y0=（y1+y2）=

因?yàn)閨AC|=|AD|，所以AM垂直CD，即KAMKCD=-1

k=-1 整理得：=-，k2=，k=

在一題多變的思維下，我們可以將|AC|=|AD|改成以下兩種形式：

1.以AC，AD為鄰邊做平行四邊形為菱形

2.（AC+AD）CD=0

這兩種已知雖然與原例題有很大區(qū)別，但通過轉(zhuǎn)化最終都能轉(zhuǎn)化為AM垂直CD，解題思路與過程非常相似，結(jié)果一樣。所以同學(xué)們以后在做題的時(shí)候，一定要善于將不熟悉的問題做轉(zhuǎn)化，做起來(lái)才能得心應(yīng)手。

一題多變指的是面對(duì)一道數(shù)學(xué)題，通過對(duì)比，想象，延伸等，能夠獲得一系列的新的題型，甚至能夠總結(jié)一定的經(jīng)驗(yàn)或者公式更甚者是一般結(jié)論。一題多變不是變相地給同學(xué)們?cè)黾訉W(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，反而一題多解采用不同的問法去解答不同的問題，在解決的過程中這不僅能夠提高學(xué)生們數(shù)學(xué)分析能力，還有學(xué)生們的應(yīng)變能力，發(fā)散思維的能力，培養(yǎng)學(xué)生們?cè)诿鎸?duì)一些新的新題或者一眼看上去很難解決的問題面前，能夠展開思維的勇氣和能力。很多人覺得所謂數(shù)學(xué)就是熟能生巧。而熟能生巧，不就是題海戰(zhàn)術(shù)嗎——題見多了，做多了，解題思路自然就開闊了，做題速度也會(huì)快得多，其實(shí)這就忽視了讓孩子充分地獨(dú)立思考問題能力的培養(yǎng)，獨(dú)立思考，這對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)非常重要。endprint