極限思想在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的滲透

蔡敬發(fā)（廈門市五顯中學(xué)，福建廈門361100）

極限思想在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的滲透

蔡敬發(fā)
（廈門市五顯中學(xué)，福建廈門361100）

在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂，教師應(yīng)加強(qiáng)有關(guān)極限思想的滲透教學(xué)，讓極限思想進(jìn)入學(xué)生數(shù)學(xué)思維領(lǐng)域。教師可以利用日常教學(xué)、概念教學(xué)、數(shù)形結(jié)合、優(yōu)化解題等各種場合進(jìn)行有關(guān)極限思想的滲透教學(xué)。

極限思想；高中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)；滲透；無限趨近

極限思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。借助極限思想，教師可以更形象、更直觀、更細(xì)致地認(rèn)識函數(shù)的圖像和性質(zhì)，從而得以優(yōu)化解題過程，提高解題思維能力。

在高中數(shù)學(xué)教材中，極限思想多處出現(xiàn)，試圖回避它是不明智、不應(yīng)該的，況且，在近幾年的高考試題中，也有多道可用極限思想來處理解決的試題?；诖?，筆者以為，教師應(yīng)在日常課堂中進(jìn)行有關(guān)極限思想的滲透教學(xué)，逐步提升理性認(rèn)識與運(yùn)用水平。下面就如何在日常課堂教學(xué)中滲透極限思想，讓極限思想進(jìn)入學(xué)生數(shù)學(xué)思維領(lǐng)域這一問題，談點自己的實踐與思考。

一、在日常教學(xué)中滲透，逐步形成認(rèn)知

筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生早在小學(xué)階段就開始接觸“無限趨近”的概念，如“自然數(shù)的個數(shù)是無限的”“自然數(shù)是可以無限大的”及“直角三角形的銳角可以無限趨近0度角”等。在高中階段，許多知識和方法和“無限趨近”相關(guān)，如區(qū)間的無窮遠(yuǎn)處、數(shù)列的項數(shù)、柱錐臺之間的關(guān)系、“二分法”求方程的近似解、函數(shù)圖像的漸進(jìn)線、曲邊圖形的面積及曲線的切線等。因此，筆者以為，極限思想不能回避，教師要在日常教學(xué)中進(jìn)行滲透，讓學(xué)生逐步形成對它的認(rèn)知。

教科書這樣呈現(xiàn)區(qū)間表示：實數(shù)集R可以用區(qū)間表示為（-∞，+∞），“∞”讀作“無窮大”，“-∞”讀作“負(fù)無窮大”，“+∞”讀作“正無窮大”。我們可以把滿足x≥a,x〉a,x≤b,x〈b的實數(shù)x的集合分別表示為[a，+∞)，(a，+∞)，(-∞,b]，(-∞,b)。為了借機(jī)滲透“無限趨近”的思想，筆者借助多媒體及實物展示，讓學(xué)生模擬對顯微鏡和望遠(yuǎn)鏡進(jìn)行了觀察，從近到遠(yuǎn)，再從遠(yuǎn)到近，從小到大，再從大到小，讓學(xué)生體會無窮遠(yuǎn)近與無窮大小的情景，接著讓學(xué)生探究“集合{x|x≥-1的區(qū)間怎么表示，右端點在哪？一個點從-1出發(fā)，沿著數(shù)軸的正方向運(yùn)動，何處會是邊際？”，最后以顯微鏡和望遠(yuǎn)鏡的外觀形象引入了“∞”這一符號，滲透了“無限趨近”的思想，為“無限趨近”的后續(xù)學(xué)習(xí)做了鋪墊。又如，在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)y=ex的性質(zhì)時，筆者并沒有急著給出它的值域為（0，+∞），而是讓學(xué)生描繪適當(dāng)?shù)狞c來體驗圖像的變化趨勢，并結(jié)合計算器進(jìn)行估值運(yùn)算及猜想它的模型，然后用幾何畫板畫出圖像，讓學(xué)生體驗“無限趨近”。同樣地，筆者碰到存在漸進(jìn)線的函數(shù)圖像時，一般都不輕易敷衍跳過，而是不失時機(jī)的滲透“無限趨近”，讓學(xué)生在日常課堂教學(xué)中對“無限趨近”有所感知與認(rèn)識。

二、在概念教學(xué)中滲透，深化理解與認(rèn)識

教科書雖然沒有正面提及極限的概念，但是在導(dǎo)數(shù)的定義中，已經(jīng)很緊密地把導(dǎo)數(shù)和極限概念關(guān)聯(lián)在一起了。當(dāng)△x→0時，→A(A為常數(shù))，把A稱為f(x)在點x0的導(dǎo)數(shù)，記作。在這里，“無限趨近”的實質(zhì)就是高等數(shù)學(xué)中的極限概念，實際教學(xué)中筆者是借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義來幫助學(xué)生理解“無限趨近”，讓學(xué)生直觀地體驗“無限趨近”，然后引導(dǎo)學(xué)生逐步認(rèn)識“無限趨近”在解題中的作用。

筆者以為，從導(dǎo)數(shù)的概念到極限思想再到左右極限和無窮遠(yuǎn)處的極限，更多的教學(xué)阻力是來自教師自身，因為教師可能還拘泥于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》、全國統(tǒng)一《考試大綱》中并未正面提及極限思想，所以不安排在極限上作太多的解釋。其實，極限思想沒必要刻意回避，只要在日常課堂教學(xué)中進(jìn)行滲透，并在導(dǎo)數(shù)的概念上適度挖掘，結(jié)合畫圖軟件的演示，必要時再引入洛必達(dá)法則進(jìn)行解釋，就能深化對它的理解與認(rèn)識。這樣，極限思想就不再顯得“高大上”，而是變得“接地氣”，學(xué)生能欣然接受。

三、在數(shù)形結(jié)合中滲透，促進(jìn)與圖像的融合

筆者試著把極限思想與初等函數(shù)的圖像結(jié)合起來，讓學(xué)生從特殊圖像入手來認(rèn)識極限思想，讓數(shù)形結(jié)合思想與極限思想相互融合、碰撞，形成一定的信心與興趣；再嘗試通過極限思想探究“復(fù)雜”函數(shù)，對“復(fù)雜”函數(shù)的圖像進(jìn)行定位，促進(jìn)極限思想與函數(shù)圖像的深度融合，揭開部分“復(fù)雜”函數(shù)的神秘面紗。

（一）結(jié)合初等函數(shù)

圖1

圖2

圖3

通過初等函數(shù)的圖像認(rèn)知極限思想，讓極限思想與熟悉的圖像進(jìn)行碰撞與融合，其效果相當(dāng)顯明。

（二）探究“復(fù)雜”函數(shù)

據(jù)筆者了解，大部分學(xué)生對“復(fù)雜”函數(shù)懼而遠(yuǎn)之，究其原因，主要是弄不清“復(fù)雜”函數(shù)的圖像，從而影響了進(jìn)一步研究?；诖?，筆者讓學(xué)生以y=ex、y=lnx及y=x來組合“復(fù)雜”函數(shù)，并通過求導(dǎo)對圖像的走勢進(jìn)行猜測，結(jié)合適當(dāng)?shù)拿椟c畫出圖像。接著筆者讓學(xué)生在畫圖軟件上寫入函數(shù)解析式進(jìn)行驗證、比較，從而親近了“復(fù)雜”函數(shù)，消除了對“復(fù)雜”函數(shù)的恐懼感。例如，筆者曾引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)f(x)=x的圖像進(jìn)行探究，先給出定義域(-∞,0)?（0，+∞）,f(x奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，易得方程f′(x)=1+=0無零點，函數(shù)f(x)無極值，列表如下（可結(jié)合函數(shù)對稱性簡化列表）：

圖4

畫出如圖4所示的函數(shù)圖像后，引導(dǎo)學(xué)生歸納描繪函數(shù)圖像的基本步驟：

1.給出函數(shù)基本性質(zhì)，如定義域、奇偶性、周期性等。

2.求導(dǎo)并計算出導(dǎo)函數(shù)零點，借助導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷原函數(shù)在分區(qū)間的單調(diào)性，從而給出函數(shù)圖像的基本形狀。

3.要關(guān)注函數(shù)在特殊位置的左右極限及在無窮遠(yuǎn)處的極限，進(jìn)一步確定函數(shù)圖像的形狀，必須關(guān)注是否存在漸近線，如圖4存在兩條漸近線x=0、y=x。

四、在優(yōu)化解題中滲透，體驗巧妙解題的魅力

數(shù)學(xué)思想的魅力在于能巧妙運(yùn)用，優(yōu)化解題思路，提升解題效率。極限思想也不例外，它在函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何等眾多問題中都可巧妙運(yùn)用。尤其在解決帶參數(shù)的超越函數(shù)的零點問題上，可利用參變量分離方法和極限思想對所構(gòu)造超越函數(shù)的圖像進(jìn)行定位，從而避開繁雜的討論，大大優(yōu)化解題過程。

例1．（2016年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅱ理科第21題）

已知函數(shù)f(x)=（x-2）ex+a(x-1)2有兩個零點。

（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）略。

分析：這道題讓許多考生感到困難，一個原因是找不到解題的突破口，不明白含帶參數(shù)的超越函數(shù)有兩個零點究竟意味著什么，另一個原因是對參數(shù)a討論的臨界值迷惑不清，致使解題思路明確但陷入討論的泥淖。筆者以為，參變量分離后用超越函數(shù)表達(dá)a，借助極限思想描繪出這個超越函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合就不難得出正確結(jié)論。

解：由（x-2）ex+a(x-1)2=0(易驗證x=1不是方程的根)可得a=，令g(x)=，易得方程g′(x)=0無零點，函數(shù)g(x)無極值，列表，

從而得g(x)的圖像（如圖5），根據(jù)圖像，易得a〉0符合題意。

圖5

圖6

點評：此解法的關(guān)鍵是x→—∞、x→1-、x→1+、x→+∞的極限必須弄清楚，兩條漸近線x=1、y=0的定位要精準(zhǔn)。本題的解法眾多，但本解法更貼近學(xué)生的思維實際。

例2．（廈門市2017屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢查理科第20題）

已知函數(shù)f(x)=ln x-kx+1(k∈R)。

（Ⅰ）討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù)；（Ⅱ）略。

分析：第一問考察對于含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性、極值、零點問題，通常有2種破題思路，一是進(jìn)行參變量分離，二是根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論,要注意分類討論的原則：互斥、無漏、最簡。

解：易得函數(shù)的定義域為（0，+∞），

列表，得：

從而得g(x)的圖像（如圖6），根據(jù)圖像，得：當(dāng)k≤0或k=1時，函數(shù)f(x)恰有1個零點；當(dāng)0〈k〈1時，函數(shù)f(x)恰有2個零點；當(dāng)k〉1時，函數(shù)f(x)恰有0個零點。

點評：本道題目第一問共5分，學(xué)校實測得分0.7分，得分率為14%，令人不滿意。筆者以為，對于本題第一問，若采納參變量分離后用超越函數(shù)表達(dá)k，借助極限思想畫出超越函數(shù)圖像，利用數(shù)形結(jié)合得出結(jié)論的做法，要遠(yuǎn)比對k進(jìn)行分類討論更為合理，得分率會更高。極限思想對超越圖像的定位起了重要的作用，為了提高學(xué)生的解題素養(yǎng)，教師要根據(jù)情況加強(qiáng)對極限思想的滲透。

總之，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)逐步滲透極限思想，讓學(xué)生正面理解極限思想的概念，充分運(yùn)用極限思想做好函數(shù)圖像的定位，優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，為學(xué)生以后的高數(shù)學(xué)習(xí)做好鋪墊。當(dāng)然，對極限思想的滲透教學(xué)并不止于此，還需要我們的更加深入研究與反思，方可使之更到位、更有實效。

［1］趙斌.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中要注意滲透極限思想［J］.數(shù)學(xué)之友，2015（20）.

［2］劉寧.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中極限思想的滲透［J］.數(shù)理化解題研究，2015（10）.

［3］徐曉兵.例談極限思想在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中的作用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（10）.

［4］楊祖望.極限思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透［J］.談學(xué)論教，2016（7）.

（責(zé)任編輯：王欽敏）