高考視角下的數(shù)列大題的求解

項(xiàng)先春

摘要：數(shù)列是高考中的熱點(diǎn)考題，?？记髷?shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和.現(xiàn)將近幾年浙江高考數(shù)學(xué)中求數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的求法進(jìn)行總結(jié)，以供廣大考生復(fù)習(xí)借鑒之用.

關(guān)鍵詞：數(shù)列求和；構(gòu)造法；分組求和法；裂項(xiàng)相消法；錯(cuò)位相減法

一.融會貫通，求得通項(xiàng)是關(guān)鍵

下面就數(shù)列求通項(xiàng)的幾種方法進(jìn)行分析.

1、公式法

等差、等比數(shù)列，直接用公式求解，也是其他幾種求數(shù)列通項(xiàng)類型題的解題基礎(chǔ).

例（2015浙江高考）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足，a1=2，an+1= 2an （n∈N*），

（1）求an；

解：（1）由a1=2，an+1=2an得an=2n

又如（13年浙江高考）等差數(shù)列{an}中公差為d，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比數(shù)列.（1）求d，an.

2、累加法、累乘法

（1）遞推公式形如an+1-an= f（n）或者可以化簡為此種形式的，且f（1）+ f（2）+…+ f（n）可求，則用累加法求an.

例（1）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，且an+1-an=n+1，（n∈N*）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

（2）已知數(shù)列{an}滿足：a1=1， an+1-an=2n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解：（1）由題意有

3、利用互化解決

例（2016·浙江高考）已知數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn.且 .

（I）求通項(xiàng)公式an；

解：（1）由題意得 則

又當(dāng)n ≥ 2時(shí)，由an+1-an=（2Sn+1）-（2Sn-1+1）=2an，得an+1=3an，

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-1，n∈N*.

這類題型高考反復(fù)在考，要注意書寫格式，務(wù)必驗(yàn)證n=1時(shí)的情形，如果不成立，通項(xiàng)以分段函數(shù)的形式表示.

4、構(gòu)造法

構(gòu)造法是將遞推公式進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再求通項(xiàng).主要包含以下3種類型.

1、遞推公式形如an=pan-1+q，其中p、q為非零常數(shù).

當(dāng)p=1，則

當(dāng)p≠1，則將其化為an+λ=p（an-1+λ）的形式；解出λ，再化為等比數(shù)列求解（待定系數(shù)法）。

例（16·嘉興市檢測）數(shù)列{an}中，已知a1=1，當(dāng)n≥1時(shí)an+1=2an+1，求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式。

對于此種題型或者有些學(xué)生不明白為什么要將遞推公式變形為an+λ=2（an-1+λ），可以通過列舉進(jìn)行說明：數(shù)列1，3，7，15，31，…不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，但各項(xiàng)都加上1后，變?yōu)閿?shù)列2，4，8，16，32，…它是等比數(shù)列。對于這類數(shù)列，將其遞推公式化為an+λ=2（an-1+λ）形式，以構(gòu)造成等比數(shù)列，從而求出數(shù)列通項(xiàng)an。

2、遞推公式形如an=pan-1+qn，其中p為非零常數(shù).

這類數(shù)列，在等式兩邊同時(shí)除以qn，將其化為的形式，將看成整體（或換元），再用構(gòu)造法類型1：

bn=pbn-1+q求解.

例：數(shù)列{an}中，已知a1=1，當(dāng)n≥1時(shí)，an+1=2an+2n+1，求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式.

解：因?yàn)閍n+1=2an+2n+1，

是公差為1的等差數(shù)列，首項(xiàng)為

3、遞推公式形如，其中k、m為非零常數(shù).可以對等式兩邊同時(shí)取倒數(shù)，變?yōu)?，?看成

整體（或換元），再用構(gòu)造法類型1：bn=pbn-1+q求解.

例（16·寧波二模）已知數(shù)列{an}滿足，求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式.

解：對等式 兩邊同時(shí)取倒數(shù)，得，

是公差為1的等差數(shù)列，首項(xiàng)是

上面所歸納的6種求數(shù)列通項(xiàng)的方法，都要求我們老師讓學(xué)生理解其知識發(fā)生的過程和結(jié)果，能根據(jù)具體的題型選擇適當(dāng)?shù)姆椒?

二.明察秋毫，數(shù)列求和贏收官

浙江高考中最常考察的是錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)相消法以及分組求和法.

1、裂項(xiàng)相消法求和

主要用于：

（1）形如型，

（2）形如型，

例（2015·全國卷1） Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知an>0，

（1）求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式，

（2）設(shè)求數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和Tn.

解：（1）由an與Sn的轉(zhuǎn)化，可得an=2n+1

（2）由an=2n+1可知，知

2、錯(cuò)位相減法求和

主要用于：求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}，{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.

例（2015·浙江高考）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足，

（1）求an與bn；

（2）記數(shù)列{an bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.

注意：①在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)將兩式按q次數(shù)對齊，避免兩式相減時(shí)看錯(cuò)列；②作差后，弄清等比數(shù)列部分的項(xiàng)數(shù).

3、分組轉(zhuǎn)化法求和

主要用于：可根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行拆分，拆分成幾個(gè)可以求和的新數(shù)列的和與差，從而求得原數(shù)列的和.在含有字母的數(shù)列中，需對字母的進(jìn)行分類討論.

例（2016·浙江高考）已知數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn.且 S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*.

（1）求通項(xiàng)公式an；

（2）求數(shù)列{|an-n-2|}的前n項(xiàng)和.

解：（1）解略（由an與Sn的轉(zhuǎn)化，易得an=3n-1，n∈N*）

（2）設(shè)bn=|an-n-2|=|3n-1-n-2|，n∈N*則b1=2，b2=1

當(dāng)n≥3時(shí)，由于3n-1>n+2故bn=3n-1-n-2，n≥3

設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則T1=2，T2=3

求數(shù)列的前n項(xiàng)和除了上面介紹的三種?？挤椒ㄍ?，還有“公式法求和，倒序相加法求和，合并法求和，利用通項(xiàng)求和”等方法.

數(shù)列通項(xiàng)與數(shù)列求和是歷屆高考中的熱點(diǎn)考題.本文對浙江數(shù)學(xué)高考中求數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的求法進(jìn)行總結(jié)，以供廣大考生復(fù)習(xí)借鑒之用。

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