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    帶可乘白噪聲的Schr?dinger格點系統(tǒng)的隨機(jī)吸引子*

    2017-08-02 09:32:09崔紅珍周盛凡
    關(guān)鍵詞:浙江師范大學(xué)格點定理

    崔紅珍, 周盛凡

    (浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

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    帶可乘白噪聲的Schr?dinger格點系統(tǒng)的隨機(jī)吸引子*

    崔紅珍, 周盛凡

    (浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

    主要考慮帶可乘白噪聲的隨機(jī)Schr?dinger格點系統(tǒng)的隨機(jī)吸引子的存在性.首先,利用Ornstein-Uhlenbeck過程將具白噪聲的隨機(jī)Schr?dinger格點系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成以隨機(jī)變量為系數(shù)而無噪聲的隨機(jī)格點系統(tǒng);其次,研究該隨機(jī)系統(tǒng)的初值問題的整體解的存在唯一性,其解映射可以生成隨機(jī)動力系統(tǒng);最后,證明該隨機(jī)動力系統(tǒng)的有界隨機(jī)吸收集和隨機(jī)吸引子的存在性.

    隨機(jī)吸引子;可乘白噪聲;Schr?dinger格點系統(tǒng);存在性

    0 引 言

    格點動力系統(tǒng)(LDS)在生物學(xué)、化學(xué)、模式識別、圖像處理、電子工程及材料科學(xué)等領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛.近年來,具有不確定噪聲擾動的隨機(jī)格點動力系統(tǒng)(SLDS)也是研究的熱門課題.文獻(xiàn)[1-7]研究了一些自治和非自治的LDS、SLDS的吸引子的存在性.

    本文主要考慮如下兩類無窮格點上帶可乘白噪聲的Schr?dinger系統(tǒng):

    (1)

    (2)

    對于沒有噪聲擾動的Schr?dinger格點系統(tǒng)(即式(1)中a=0),Karachalios等[7]研究了它的整體吸引子的存在性;Chen等[8]證明了帶時滯項時它的整體吸引子的存在性;周盛凡等[9-10]證明了它的指數(shù)吸引子的存在性.當(dāng)a≠0,即系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)存在可乘白噪聲擾動時,其吸引子未見有任何研究.本文將結(jié)合文獻(xiàn)[11]給出的隨機(jī)吸引子存在的判據(jù)來證明系統(tǒng)(1)和(2)存在隨機(jī)吸引子.

    1 系統(tǒng)(1)的隨機(jī)吸引子

    1.1 方程轉(zhuǎn)化

    系統(tǒng)(1)可以寫成如下等價的向量形式:

    (3)

    式(3)中:u=(uk)k∈Z;g=(gk)k∈Z;h(|u|2)u=(h(|uk|2)uk)k∈Z.

    對系統(tǒng)(1)中的g與h(s)作如下假設(shè):

    (A1)g=(gk)k∈Z∈l2;

    (A2)h(s)∈C(R,R),且關(guān)于s局部Lipschitz連續(xù),即對R上的任一有界區(qū)間I,存在L=L(I)>0,使得?s1,s2∈I,|h(s1)-h(s2)|≤L(I)|s1-s2|;

    令x=ue-aη(θtω),則x與u在l2上同構(gòu),系統(tǒng)(3)等價于

    (4)

    1.2 全局解的存在唯一性

    定理1 若假設(shè)(A1)~(A2)成立,則對?ω∈Ω,x0∈l2,系統(tǒng)(4)存在唯一解x(·)=x(·,ω,x0)∈C([0,+∞),l2)∩C1((0,+∞),l2),x(·)關(guān)于x0連續(xù),且解x(t,ω,·)生成一個由(Ω,F,P,(θt)t∈R)驅(qū)動取值于l2的連續(xù)隨機(jī)動力系統(tǒng){x(t,ω)}t≥0,ω∈Ω(隨機(jī)動力系統(tǒng)的定義見文獻(xiàn)[2]).

    證明 1)令Q(θtω,x)=ih(|x|2e2aη(θtω))x-ige-aη(θtω)+aη(θtω)x,則?ω∈Ω,t∈[0,p]?R+,Q(θtω,x)在l2的有界集B上關(guān)于x是Lipschitz連續(xù)的.

    C2(B,ω)‖x(1)-x(2)‖2.

    由于η(θtω)關(guān)于t連續(xù),所以Q(θtω,x)關(guān)于t連續(xù).又知g∈l2,由解的存在唯一性可得,系統(tǒng)(4)存在唯一局部解x(·,ω,x0)∈C([0,Tmax),l2)∩C1((0,Tmax),l2),其中x0=x(0,ω,x0)且[0,Tmax)是解的最大存在區(qū)間.

    2)證明Tmax=+∞.令系統(tǒng)(4)與x作內(nèi)積,取實部可得

    (5)

    經(jīng)計算可得,

    (6)

    (7)

    綜合式(5)~式(7)可得

    (8)

    對式(8)從0到t應(yīng)用Gronwall不等式可得

    (9)

    從而當(dāng)t為有限數(shù)時,‖x(t)‖2有限,即Tmax=+∞.故x(t)是系統(tǒng)(4)的全局解.

    3)結(jié)合1)和2)易得x(·,ω,x0)關(guān)于x0連續(xù).定理1證畢.

    1.3 隨機(jī)吸引子的存在性

    下面主要討論{x(t,ω)}t≥0,ω∈Ω在l2上的隨機(jī)吸收集和隨機(jī)吸引子的存在性.

    定理2 若假設(shè)(A1)~(A3)成立,則{x(t,ω)}t≥0,ω∈Ω存在一個緩增隨機(jī)吸收集

    其中,

    則K(ω)滿足:對于l2上任一緩增隨機(jī)集Γ(ω),存在TΓ(ω)≥0,使得對?t≥TΓ(ω),ω∈Ω,均有x(t,ω,Γ(θ-tω))?K(ω).

    證明 令Γ(ω)是l2中的一個緩增集,x0∈Γ(ω),對式(9)應(yīng)用拉回映射θ-t:ω|→θ-tω及積分變換,可得

    ‖x(t,θ-tω,x0(θ-tω))‖2≤

    (10)

    因此,R(ω)是一個緩增隨機(jī)變量.記

    則K(ω)是有界閉的緩增隨機(jī)集.由式(10)得,它為{x(t,ω)}t≥0,ω∈Ω的一個隨機(jī)吸收集.定理2證畢.

    定理3 若假設(shè)(A1)~(A3)成立,則{x(t,ω)}t≥0,ω∈Ω存在隨機(jī)吸引子γ(ω),且

    其中,K(ω)是定理2中定義的隨機(jī)吸收集.則γ(ω)滿足:1)γ(ω)是隨機(jī)緊集;2)γ(ω)是不變的,即?t≥0,x(t,ω)γ(ω)=γ(θtω);3)γ(ω)吸引任意緩增隨機(jī)集.

    證明 首先證明?ε>0,ω∈Ω,?T′(ε,ω,K(ω))>0,M′(ε,ω)∈N,使得系統(tǒng)(4)滿足初值x0∈K(θ-tω)∩l2的解x=(xk)k∈Z有如下性質(zhì):

    選取遞增的光滑函數(shù)f∈C(R+,R),使得

    且對?s∈R+,均有|f′(s)|≤f0(正常數(shù)).

    (11)

    經(jīng)計算可得:當(dāng)t≥TK(ω)時,

    (12)

    (13)

    (14)

    (15)

    綜合式(11)~式(15)可得

    (16)

    對式(16)從TK(ω)到t應(yīng)用Gronwall不等式及應(yīng)用拉回映射θ-t:ω|→θ-tω,則

    (17)

    (18)

    (19)

    3)由于R(ω)是緩增隨機(jī)變量且R(θtω)關(guān)于t連續(xù),所以可由文獻(xiàn)[12]的命題4.33可得,存在緩增隨機(jī)變量δ(ω)>0,使得

    (20)

    (21)

    綜合式(17)~式(21)可得:?ε>0,ω∈Ω,當(dāng)t>T′(ε,ω,K(ω)),x0∈K(ω)時,有

    (22)

    結(jié)合文獻(xiàn)[11]中的定理3.1可知,{x(t,ω)}t≥0,ω∈Ω存在隨機(jī)吸引子.定理3證畢.

    2 系統(tǒng)(2)的隨機(jī)吸引子

    主要討論系統(tǒng)(2)的隨機(jī)吸引子的存在性.系統(tǒng)(2)等價于

    (23)

    令y=ueiaη(θtω),則y,u在l2上同構(gòu)且‖y‖=‖u‖,系統(tǒng)(23)等價于

    (24)

    定理4 若假設(shè)(A1)和(A2)成立,則

    1)對?ω∈Ω,y0∈l2,系統(tǒng)(24)存在唯一解y(·)=y(·,ω,y0)∈C1((0,+∞)∩C([0,+∞),l2),y(·)關(guān)于y0連續(xù),并且解y(t,ω,·)生成一個由(Ω,F,P,(θt)t∈R)驅(qū)動取值于l2的連續(xù)隨機(jī)動力系統(tǒng){y(t,ω)}t≥0,ω∈Ω.

    證明 1)證明類似于定理1中的證法,且有

    (25)

    2)由式(25)得,

    (26)

    (27)

    由于r有界,g∈l2,所以對?ε>0,ω∈Ω,存在T(ε,D)>TD,M(ε)∈N,使得當(dāng)t>T(ε,D),M>M(ε)時,有

    (28)

    從而當(dāng)t>T(ε,D),y0∈D時,有

    (29)

    由文獻(xiàn)[11]中的定理3.1可知,{y(t,ω,·)}t≥0,ω∈Ω存在隨機(jī)吸引子.定理4證畢.

    注1 系統(tǒng)(1)(或系統(tǒng)(3))與系統(tǒng)(2)(或系統(tǒng)(23))存在隨機(jī)吸引子的條件是不完全相同的,系統(tǒng)(2)比系統(tǒng)(1)少了一個條件(A3),即限制a的取值.由此可見,系統(tǒng)(2)的隨機(jī)吸引子的存在性與a的取值無關(guān),而系統(tǒng)(1)存在隨機(jī)吸引子需要隨機(jī)項的系數(shù)a適當(dāng)小.

    [1]Bates P W,Lisei H,Lu Kening.Attractors for stochastic lattice dynamical systems[J].Stoch Dyn,2006,6(1):1-21.

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    [3]Abdallah A Y.Global attractor for the lattice dynamical system of a nonlinear Boussinesq equation[J].Abstr Appl Anal,2005,10(6):655-671.

    [4]Abdallah A Y.Long-time behavior for second order lattice dynamical systems[J].Acta Appl Math,2009,106(1):47-59.

    [5]Caraballo T,Lu Kening.Attractors for stochastic lattice dynamical systems with a multiplication noise[J].Frontiers of Mathematics in China,2008,6(3):317-335.

    [6]Yan Weiping,Li Yong,Ji Shuguan.Random attractors for first order stochastic retarded lattice dynamical systems[J].J Math Phy,2010,51(3):1-17.

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    [8]Chen Tao,Zhou Shengfan.Attractors for discrete nonlinear Schr?dinger equation with delay[J].Acta Math Appl Sin:English Series,2010,26(4):633-642.

    [9]周盛凡,譚慧榮.非線性Schr?dinger格點方程的指數(shù)吸引子[J].浙江師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2015,38(4):361-365.

    [10]趙才地,周盛凡.格點系統(tǒng)存在指數(shù)吸引子的充分條件及應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,2010,53(2):233-242.

    [11]Han Xiaoying,Shen Wenxian,Zhou Shengfan.Random attractors for stochastic lattice dynamical systems in weighted spaces[J].J Differential Equations,2011,250(3):1235-1266.

    [12]Arnold L.Random dynamical systems[M].Heidelberg:Springer-Verlag,1998.

    (責(zé)任編輯 陶立方)

    Random attractor for Schr?dinger lattice system with multiplicative white noise

    CUI Hongzhen, ZHOU Shengfan

    (CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

    It was mainly studied the existence of a random attractor for stochastic Schr?dinger lattice system.Firstly, the stochastic Schr?dinger lattice system with multiplicative white noise was transfered into a random dynamical system with random coefficients and without noise by the Ornstein-Uhlenbeck process.Secondly, the existence and uniqueness of solution for lattice system with initial condition were considered, and mapping of this solution generated a random dynamical system. Finally, the problem of the existence of a random bounded absorbing set and a random attractor were also investigated.

    random attractor; multiplicative white noise; Schr?dinger lattice system; existence

    10.16218/j.issn.1001-5051.2017.01.003

    2016-03-14;

    2016-04-03

    國家自然科學(xué)基金資助項目(11471290)

    崔紅珍(1990-),女,山東德州人,碩士研究生.研究方向:動力系統(tǒng)與微分方程.

    周盛凡.E-mail: sfzhou@zjnu.cn

    O175.25

    A

    1001-5051(2017)01-0017-07

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