關(guān)于一類(lèi)具有負(fù)系數(shù)的廣義單葉函數(shù)的性質(zhì)

何濤，周海燕

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

數(shù)理研究

關(guān)于一類(lèi)具有負(fù)系數(shù)的廣義單葉函數(shù)的性質(zhì)

何濤，周海燕

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

本文引進(jìn)了一類(lèi)具有負(fù)系數(shù)的廣義單葉函數(shù).首先從屬關(guān)系和初等方法討論了了該類(lèi)中函數(shù)的積分表達(dá)式和系數(shù)不等式、由此推出偏差、覆蓋、閉包定理和極值點(diǎn).最后，討論該類(lèi)中函數(shù)的Hadahard卷積的封閉性質(zhì).所得結(jié)果推廣了文[1]中的主要結(jié)果并得到新結(jié)果.

單葉函數(shù)；系數(shù)不等式；積分表達(dá)式；hadahard卷積

1 引言

用S(a,k)表示在單位圓盤(pán)Δ＝{z:|z|＜1}內(nèi)解析且單葉函數(shù)

全體組成的類(lèi).令T(a,k)表示S(a,k)中的具有負(fù)系數(shù)單葉函數(shù)的子類(lèi)：

本文引進(jìn)如下函數(shù)類(lèi)：

定義設(shè)A,B∈N,a＞0,|A|≤1,|B|≤1,A≠B.函數(shù)f(z)∈S (a,k)屬于函數(shù)類(lèi)Pk(a,A,B)當(dāng)且僅當(dāng)

由上述定義,f(z)∈Pk(a,A,B)當(dāng)且僅當(dāng)在Δ中存在解析函數(shù)w(z)：w(0)=0,|w(z)|＜1,使得

等價(jià)于

令

本文中,作者先證明屬于函數(shù)類(lèi)Pk(a,A,B)的積分表達(dá)式、充分條件,并討論其子類(lèi)TPk(a,A,B)一些基本性質(zhì),得到類(lèi)中函數(shù)的系數(shù)不等式、偏差、覆蓋、閉包定理和極值點(diǎn)等性質(zhì),推廣在文[1]中的主要結(jié)果.并進(jìn)一步討論類(lèi)中函數(shù)Hadahard卷積的封閉性質(zhì).

2 主要結(jié)果及其證明

本文中,參數(shù)k,A,B,a均滿(mǎn)足條件:k,A,B∈N,k≥2,a＞0, |A|≤1,|B|≤1,A≠B.

首先,給出積分表達(dá)式：

定理1函數(shù)f∈Pk(a,A,B)當(dāng)且僅當(dāng)

其中w(z)為解析函數(shù)且滿(mǎn)足w(0)=0,|w(z)|＜1.

證明根據(jù)從屬關(guān)系可知,函數(shù)f∈TPk(a,A,B)當(dāng)且僅當(dāng)(1.3)式成立,由此推出積分表達(dá)式.

其次，給出系數(shù)不等式并由此推出基本性質(zhì)：

定理2設(shè)函數(shù)f(z)∈S(a,k),若滿(mǎn)足條件

則f(z)∈Pk(a,A,B)

證明設(shè)不等式（2.2）成立.令|z|=1,由f(z)∈Tk(a)和利用（2.2）得到

定理3設(shè)函數(shù)f(z)∈Tk(a),則

(1)當(dāng)-1≤B＜A≤1,B≤0時(shí),f(z)∈TPk(a,A,B)的充要條件為

(2)當(dāng)-1≤A＜B≤1,B≥0時(shí),f(z)∈TPk(a,A,B)的充要條件為

證明因TPk(a,A,B)?Pk(a,A,B),所以由定理2可知,定理3的充分性顯然成立.只需證明必要性即可.先證明（1）的必要性.

設(shè)f(z)∈TPk(a,A,B),則由（1.4）得到

由于對(duì)于所有的|Re|z||≤|z|,所以

使用z→1-時(shí),從（2.5）可得到(2.3)式.

用相同的方法容易（2）成立.如果取函數(shù)

則（2.3）和（2.4）式均能達(dá)到準(zhǔn)確值.證畢.

定理4若f∈TPk(a,A,B),|z|=r,則

(1)當(dāng)-1≤B＜A≤1,B≤0時(shí),有

(2)當(dāng)-1≤A＜B≤1,B≥0時(shí),有

證明(1)設(shè)f∈TPk(a,A,B),由定理3中（1）可知

因此

此外

和

從而(1)成立.用相同的方法證明(2).證畢.

定理5設(shè)函數(shù)f(z)∈TPk(a,A,B),則函數(shù)

也屬于函數(shù)類(lèi)TPk(a,A,B).

證明由（2.6）式,得到

因f(z)∈TPk(a,A,B),分兩種證明.當(dāng)-1≤B＜A≤1,B≤0時(shí)利用定理3中（1）可知

由定理3推出,F(z)∈TPk(a,A,B).同理,當(dāng)-1≤B＜A≤1, B≥0時(shí),利用定理3中（2）容易證明F(z)∈TPk(a,A,B).證畢.

定理6設(shè)c是實(shí)數(shù)且c＞-1,k≥2,又設(shè)F(z)∈TPk(a,A, B),則（2.6）式定義的函數(shù)f(z),在|z|＜R*是單葉的,其中

證明設(shè)

由(2.6)式,得到

要得到結(jié)果,只要在|z|≤R*時(shí),需滿(mǎn)足條件|f'(z)-a|≤a或

如果則有|f'(z)-a|≤a,而有定理3,得

因此,如果

或者

（2.6）式將滿(mǎn)足,f(z)在|z|≤R*為單葉函數(shù).

如果取函數(shù)

就能達(dá)到準(zhǔn)確值.證畢.

定理7設(shè)k∈N,k≥2,a＞0,如果函數(shù)

屬于類(lèi)TPk(a,A,B),則當(dāng)也屬于TPk(a,A,B)類(lèi).

證明由于f(z)∈TPk(a,A,B),由定理3可得到

因此

因此hTPk(a,A,B).證畢.

定理8設(shè)

則函數(shù)f∈TPk(a,A,B)的充要條件為

其中λn＞0和

證明（充分性）設(shè)

因此

因此由定理3可知f∈TPk(a,A,B).

（必要性）設(shè)f∈TPk(a,A,B),由定理3推出

設(shè)

因此

證畢.

最后,討論類(lèi)中函數(shù)的Hadahard卷積的封閉性.

定理9設(shè)

若|a|A-B||≤k(1+|B|)(k≥2),則f1*f2(z)∈TPk(a,A,B).

證明因?yàn)閒1(z)∈TPk(a,A,B)(i=1,2),由定理3可得到

要證明(f1*f2)(z)∈TPk(a,A,B)，只需證明

利用Cauchy-Schwarz不等式,從(2.8)得到

即（2.9）式成立.證畢.

注：定理3-定理8中分別取a=1,-1≤B＜A≤1時(shí).就得到[1]中的全部結(jié)果.

〔1〕Vinod Kumar,On Univalent Functions with Negative and Missing Coeffients[J].Journal of Mathematical Research and Exposition,1984,4:27–34.

〔2〕P.L.Duren,Univalent Functions[M].Grundlehren der Mathematis chen Wissenschaften,Vol.259,Springer-Verlag, New Yorkr Berlinr Heidelbergr Tokyo,1983.

O174

A

1673-260X（2017）07-0001-03

2017-03-14