基于“構造法”的高中數(shù)學解題思路探索

【摘 要】隨著教學改革的不斷深化，對高中數(shù)學教學提出了更高的要求。尤其針對現(xiàn)階段數(shù)學課程難度的不斷增加，使學生在解決數(shù)學問題過程中面臨許多困難。因此在長期教學實踐中引入構造法，在數(shù)學解題過程中得到有效的應用。本文主要對構造法的基本概述、高中數(shù)學解題中應用構造法的意義以及構造法的實際應用進行探析。

【關鍵詞】構造法;高中數(shù)學;解題思路

前言

在新課程改革背景下，高中數(shù)學教學過程中應注重幫助學生從數(shù)學學習中發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學思維與方式。因此對高中數(shù)學解題思路中構造法的應用研究具有十分重要的意義。

一、構造法的基本概述

（一）構造法的概念界定

關于構造法的概念界定，以往許多數(shù)學家與學者對其理解為以固定方式通過一定的步驟便可獲取結果的方式。換言之，高中數(shù)學解題過程中學生的思考方式多以正向思維為主，在給定的條件下進行問題的解決。但這種正向思維的方式并不適用于所有問題的解決，所以通過思考角度或思維方向的轉換，使問題中的障礙得以跨過，這種方式便為解題中應用的構造法。相比一般邏輯方法，構造法作為非常規(guī)思維，要求學生具備基本的知識結構基礎并具有敏銳的洞察力。

（二）高中數(shù)學解題中構造法應用的意義

構造法應用過程中通常會將原有題型作為基礎，通過假設相應的結論或條件使數(shù)學中的理論知識、方程公式等能夠形成與問題相對應的數(shù)學模型。因此這種能夠用“已知”代替“未知”的化歸手段為數(shù)學解題過程帶來新的路徑。

二、高中數(shù)學解題中構造法的實際應用策略

（一）從方程構造角度

作為高中數(shù)學中較為重要的內(nèi)容，方程式學習過程中多與函數(shù)知識保持一定的關系。由此可引入常用的構造方法，即方程構造。具體應用過程中主要根據(jù)問題中體現(xiàn)的結構特征與數(shù)量關系，構建等量性方程式，以此實現(xiàn)對方程式等量的關系以及未知量間存在的關系。而且通過恒等式的變形，可將問題中的內(nèi)容由抽象化向特殊化、實質(zhì)化過度，促進學生解題質(zhì)量以及解題速度的提高，對學生的思維與觀察能力進行培養(yǎng)。以具體習題為例，設a>b>c且a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求a+b的范圍。

解：由a+b+c=1得a+b=1-c （1）

將（1）的兩邊平方并將a2+b2+c2=1代入得ab=c2-c （2）

由（1）（2）可知，a，b是方程x2+（c-1）x+（c2-c）=0的兩個不等的實根

于是△=（c-1）2-4（c2-c）=-3c2+2c+1>0

解得：-<c<1 ?即：-<1-（a+b）<1

∴1<a+b<。

（二）從函數(shù)構造的角度

高中數(shù)學題中的函數(shù)屬于較為基本的知識內(nèi)容，不僅與方程存在較為密切的關系，而且在許多集合類型或代數(shù)類型等習題出中可發(fā)現(xiàn)函數(shù)思想。因此利用函數(shù)構造的方式能夠利用簡單函數(shù)問題代替復雜的數(shù)學難題，而且在轉化的過程中也可培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。以2011年南京數(shù)學學?！白辖鸨睌?shù)學競賽以題為例：已知f（x）=x2+（a2+b2-1）x+a2+2ab-b2是偶函數(shù)，則函數(shù)圖象與y軸交點的縱坐標的最大值是___。

分析：由已知f（x）是偶函數(shù)可知，a2+b2-1=0，故可聯(lián)想到三角函數(shù)關系式并構造a=cosθ，b=sinθ，函數(shù)圖象與y軸交點的縱坐標為a2+2ab-b2，則

a2+2ab-b2=cos2θ+2sinθcosθ-sin2θ=cos2θ+sin2θ≤

構造函數(shù)的方法在導數(shù)題中也常見，例如（2013北京，理18）設L為曲線C：y=在點（1，0）處的切線。

（1）求L的方程;

（2）證明：除切點（1，0）之外，曲線C在直線L的下方。

解：（1）設f（x）=，則f′（x）=。

所以f′（1）=1。

所以L的方程為y=x-1。

（2）令g（x）=x-1-f（x），則除切點之外，曲線C在直線L的下方等價于g（x）>0（？坌x>0，x≠1）。

g（x）滿足g（1）=0，且g′（x）=1-f′（x）=。

當0

當x>1時，x2-1>0，lnx>0，所以g′（x）>0，故g（x）單調(diào)遞增。

所以，g（x）>g（1）=0（？坌x>0，x≠1）。

所以除切點之外，曲線C在直線L的下方。

（三）圖形構造的角度

除方程構造與函數(shù)構造的方法外，高中數(shù)學解題中常用到圖形構造的方式。

例 求函數(shù)f（x）+的最小值

解析：f（x）=+

其幾何意義是平面內(nèi)動點P（x，0）到兩定點

M（2，3）和N（5，-1）的距離之和（如圖1）。

為求其值域只要求其最值即可，

易知當M，N，P三點共線（即P在線段MN上）時，

f（x）取得最小值，f（x）min=|MN|==5，故得函數(shù)的最小值為5。

三、結論

數(shù)學作為高中學科的重要組成部分，學生在面對其中大量的數(shù)學題組很容產(chǎn)生厭學感。對此教師應注重構造法的引用，通過構造法中的向量構造、圖形構造、方程構造以及函數(shù)構造等方式使學生解題更加容易，也因此促進學生思維能力與創(chuàng)新能力的提高。

【參考文獻】

[1]趙杰.高中數(shù)學解題中“構造法”的應用探討[J].華夏教師.2014.12：28

[2]吉海波.構造法在高中數(shù)學解題中的應用[J].數(shù)理化學習（高中版）.2014.06：13-14

[3]蘇京亞.淺析“構造法”在高中數(shù)學解題中的運用[J]. 中學數(shù)學.2014.11：62-63

[4]王秀奎，李昆.構造解析幾何模型求函數(shù)值域[J].語數(shù)外.2006.37-38

【作者簡介】

丁冰（1978年11月-），女，漢族，籍貫河南許昌，1998年畢業(yè)于山東煤炭教育學院，數(shù)學專業(yè)。1998年就職于山東鄒城市兗礦第一中學，中學一級教師，一直從事高中數(shù)學教學。

（作者單位：山東鄒城市兗礦第一中學）