徑向開(kāi)槽薄圓環(huán)振子徑向振動(dòng)分析*

李 丹， 劉世清， 李陸化

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

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徑向開(kāi)槽薄圓環(huán)振子徑向振動(dòng)分析*

李 丹， 劉世清， 李陸化

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

為研究徑向開(kāi)槽圓環(huán)的徑向振動(dòng)特性，基于機(jī)電類比原理，建立了開(kāi)槽圓環(huán)的徑向振動(dòng)等效電路，并得出其共振頻率方程，探討了圓環(huán)第1、第2階共振頻率及振幅放大系數(shù)與其半徑比的關(guān)系.結(jié)果表明：圓環(huán)第1階共振時(shí)振幅放大系數(shù)隨半徑比的增大而增大，第2階共振時(shí)振幅放大系數(shù)隨半徑比的增大而下降；其共振頻率隨半徑比的增大而單調(diào)上升；理論與有限元數(shù)值仿真結(jié)果基本一致.

圓環(huán)振子；徑向振動(dòng)；共振頻率;位移放大系數(shù);有限元分析

0 引 言

在功率超聲領(lǐng)域，除了需要設(shè)計(jì)各種結(jié)構(gòu)和振動(dòng)模式的振動(dòng)系統(tǒng)外，還需要通過(guò)對(duì)彈性振動(dòng)體結(jié)構(gòu)進(jìn)行特殊的設(shè)計(jì)，如開(kāi)狹槽或狹縫等，來(lái)產(chǎn)生一些特殊模式的振動(dòng)，以滿足不同的應(yīng)用需要.如縱扭復(fù)合振動(dòng)等[1].文獻(xiàn)[2]通過(guò)開(kāi)槽的方法提出一種可顯著提高超聲焊接質(zhì)量的縱扭振動(dòng)傳振桿，該系統(tǒng)還可用作超聲波電機(jī)定子驅(qū)動(dòng)器.在超聲焊接等大功率應(yīng)用領(lǐng)域，常采取在大尺寸變幅桿(工具頭)上開(kāi)設(shè)一系列平行狹縫的方式來(lái)減弱其縱橫耦合振動(dòng)，提高工具頭的位移振幅，以提高系統(tǒng)的縱向聲能傳輸效率[3].

近年來(lái)在超聲拉拔金屬成型領(lǐng)域，為提高超聲拉拔效率及改善拉拔質(zhì)量，一類徑向振動(dòng)盤(pán)形超聲聚能器發(fā)展起來(lái)了[4-6]. 文獻(xiàn)[7]利用解析法研究錐形等幾種圓盤(pán)聚能器的徑向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性，并得出了共振頻率方程；文獻(xiàn)[8]與文獻(xiàn)[9]分別對(duì)等厚度及變厚度圓環(huán)振子的徑向及扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性進(jìn)行了研究，得到了系統(tǒng)的機(jī)電等效電路及頻率方程.

為進(jìn)一步改善此類環(huán)形超聲聚能器的振動(dòng)性能，本文提出徑向開(kāi)槽薄圓盤(pán)聚能器振子．徑向開(kāi)槽的目的：一方面可降低圓環(huán)振子的共振頻率；另一方面可將圓盤(pán)的徑向振動(dòng)盡可能轉(zhuǎn)換為槽與槽間隔部分的縱振動(dòng)，以利于提高振動(dòng)能量的傳輸效率．本文依據(jù)彈性力學(xué)理論及機(jī)電類比原理，建立了其徑向振動(dòng)機(jī)電等效電路，導(dǎo)出了其工作頻率方程，并進(jìn)行了有限元數(shù)值仿真分析.

1 徑向開(kāi)槽圓環(huán)振子的徑向振動(dòng)分析

圖1所示為一個(gè)沿半徑方向開(kāi)有一系列狹槽的薄環(huán)形彈性振子，其內(nèi)、外半徑分別為b，c，厚度為h.Fb,Fc分別表示振子內(nèi)、外輻射面處的外力，vb,vc分別表示振子內(nèi)、外輻射面處的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度.在柱坐標(biāo)系中，振子徑向振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為[9]

(1)

式(1)中：ur表示徑向位移分量；Tr，Tθ，Trθ，Trz分別表示振子內(nèi)部各應(yīng)力的分量.在極坐標(biāo)系中，應(yīng)變和位移的關(guān)系為

(2)

式(2)中：Sr表示振子應(yīng)變分量.由廣義胡克定律知，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系為

(3)

式(3)中：G=E/[2(1+υ)]為材料剪切模量；E,υ分別為材料彈性模量和泊松系數(shù).振子實(shí)際作復(fù)雜的三維耦合振動(dòng).為簡(jiǎn)化分析，作如下假設(shè):

1)振子厚度h遠(yuǎn)小于其直徑，即為薄圓環(huán).

2)狹槽數(shù)量足夠多，其長(zhǎng)度與振子環(huán)寬相當(dāng).由于狹縫的分割，可近似地認(rèn)為環(huán)中切應(yīng)力為零.

3)不計(jì)狹槽對(duì)振子等效質(zhì)量的影響，振子作軸對(duì)稱平面徑向振動(dòng).

圖1 徑向開(kāi)槽彈性薄圓環(huán)振子示意圖

依據(jù)上述假設(shè)，正應(yīng)力Tr是振子中唯一不等于零的量，其余各應(yīng)力分量及υ均近似為零.由上述各方程化簡(jiǎn)得振子的徑向振動(dòng)波動(dòng)方程為

(4)

(5)

由式(5)可得振子的徑向振速表達(dá)式

環(huán)形振子中的徑向正應(yīng)力為

(7)

式(7)中：k=ω/υr，ω為角頻率；J0(kr),J1(kr)和Y0(kr),Y1(kr)分別為第一類和第二類零階、一階貝塞爾函數(shù);C1，C2為待定常數(shù)，由振子徑向邊界條件確定.

2 圓環(huán)振子振幅放大系數(shù)

令圓環(huán)外表面處質(zhì)點(diǎn)振幅為uc，圓環(huán)作自由徑向振動(dòng)時(shí)的邊界條件為

(8)

由式(5)和式(7)可得：

(9)

C1J1(kb)+C2Y1(kb)=0.

(10)

由式(9)和式(10)得圓環(huán)徑向位移分布函數(shù)為

(11)

這里，定義圓環(huán)振幅放大系數(shù)M為內(nèi)外表面質(zhì)點(diǎn)振幅之比，即

(12)

3 圓環(huán)振子徑向振動(dòng)等效電路

(13)

(14)

(15)

(16)

式(15)和式(16)中：Sb=2πbh,Sc=2πch分別為振子內(nèi)、外側(cè)面積.由四端網(wǎng)絡(luò)理論，并結(jié)合貝塞爾函數(shù)的遞推關(guān)系

式(15)和式(16)可進(jìn)一步化為：

(17)

Fb=z3υc+(z2+z3)υb.

(18)

式(17)和式(18)中

(19)

(20)

(21)

式(19)和式(20)中：zb=ρυrSb；zc=ρυrSc.

綜上，由等效電路理論可得徑向開(kāi)槽圓環(huán)振子徑向振動(dòng)的機(jī)電等效電路如圖2所示.

由圖2可得開(kāi)槽圓環(huán)自由振動(dòng)的頻率方程

(22)

將z1，z2，z3的表達(dá)式代入式(22)，得振子共振頻率方程的具體表達(dá)式為

(23)

利用頻率方程式(23)可得徑向開(kāi)槽圓環(huán)振子的共振頻率隨幾何尺寸的變化關(guān)系.

圖2 徑向開(kāi)槽彈性薄圓環(huán)振子等效電路

作為算例，筆者計(jì)算了材料為鋁的徑向開(kāi)槽圓環(huán)振子共振頻率f及振幅放大系數(shù)M隨內(nèi)外半徑比γ的變化關(guān)系分別如圖3和圖4所示.這里滿足γ=b/c.計(jì)算中,圓環(huán)外徑c=64 mm，厚度h=7 mm，且保持不變，通過(guò)改變圓環(huán)內(nèi)徑b來(lái)改變其內(nèi)外半徑比.

圖3 振子第1、第2階共振頻率與半徑比關(guān)系

由圖3可得，徑向開(kāi)槽圓環(huán)振子的第1、第2階共振頻率隨半徑比增大均單調(diào)上升，這與無(wú)槽圓環(huán)振子的徑向振動(dòng)特性不同[9].

由圖4可以看出，振子的第1階共振位移振幅放大系數(shù)隨半徑比增大(環(huán)寬變小)而增大，但不顯著；其第2階共振位移振幅放大系數(shù)隨半徑比的增大而單調(diào)降低，且在半徑比較小時(shí)，遠(yuǎn)大于第1階振幅放大系數(shù).

圖4 振子第1、第2階共振位移放大系數(shù)與半徑比關(guān)系

4 有限元仿真

采用ANSYS有限元軟件對(duì)振子的徑向振動(dòng)模態(tài)進(jìn)行了仿真分析.圓環(huán)振子材料為鋁，其材料參數(shù)分別為：密度ρ=2 700 kg/m3；泊松系數(shù)υ=0.34；幾何參數(shù)分別為：外徑c=64 mm，內(nèi)徑b=30 mm，厚度h=7 mm，狹槽長(zhǎng)度均為12.5 mm.

表1 圓環(huán)振子共振基頻理論與仿真值

由表1可以看出，當(dāng)所開(kāi)狹槽數(shù)較少時(shí)，理論與仿真結(jié)果偏差較大，但隨著圓環(huán)中槽數(shù)的增加，相對(duì)誤差逐漸減小.這是因?yàn)槔碚撌腔讵M槽數(shù)量足夠多的假設(shè)而推導(dǎo)得到時(shí).圖5和圖6分別是狹槽數(shù)為18的圓環(huán)振子的基頻共振模態(tài)振型及相應(yīng)的位移向量分布圖.

圖5 圓環(huán)振子基頻共振模態(tài) 圖6 圓環(huán)振子中基頻共振位移向量分布

5 結(jié) 論

本文對(duì)徑向開(kāi)槽薄圓環(huán)振子的徑向振動(dòng)特性進(jìn)行了研究，得出了其機(jī)電等效電路及共振頻率方程.通過(guò)數(shù)值計(jì)算探討了振子的共振頻率與位移放大系數(shù)隨其幾何尺寸的變化關(guān)系.研究表明，徑向開(kāi)槽圓環(huán)振子的第1、第2階共振頻率均隨其內(nèi)外半徑比的增大而單調(diào)升高；振子第1階共振位移放大系數(shù)隨內(nèi)外半徑比的增大而增大，而第2階共振時(shí)卻隨之單調(diào)降低，且在半徑比較小，即環(huán)寬較大時(shí)，第2階共振位移放大系數(shù)遠(yuǎn)大于第1階.從工程應(yīng)用上講，采用第2階共振模式工作優(yōu)于第1階.

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(責(zé)任編輯 杜利民)

A study on the radial vibration of a circular ring with radial slots

LI Dan, LIU Shiqing, LI Luhua

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

The radial vibration of a circular ring with multiple radial slots was studied. Based on the electro-mechanical analogy, the equivalent circuit and the frequency equation of the slitted circular ring in radial vibration were derived. By numerical calculation, the relationship between the displacement amplitude magnification factor as well as the resonance frequency of the ring in the first and second order vibration and its radius ratio were investigated. It was showed that the amplitude magnification factor of the ring increased in the first resonance while decreased in the second resonance with the increase of its radius ratio, and the resonance frequency increased with the radius ratio increased. The theoretical resonance frequencies were in good agreement with that of the FEM simulations.

circular ring vibrator; radial vibration; resonance frequency; the amplitude magnification factor; FEM simulation

10.16218/j.issn.1001-5051.2017.01.005

2016-05-11；

2016-06-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11274279;11074222)

李 丹(1992-),女，安徽蚌埠人，碩士研究生.研究方向：功率超聲.

劉世清.E-mail: zjnulsq@163.com

O426

A

1001-5051(2017)01-0031-05