例談高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)中的主題探究教學(xué)

袁琴芳（柘榮縣第一中學(xué)，福建柘榮355300）

例談高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)中的主題探究教學(xué)

袁琴芳
（柘榮縣第一中學(xué)，福建柘榮355300）

在高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教學(xué)中，一題多問——知識(shí)串串燒、一題多解——方法樣樣通、一題多變——思維環(huán)環(huán)轉(zhuǎn)等主題探究教學(xué)方式可以讓學(xué)生的知識(shí)與能力得到同步發(fā)展，形成系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系結(jié)構(gòu)。

高三數(shù)學(xué)；二輪復(fù)習(xí)；主題探究教學(xué)

著名的數(shù)學(xué)家波利亞說過：“貨物充足和組織良好的知識(shí)倉庫是一個(gè)解題者的重要資本”。經(jīng)過高三第一輪的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，學(xué)生們基本上都有了一個(gè)“貨物充足的知識(shí)倉庫”，但大都尚未擁有“組織良好的知識(shí)倉庫”，即尚未形成系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系結(jié)構(gòu)，對(duì)數(shù)學(xué)方法的理解與運(yùn)用水平還有待提高。那么，怎樣才能達(dá)成這個(gè)重要目標(biāo)呢？

在實(shí)際教學(xué)中，筆者經(jīng)常通過主題探究課，即以一道典型范例為主題，升級(jí)已學(xué)知識(shí)、方法和技能為目標(biāo)，多角度力促學(xué)生的知識(shí)與能力得以同步發(fā)展，取得良好的復(fù)習(xí)成效。下以具體實(shí)例，從筆者在解題教學(xué)中時(shí)常采用的“一題多問”、“一題多解”與“一題多變”等三個(gè)角度對(duì)這個(gè)思路進(jìn)行闡述。

一、一題多問——知識(shí)串串燒

所謂一題多問，即以一道例題為主題，設(shè)計(jì)一串的子問題，旨在通過這一串的子問題的解決，進(jìn)行一個(gè)系列的知識(shí)的有序鞏固。簡(jiǎn)而言之，就是說借助一題，可以將一整個(gè)章節(jié)的知識(shí)都復(fù)習(xí)一遍，真正的實(shí)現(xiàn)“牽一發(fā)而動(dòng)全身”的主題功力。這樣，二輪的知識(shí)復(fù)習(xí)課就上出點(diǎn)新意了，在這樣的課中，不僅訓(xùn)練學(xué)生的解題技能，而且在不知不覺中將知識(shí)有序化；既注意到了對(duì)知識(shí)點(diǎn)的覆蓋面，又能通過訓(xùn)練讓學(xué)生掌握規(guī)律，可以達(dá)到“以一當(dāng)十”的作用，真正的做到有效的知識(shí)復(fù)習(xí)。

（1）求證：A′B⊥PD；

（2）當(dāng)棱錐A′-PBCD的側(cè)面A′BP的面積最大時(shí)，

①畫出棱錐A′-PBCD的三視圖；

②求棱錐A′-PBCD的體積；

③求二面角A′-CD-B的平面角的余弦值；

④求點(diǎn)C到面A′BC的距離；

⑤是否在A′C上存在點(diǎn)E，使得CE∥面A′BP；

⑥若點(diǎn)E滿足第⑤小題，求證：DE⊥面A′BC。

例1涉及到了立體幾何這個(gè)章節(jié)的以下知識(shí)點(diǎn)：線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化；三視圖的應(yīng)用、面積、體積的求法；平行關(guān)系間的互相轉(zhuǎn)化；空間角的求法；空間中距離的求法；動(dòng)點(diǎn)問題與最值問題的解法。淋漓盡致的體現(xiàn)了立幾這章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用，不僅起到加強(qiáng)雙基的作用，又用一題多問，知識(shí)串串燒的形式，構(gòu)成了學(xué)生有效的復(fù)習(xí)立體幾何的一條線索。

這種知識(shí)串串燒的課，最好是教師一邊引導(dǎo)學(xué)生回顧該章節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容，一邊給學(xué)生出題，或者請(qǐng)學(xué)生即興出題。在課前，教師要做好充分準(zhǔn)備，這樣既能調(diào)動(dòng)課堂氣氛，又能促進(jìn)學(xué)生知識(shí)有序建構(gòu)，提高學(xué)生的知識(shí)運(yùn)用能力。

二、一題多解——方法樣樣通

所謂一題多解，即以一道例題為“主題”，進(jìn)行一個(gè)系列的數(shù)學(xué)思想方法的展示與研究，旨在通過這些方法的再認(rèn)識(shí)，來促進(jìn)的學(xué)生對(duì)方法的系統(tǒng)化。也就是說借助一題，可以將許多的重要的思想方法都深化一遍，真正的實(shí)現(xiàn)“觸類旁通”的“主題”功效。這樣，二輪的方法復(fù)習(xí)課就有了點(diǎn)新花樣，學(xué)生不僅夯實(shí)了通法通解，更能深刻的領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)方法的博大精深；既訓(xùn)練了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，又揭示了解題方法的多元化，達(dá)到“以一持萬”的目的，真正的做到有效的方法復(fù)習(xí)。

例2.設(shè)△AnBNCN的三邊長(zhǎng)分別為an,bn,cn，△AnBnCn的面積為Sn，n=1,2,3……若b1＞c1，b1+c1=2a a=a，b=，c=，則（）

1n+1nn+1n+1

解法二：從幾何的角度入手，借助數(shù)形結(jié)合思想，有許多的同學(xué)不懂海倫公式，但卻熟知同底三角形的面積是由高來決定的，故畫出滿足題意的前四個(gè)三角形，用直尺量出距離，就解決了問題。

解法三：從創(chuàng)新題的特色——變與不變的角度入手，在確定解題的目標(biāo)是三角形的面積后，要借助數(shù)學(xué)學(xué)科中最為基本的解題策略—以不變應(yīng)萬變，易知此△AnBnCn中不變的一條邊的長(zhǎng)為an=a1，于是，三角形的面積變化取決于此類三角形的高，順藤摸瓜，繼續(xù)關(guān)注變化的兩邊中不變的特征，又可探求到：變化的兩邊的邊長(zhǎng)滿足和為不變量，即bn+cn=2a1，由此可聯(lián)想到以Bn、Cn為焦點(diǎn)的橢圓的焦點(diǎn)三角形的面積問題，甚至還可以進(jìn)一步挖掘到有變化的兩邊邊長(zhǎng)之差的絕對(duì)值，即兩邊長(zhǎng)的差的絕對(duì)值越來越小，故頂點(diǎn)An是越來越接近橢圓的短軸頂點(diǎn)，此時(shí)，三角形的高也越來越大，所以為遞增數(shù)列。

例2涉及了高中數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)的思想方法、解析法思想，復(fù)習(xí)過程在滲透這些數(shù)學(xué)思想時(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生的綜合分析能力，提高了學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力。

三、一題多變——思維環(huán)環(huán)轉(zhuǎn)

所謂一題多變，即以一道例題為“主題”，對(duì)題目的條件與結(jié)論進(jìn)行變形，旨在通過這一連串的變形引申出不同章節(jié)的知識(shí)與方法，形成一個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的網(wǎng)絡(luò)化的交匯。也就是說，借助一題，可以觸及整個(gè)高中的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的許多部分，實(shí)現(xiàn)“舉一反三”的“主題”功能。

（1）（2）略（3）對(duì)任意k〉0，求證：PA⊥PB。

請(qǐng)小組中的同學(xué)相互討論，就下劃線部分進(jìn)行等價(jià)變換。學(xué)生改寫的結(jié)果有以下∶①KPA·KPB=-1。②-P---A-?·-P--B?=0。③向量-A--B?在直線---?BP上的投影為向量AP。④以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P。⑤線段AB的中點(diǎn)到A、B、P三點(diǎn)的距離相等。⑥以AP為直徑的圓與直線相切。⑦以AP為直徑的圓與直線BP有且只有一個(gè)交點(diǎn)。⑧點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)在射線BP上。⑨若PA2+PB2=AB2，則點(diǎn)關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)在射線BP上。⑩sin PAB=cos PBA?？梢钥吹舰偈菑慕馕鰩缀蔚慕嵌瓤紤]的；②③是從向量的應(yīng)用思考的；④⑤⑥是從圓的方向著手解決；⑦有著方程思想的味道；⑧是含有數(shù)形結(jié)合的思想；⑨是從平面幾何的基礎(chǔ)出發(fā)的；⑩利用三角函數(shù)的觀點(diǎn)來思索。

例3結(jié)論的變形牽出了向量、平面幾何、圓、三角函數(shù)等知識(shí)，變式解題中包涵了方程思想、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想，能有效提高了課堂效率，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的思維能動(dòng)性。

總之，復(fù)習(xí)課應(yīng)立足于幫助學(xué)生整理知識(shí)、方法、技能，但形式上、方法上可以更加多樣化，其中，“主題”探究式復(fù)習(xí)不失是一個(gè)好辦法。正如教育家波利亞說：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個(gè)方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域”。

［1］教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［S］.北京：人民教育出版社，2003.

［2］羅增儒.數(shù)學(xué)解題引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

［3］陳旭遠(yuǎn).新課程新理念［M］.長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2002.

（責(zé)任編輯：王欽敏）